Ма_часть5_05 (1013010), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

, где ,

называется ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим методы получения ФСР для ЛОДУ. Будем искать решение этого уравнения в виде:

подстановка Эйлера.

Последовательно находим производные . Подставим их в дифференциальное уравнение

.

Так как , то . Из этого алгебраического уравнения и находится требуемое значение .

Определение. Алгебраическое уравнение n-го порядка

называется характеристическим уравнением для ЛОДУ n-го порядка

.

Такое характеристическое уравнение всегда имеет корней с учетом кратности. Если все его корни различны, то ФСР состоит из функций и . Если среди корней есть кратные, и, например, корень кратности , то возникает одинаковых функций , которые являются линейно зависимыми. Тогда строится другая система функций , которая уже будет линейно независимой.

Пример 1. Найти общее решение уравнения: .

Решение: Составим характеристическое уравнение, найдем его корни:

.

Составим систему и вычислим определитель Вронского

для любого , следовательно,

– ЛНЗ и образуют ФСР. Тогда

– общее решение данного ЛОДУ.

Пример 2. Найти общее решение уравнения: .

Решение: Найдем корни характеристического уравнения:

.

Следовательно, . Все корни различны. В итоге имеем:

– ФСР данного ЛОДУ.

– общее решение.

Пример 3. Дано ДУ . Найти его общее решение.

Решение: Характеристическое уравнение:

имеет кратный корень .

Составим систему и вычислим определитель Вронского

, следовательно,

– ЛНЗ и образуют ФСР данного ЛОДУ.

– общее решение.

Пример 4. Дано ДУ . Найти его общее решение.

Решение: Характеристическое уравнение

имеет два комплексно-сопряженных корня .

Согласно предложенному алгоритму – ЛНЗ и образуют ФСР, запишем

– по формуле Эйлера.

Тогда общее решение будет иметь вид:

или .

Последнее представление считается более удобным.

Сформулируем общее правило, следуя которому составляется фундаментальная система решений.

Алгоритм построения ФСР для ЛОДУ n - го порядка с постоянными коэффициентами.

Фундаментальная система решений ЛОДУ с постоянными коэффициентами строится на основе характера корней характеристического уравнения.

1. Если действительный корень характеристического уравнения кратности , то ему соответствует ЛНЗ решений:

.

1. Если комплексно-сопряженная пара корней характеристического уравнения кратности , то ей соответствует ЛНЗ решений:

.

Совокупность всех ЛНЗ решений, соответствующих корням характеристического уравнения, образуют ФСР.

Пример 5. Найти общее решение уравнения:

Решение: Характеристическое уравнение

имеет корни:

Корень действительный и простой. Для комплексно-сопряженных корней находим значения .

Согласно алгоритму, составляем ФСР: .

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Пример 6. Найти общее решение уравнения:

Решение: Характеристическое уравнение

имеет следующие корни: .

Корни действительные и простые. Для комплексно-сопряженных корней находим значения

Применяя алгоритм, получаем ФСР ; составляем общее решение:

.

Теорема. Об общем решении ЛНДУ n-го порядка. Общее решение ЛНДУ есть сумма общего решения ЛОДУ и какого-либо частного решения неоднородного уравнения:

, где – ФСР.

Решение ЛНДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных.

Если известна фундаментальная система решений однородного уравнения, то общее решение соответствующего неоднородного уравнения может быть найдено в форме

,

где функции определяется из системы уравнений

Пример 1. Применяя метод вариации произвольных постоянных, решить уравнение: .

Решение: Решаем однородное уравнение ;

находим ФСР: , следовательно, общее решение однородного уравнения

Общее решение соответствующего неоднородного уравнения может быть найдено в форме:

.

Для определения составим следующую систему уравнений:

Выразим из первого уравнения ;

подставим полученное выражение во второе уравнение

;

В итоге получаем общее решение соответствующего неоднородного уравнения

; или

Пример 2. Применяя метод вариации произвольных постоянных, решить уравнение:

Решение: Решаем однородное уравнение ;

находим ФСР: , тогда общее решение однородного уравнения:

Общее решение соответствующего неоднородного уравнения может быть найдено в форме

.

Для определения составим следующую систему уравнений:

Выразим из первого уравнения ;

подставим полученное выражение во второе:

В итоге получаем общее решение соответствующего неоднородного уравнения

; или

Решение ЛНДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами методом подбора.

Частное решение неоднородного уравнения может быть найдено методом неопределенных коэффициентов в следующих простейших случаях.

Рассмотрим ЛНДУ , где правая часть имеет специальный вид:

1. , многочлен степени n.

Частное решение берется в виде ,

где многочлен степени с неопределенными коэффициентами;

кратность корня характеристического уравнения, который совпадает с ,

в том случае, когда надо положить .

1. , где , многочлены степени n и m.

Частное решение берется в виде ,

где многочлены степени с неопределенными коэффициентами;

кратность пары комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения, которые совпадают с ,

в том случае, когда надо положить .

Пример 1. Записать, с неопределенными коэффициентами, общее решение неоднородного уравнения

.

Решение: Характеристическое уравнение

имеет корни: , следовательно, общее решение однородного уравнения:

Определяем параметры правой части уравнения:

степень многочлена .

Находим параметры частного решения:

степень многочлена с неопределенными коэффициентами;

кратность корня характеристического уравнения, совпадающего с ,

так как среди корней есть , то .

Тогда частное решение с неопределенными коэффициентами можно записать в виде:

.

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:

Пример 2. Решить методом неопределенных коэффициентов уравнение

.

Решение: Характеристическое уравнение

имеет корни: , поэтому общее решение однородного уравнения

.

Параметры правой части:

степень многочлена ; степень многочлена .

Параметры частного решения:

степень многочленов с неопределенными коэффициентами;

кратность пары комплексно-сопряженных корней, совпадающих с , так как среди

корней есть пара , то ;

Запишем частное решение с найденными параметрами в виде:

или

,

где неопределенные коэффициенты.

Следовательно, общее решение данного уравнения запишется в виде:

.

Пример 3. Найти общее решение уравнения:

Решение: Характеристическое уравнение

имеет двукратный корень , следовательно, общее однородное решение имеет вид:

.

Параметры правой части

степень многочлена .

Находим параметры частного решения

степень многочлена с неопределенными коэффициентами;

кратность корня характеристического уравнения, совпадающего с ,

т. к. таких корней нет, т.е. , то .

Итак, частное решение с неопределенными коэффициентами имеет вид:

.

Дифференцируем

и подставляем в исходное уравнение; определим коэффициенты из тождества:

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:

решая систему, получим: .

Следовательно, частное решение после определения коэффициентов запишется в виде:

;

Тогда общее решение ЛНДУ: .

Характеристики

Список файлов лекций