Экзаменационные вопросы по линейной алгебре и аналитической геометрии (1006565)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ВОПРОСЫ И ТЕМЫ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ для групп 04-106..108, 04-115..117, 04-127

по курсу ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ на 2008/2009 учебный год

Лектор – доц. Руденко Е.А.

Теория (по 2 вопроса в билете: 1 – по алгебре (1..14, 30..33), 1 – по геометрии (15..29))

1. Матрица. Виды матриц. Операции над матрицами: сложение, умножение на число, перемножение, транспонирование. Формулы для элементов матриц-результатов. Свойства этих операций.

2. Определители матриц. Рекуррентное определение. Вычисление определителей порядков 2 и 3 (док-во). Минор и алгебраическое дополнение элемента. Понижение порядка определителя.

3. Свойства определителей (умножение на число, сложение, перестановка строк и т.п. – 10 штук). Способ упрощения определителя на основании свойств.

4. Обратная матрица. Определение. Теоремы о единственности, определителе, существовании и вычислении обратной матрицы (с доказательствами). Присоединённая матрица.

5. Свойства обратной матрицы, алгоритм её вычисления c помощью присоединённой матрицы. Решение простейших линейных матричных уравнений.

6. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Матричная форма записи. Правило Крамера (доказательство). Условия его применения.

7. Линейная зависимость и независимость строк и столбцов матрицы. Определение. Свойства. Общее условие равенства нулю определителя.

8. Миноры матрицы, определение, свойство. Базисный минор матрицы (определение). Теорема о базисном миноре. Ранг матрицы (определение). Теорема о ранге матрицы.

9. Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований. Нахождение одного из базисных миноров. Условие совместности системы (теорема Кронекера-Капелли).

10. Общий метод решения совместной системы из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными. Условия единственности и множественности решений системы.

11. Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных. Его матричная форма. Прямой и обратный ходы метода Гаусса. Выбор базисных переменных. Получение общего решения.

12. Однородная система линейных уравнений, её свойства. Теорема о существовании линейно независимых решений. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.

13. Связь решений соответствующих неоднородной и однородной систем линейных алгебраических уравнений. Структура общего решения неоднородной системы.

14. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Определение. Арифметический вектор. Характеристическое уравнение матрицы (док-во). Нахождение собственных векторов как ФСР.

15. Геометрический вектор: определение, модуль. Равенство, коллинеарность и компланарность векторов. Линейные операции над векторами: определение, свойства.

16. Системы координат на плоскости и в пространстве (аффинная, декартова). Базисы. Координаты вектора (определение). Линейные операции над векторами в координатной форме.

17. Координаты точки (определение). Выражение координат вектора через координаты его начала и конца (доказательство). Деление отрезка в заданном отношении (доказательство).

18. Скалярное произведение векторов. Определение, свойства, выражение через декартовы координаты сомножителей (док-во), применение. Направляющие косинусы вектора.

19. Векторное произведение векторов. Определение, геометрический смысл, выражение через декартовы координаты сомножителей (док-во), свойства, применение.

20. Смешанное произведение векторов. Определение, геометрический смысл, выражение через декартовы координаты сомножителей (док-во), применение, свойства.

21. Прямая линия на плоскости. Уравнения: с угловым коэффициентом, общее, параметрические, каноническое. Расстояние от точки (док-во). Угол между прямыми, точка их пересечения.

22. Плоскость в пространстве. Уравнения: общее, компланарное. Расстояние от точки (док-во). Угол между плоскостями. Взаимное расположение двух плоскостей.

23. Прямая линия в пространстве. Уравнения: общие, параметрические, канонические. Переходы между ними. Угол между: прямыми, прямой и плоскостью. Точка пересечения с плоскостью.

24. Две прямые в пространстве. Анализ трёх типов их взаимного расположения. Расстояния: между точкой и прямой, между параллельными прямыми, между непараллельными прямыми (док-во).

25. Кривые 2-го порядка на плоскости. Их типы, определения как геометрических мест точек (относительно фокусов), иррациональные и канонические уравнения (док-во). Построение кривых.

26. Общее уравнение кривой 2-го порядка на плоскости. Его преобразование к каноническому виду. Канонические уравнения смещённых и повёрнутых кривых.

27. Поверхности 2-го порядка: эллипсоид, конус и гиперболоиды. Канонические уравнения, их отличительные особенности. Исследование формы методом сечений. Эскизы.

28. Поверхности 2-го порядка: параболоиды и цилиндры. Канонические уравнения, их отличительные особенности. Исследование формы методом сечений. Эскизы.

29. Общее уравнение поверхности 2-го порядка, его приведение к каноническому виду. Определение типа и ориентации поверхности в пространстве по виду её канонического уравнения.

30. Квадратичная форма. Определение, матричный и канонический вид. Приведение к каноническому виду методом Лагранжа.

31. Приведение матрицы к диагональному виду. Условия приводимости, матрица преобразования, связь исходной и диагональной матриц. Ортогонализация системы векторов по Шмидту.

32. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом ортогонального преобразования. Связь старых и новых переменных. Коэффициенты канонического вида.

33. Знакоопределенность квадратичной формы. Определение. Критерии знакоопределенности (собственных значений, Сильвестра). Их полнота и трудоёмкость.

ТЕМЫ ЗАДАЧ (в билете 3 задачи: 1 – по алгебре, 2 – по геометрии)

АЛГЕБРА

1. Вычислить определитель 4-го порядка двумя способами (для проверки).

2. Вычислить обратную к матрице 3-го порядка. Сделать проверку.

3. Решить матричное уравнение с матрицами 2-го или 3-го порядка. Сделать проверку.

4. Найти ранг и базисный минор матрицы 4*4.

5. Решить систему из 3-х линейных уравнений с 3-мя или 4-мя неизвестными. Указать фундаментальные решения соответствующей однородной системы. Сделать проверки.

6. Найти собственные значения и векторы матрицы 2-го или 3-го порядка. Сделать проверки.

ГЕОМЕТРИЯ

1. Вычисление и геометрические приложения трёх произведений векторов.

2. Прямая линия на плоскости: применение общего и канонического уравнений прямой.

3. Плоскость в пространстве: применение общего и компланарного уравнений плоскости.

4. Прямая линия в пространстве: применение общих и канонических уравнений прямой.

5. Привести общее уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду, определить её тип и построить кривую. Проверить по точкам пересечения с осями координат.

6. Привести общее уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить её тип, ориентацию в пространстве и изобразить эскиз поверхности.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов вопросов/заданий