Экзаменационные вопросы по линейной алгебре и аналитической геометрии (1006565)
Текст из файла
ВОПРОСЫ И ТЕМЫ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ для групп 04-106..108, 04-115..117, 04-127
по курсу ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ на 2008/2009 учебный год
Лектор – доц. Руденко Е.А.
Теория (по 2 вопроса в билете: 1 – по алгебре (1..14, 30..33), 1 – по геометрии (15..29))
-
Матрица. Виды матриц. Операции над матрицами: сложение, умножение на число, перемножение, транспонирование. Формулы для элементов матриц-результатов. Свойства этих операций.
-
Определители матриц. Рекуррентное определение. Вычисление определителей порядков 2 и 3 (док-во). Минор и алгебраическое дополнение элемента. Понижение порядка определителя.
-
Свойства определителей (умножение на число, сложение, перестановка строк и т.п. – 10 штук). Способ упрощения определителя на основании свойств.
-
Обратная матрица. Определение. Теоремы о единственности, определителе, существовании и вычислении обратной матрицы (с доказательствами). Присоединённая матрица.
-
Свойства обратной матрицы, алгоритм её вычисления c помощью присоединённой матрицы. Решение простейших линейных матричных уравнений.
-
Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Матричная форма записи. Правило Крамера (доказательство). Условия его применения.
-
Линейная зависимость и независимость строк и столбцов матрицы. Определение. Свойства. Общее условие равенства нулю определителя.
-
Миноры матрицы, определение, свойство. Базисный минор матрицы (определение). Теорема о базисном миноре. Ранг матрицы (определение). Теорема о ранге матрицы.
-
Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований. Нахождение одного из базисных миноров. Условие совместности системы (теорема Кронекера-Капелли).
-
Общий метод решения совместной системы из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными. Условия единственности и множественности решений системы.
-
Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных. Его матричная форма. Прямой и обратный ходы метода Гаусса. Выбор базисных переменных. Получение общего решения.
-
Однородная система линейных уравнений, её свойства. Теорема о существовании линейно независимых решений. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.
-
Связь решений соответствующих неоднородной и однородной систем линейных алгебраических уравнений. Структура общего решения неоднородной системы.
-
Собственные векторы и собственные значения матрицы. Определение. Арифметический вектор. Характеристическое уравнение матрицы (док-во). Нахождение собственных векторов как ФСР.
-
Геометрический вектор: определение, модуль. Равенство, коллинеарность и компланарность векторов. Линейные операции над векторами: определение, свойства.
-
Системы координат на плоскости и в пространстве (аффинная, декартова). Базисы. Координаты вектора (определение). Линейные операции над векторами в координатной форме.
-
Координаты точки (определение). Выражение координат вектора через координаты его начала и конца (доказательство). Деление отрезка в заданном отношении (доказательство).
-
Скалярное произведение векторов. Определение, свойства, выражение через декартовы координаты сомножителей (док-во), применение. Направляющие косинусы вектора.
-
Векторное произведение векторов. Определение, геометрический смысл, выражение через декартовы координаты сомножителей (док-во), свойства, применение.
-
Смешанное произведение векторов. Определение, геометрический смысл, выражение через декартовы координаты сомножителей (док-во), применение, свойства.
-
Прямая линия на плоскости. Уравнения: с угловым коэффициентом, общее, параметрические, каноническое. Расстояние от точки (док-во). Угол между прямыми, точка их пересечения.
-
Плоскость в пространстве. Уравнения: общее, компланарное. Расстояние от точки (док-во). Угол между плоскостями. Взаимное расположение двух плоскостей.
-
Прямая линия в пространстве. Уравнения: общие, параметрические, канонические. Переходы между ними. Угол между: прямыми, прямой и плоскостью. Точка пересечения с плоскостью.
-
Две прямые в пространстве. Анализ трёх типов их взаимного расположения. Расстояния: между точкой и прямой, между параллельными прямыми, между непараллельными прямыми (док-во).
-
Кривые 2-го порядка на плоскости. Их типы, определения как геометрических мест точек (относительно фокусов), иррациональные и канонические уравнения (док-во). Построение кривых.
-
Общее уравнение кривой 2-го порядка на плоскости. Его преобразование к каноническому виду. Канонические уравнения смещённых и повёрнутых кривых.
-
Поверхности 2-го порядка: эллипсоид, конус и гиперболоиды. Канонические уравнения, их отличительные особенности. Исследование формы методом сечений. Эскизы.
-
Поверхности 2-го порядка: параболоиды и цилиндры. Канонические уравнения, их отличительные особенности. Исследование формы методом сечений. Эскизы.
-
Общее уравнение поверхности 2-го порядка, его приведение к каноническому виду. Определение типа и ориентации поверхности в пространстве по виду её канонического уравнения.
-
Квадратичная форма. Определение, матричный и канонический вид. Приведение к каноническому виду методом Лагранжа.
-
Приведение матрицы к диагональному виду. Условия приводимости, матрица преобразования, связь исходной и диагональной матриц. Ортогонализация системы векторов по Шмидту.
-
Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом ортогонального преобразования. Связь старых и новых переменных. Коэффициенты канонического вида.
-
Знакоопределенность квадратичной формы. Определение. Критерии знакоопределенности (собственных значений, Сильвестра). Их полнота и трудоёмкость.
ТЕМЫ ЗАДАЧ (в билете 3 задачи: 1 – по алгебре, 2 – по геометрии)
АЛГЕБРА
-
Вычислить определитель 4-го порядка двумя способами (для проверки).
-
Вычислить обратную к матрице 3-го порядка. Сделать проверку.
-
Решить матричное уравнение с матрицами 2-го или 3-го порядка. Сделать проверку.
-
Найти ранг и базисный минор матрицы 4*4.
-
Решить систему из 3-х линейных уравнений с 3-мя или 4-мя неизвестными. Указать фундаментальные решения соответствующей однородной системы. Сделать проверки.
-
Найти собственные значения и векторы матрицы 2-го или 3-го порядка. Сделать проверки.
ГЕОМЕТРИЯ
-
Вычисление и геометрические приложения трёх произведений векторов.
-
Прямая линия на плоскости: применение общего и канонического уравнений прямой.
-
Плоскость в пространстве: применение общего и компланарного уравнений плоскости.
-
Прямая линия в пространстве: применение общих и канонических уравнений прямой.
-
Привести общее уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду, определить её тип и построить кривую. Проверить по точкам пересечения с осями координат.
-
Привести общее уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить её тип, ориентацию в пространстве и изобразить эскиз поверхности.
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.