Примеры к лек. СМ7,11 (1005221), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

1) Определим степень статической неопределимости балки. Она равна разнице между числом неизвестных и числом уравнений статики. Неизвестных 4: 3 реакции в заделке и одно на шарнирной опоре. Уравнений статики 3.

4-3=1 – задача один раз статически неопределима, т. е. одно лишнее неизвестное и для решения задачи надо записать еще уравнение перемещений.

2) Изобразим основную систему (О.С.). Эта система получится из заданной, если отбросить лишнюю связь и убрать нагрузки.

3) Изобразим эквивалентную систему (Э.С.). Эта система получится, если в О.С. приложить нагрузки, а вместо отброшенной связи приложить неизвестную реакцию X₁.

Рис.8 4) Запишем уравнение перемещений в каноническом виде

Смысл этого уравнения это перемещение в первом направлении, т. е. перемещение на левой опоре в направлении X_1. Это перемещение равно нулю.

Определим коэффициенты канонического уравнения путем перемножения соответствующих эпюр по правилу Верещагина :

.

Эпюры М_Р и М₁ расположены по разные стороны от оси, их произведение с минусом.

= .

Изобразим эквивалентную систему, приложив вместо X₁ его найденное значение, построим эпюры Q_y, M_x, проведем изогнутую ось балки (рис.8).

Пример 5 Внецентренное растяжение

Определить максимальное напряжение, возникающее в брусе с вырезом (рис. 9).

Рис.9

Нагрузки F приложены к центру тяжести торцов бруса. Применим метод сечений и разрежем брус по сечению, ослабленному вырезом (рис. 9б). Рассмотрим равновесие отрезанной части бруса. Оси x и z проходят через центр тяжести сечения точку С. Из уравнения равновесия SF_z = 0 следует, что в центре тяжести сечения надо приложить осевую силу N=F. Эта сила действует на расстоянии 1,5 a от основания бруса, в то время как нагрузка F приложена на расстоянии 2a от основания. Значит, из уравнения равновесия SM_x = 0 следует, что в сечении надо приложить изгибающий момент M_x = 0,5 F a, который уравновешивает момент, создаваемый нагрузкой F относительно оси x. Таким образом, в сечении действуют два внутренних суммарных силовых фактора - осевая сила и изгибающий момент. Получили внецентренное растяжение. Максимальные напряжения возникают в точках сечения у верхнего края контура. В этих точках складываются напряжения растяжения от осевой силы и изгибающего момента

При проектировании элементов конструкций следует по возможности избегать внецентренного растяжения. Например, в рассматриваемом конструктивном элементе можно сделать так называемую разгружающую выемку снизу, хотя конструктивно надобности в этой выемке нет. Рассмотрим подробнее вариант детали с выемкой, представленный на рис. 10а.

Применим метод сечений и разрежем брус на участке, ослабленном выемками. В сечении (рис.10б) возникает только осевая сила N = F. Линии действия нагрузки и осевой силы совпадают. Брус работает только на растяжение и максимальное напряжение равно . Сравним максимальное напряжения , возникающее в брусе с одной выемкой, когда имеет место внецентренное растяжение, и напряжение , возникающее в брусе с двумя выемками, который работает только на растяжение:

.

Эффект впечатляющий, так как напряжения во втором случае в 1,33 раза меньше, чем в первом случае. Однако снижение напряжений за счет дополнительной выемки получается не всегда. Результат зависит от размеров бруса и выемки. Поэтому надо сначала произвести расчет и только затем предлагать иную конструкцию, если она действительно рациональнее.

Примечание

Если у фигуры три и более осей симметрии, то все центральные оси главные и моменты инерции относительно них равны. У бруса кругового и квадратного сечения все центральные оси главные. Значит, у брусьев подобного профиля косого изгиба нет.

Однако у бруса квадратного сечения при любом положении нейтральной линии опасная точка всегда будет в углу. Поэтому максимальное напряжение в этой угловой точке А (рис. 11а) вычисляем как сумму максимальных напряжений от каждого из двух моментов:

, при получается

У бруса кругового сечения косого изгиба нет. M_x и M_y (рис.11б) это проекции на координатные оси изгибающего момента M_S. Этот суммарный момент M_S определяем как геометрическую сумму моментов M_x и M_y :

, .

П ример 6 Определение главных напряжений

1. Определить главные напряжения для случая, изображенного на рис. 12.

Первые два значения главных напряжений получены из формулы, а третье главное напряжение, равное нулю, это - напряжение на верхней площадке, которая тоже главная, так как на ней нет .

1. Определить главные напряжения, для случая, изображенного на рис. 13.

Главные напряжения равны:

Первые два значения главных напряжений получены из формулы, а третье значение главного напряжения - это s_z. Получив три численных значения главных напряжений, расставляем индексы 1, 2, 3 (s₁ = s_max, s₃ = s_min в алгебраическом смысле, т. е. с учетом знака).

3) Определить главные напряжения для случая, изображенного на рис. 14.

При выводе формулы для определения главных напряжений площадки x и y были неглавными, т. е. в этих площадках было касательное напряжение t. Но неглавные площадки не обязательно имеют индексы x и y. В данном примере неглавными являются площадки z и t. Поэтому, определяя главные напряжения, в формулу подставим нормальные напряжения, действующие в площадках z, t. Площадка y – главная и в ней действует главное напряжение –100 МПа. Два других главных напряжения определим из формулы:

,

Пример 7 Упрощенное плоское напряженное состояние

Для пространственного бруса, изображенного на рис. 15, подобрать рациональное сечение из двух вариантов профилей, представленных на рис. 16. Материал бруса пластичный, одинаково работает на растяжение и сжатие (s_тр = s_тс = s_т).

Порядок расчета

Сначала надо построить эпюры изгибающих и крутящих моментов и найти опасное сечение. В опасном сечении найти опасную точку и вычислить для этой точки эквивалентное напряжение. Рациональным будет профиль, у которого эквивалентное напряжение меньше.

Решение

На рис. 17 изображены эпюры изгибающих моментов М_x, М_y и крутящих моментов M_к. В соответствии с эпюрами, опасное сечение будет в заделке.

Рассмотрим первый профиль - квадратное сечение со стороной, равной а. Это сечение и действующие в нем моменты изображены на рис. 18. Для квадратного профиля следует рассмотреть две точки, так как сразу не ясно, которая из точек - А или В опаснее. В каждой из указанных точек надо найти эквивалентное напряжение. Опасной будет та точка, в которой эта величина больше.

Точку сечения у середины верхней стороны рассматривать не надо, так как в ней такое же касательное напряжение, как в точке В, а нормальное напряжение меньше, поскольку

меньше, чем .

Рассмотрим точку А (рис.19). При кручении бруса прямоугольного (а, значит, и квадратного) сечения углы не работают. Следовательно, в точке А отсутствует касательное напряжение. От обоих изгибающих моментов в точке А возникают максимальные нормальные растягивающие напряжения, которые определяются по формуле:

Точка А изображена в главных площадках (касательные напряжения отсутствуют), поэтому полученное выше напряжение и есть эквивалентное напряжение в точке А:

.

Рассмотрим точку В (рис. 19). В этой точке возникает как касательное напряжение от крутящего момента, так и нормальное напряжение от изгибающего момента М_y. Компоненты напряженного состояния в точке В равны:

.

Напряженное состояние в точке В - упрощенное плоское, материал пластичный, одинаково работающий на растяжение и сжатие. Эквивалентное напряжение в таком случае определяется по формуле

.

Поскольку , точка А опаснее, чем точка В, и для квадратного профиля эквивалентное напряжение равно .

Рассмотрим второй профиль - круговое сечение, диаметр которого D равен стороне квадрата а (рис. 20).

У кругового сечения все центральные оси главные, значит, у такого сечения нет косого изгиба. М_x и М_y это проекции на координатные оси изгибающего момента М_Σ, который равен геометрической сумме моментов М_x и М_y:

Опасной будет точка, наиболее удаленная от нейтральной линии, которая перпендикулярна моментной линии. Это точка А, рис.20. Напряжения в этой точке равны

.

Поскольку диаметр D равен стороне квадрата а, то эквивалентное напряжение для квадратного сечения меньше, чем для кругового (s_экв1 < s_экв2), значит, в данном случае квадратное сечение рациональнее.

Пример 8 Расчет на прочность по формуле Мора

С равнить два напряженных состояния, изображенных на рис. 22 и 23. Дано: .

Рассмотрим напряженное состояние, изображенное на рис. 22, определим s_экв1.

На рисунке изображено упрощенное плоское напряженное состояние, однако формулу использовать нельзя, так как эта формула применима только для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. В этом случае k = 1, а в нашем примере k = 4/5, значит, вышеприведенная формула не применима. Поэтому сначала определим главные напряжения, а затем подсчитаем эквивалентное напряжение s_экв1. Одно из главных напряжений уже известно, это напряжение s_z = 0. Два других найдем из приведенной ниже формулы. Только получив значения трех главных напряжений, расставляем индексы: - в алгебраическом смысле, т. е. с учетом знака.

Р ассмотрим напряженное состояние, изображенное на рис. 23, определим s_экв2.

Площадка y, в которой отсутствует касательное напряжение, является главной площадкой и одно из главных напряжений это

s_у = -100 МПа. Два других главных напряжения определим из приведенной ниже формулы. Определяя главные напряжения, ставим в формулу нормальные напряжения, действующие в неглавных площадках, т.е. в тех площадках, где есть t. В данном примере это площадки z, x. Кроме того, сжимающее напряжение будет со знаком минус:

s_экв2 > s_экв1, значит, второе напряженное состояние более опасно, чем первое.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)