Казанджан Э.П., Казанджан Г.П. Рабочий справочник по математике (2002) (1004045)
Текст из файла
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Э.П, Кааандкпн, 1',П. Казанджан ИБЭЧМН СПИБСИННК ПО ИтймйтИКЯ ииемм)м) ЙИмиий6 ймм=;;ми* ий и==и==иии(О = )»,,'$ Эн~,"К») Еоо ,)'." ~ ф~ ~'~ М ' .;„,." ~,'~ ~~.'н~й~ЫЫ, "»~ ,/)' ~ »"~ "' »» .~, ') М)ЭМ'ЛУ)ИИ; КЙа'У ИП ПОЭжП ойо)ничем))о)'о окись срока ),: /) " Московский государственннй технический университет ».'.»' им. Н.Э, Боумена Утверждено родо оветом МГ2У им. Н.Э. Баумана в ккчеотве учебного пособии УЛК Э1 (07Э.Э) ББК 22.1 К14 Рецензенты: И.Л, Иванова, Ю.Б. Радногин К14 Казвнджан Э.П., Казанджак Г.П.
Рабочий справочник по математике; Учеб. пособие. - М.: Изд-во М1ТУ им. Н.Э. Баумана, 3002. - 22 с., ил. 1ЭВ)4 Э-70ЭЭ-1Э14-9 УДК 61 (07В.Э) ББК 23.1 ® М1ТУ им. Н.Э,Баумана, 2002 15ВМ 5-7038-1614-9 Настоящее поообие рассчитано прежде всего на студентов первого куроа. В нем оосредоточены все наиболее ивяные, чаото используемые йа занятиях формулы и графики, Поообие оостаилвно так, что оно окажетоя полезным и при дальнейшем изучении математики на нторсм и паоле х курсах как на заыатжзх, так и прн самостоятельной работе отудентон.
В эпоху НТР очень важен зопрсо о взаимоотношении иккенера с информацией. Как нелестно, информация бывает полезной, бесполезной и вредной, В свои очередь, полезная информация может быть двух типохс 1) которуш удобней хранить н памяти (например, Эх2 4); 2) которую удобней хранить знв пемяти - и оцравочникв, конопекте (нелримвр, ~~/х4~А с~х ). К сожалению, общепринята состааить опралочники возмакно более полными, нсеохватннми, так что нужда з прииодиынх в них материалах оказывается заметно различной, а многое просто откроненно нв нужно.
Настоящий оцразочник состазлен бвз стремления к полноте, а исходя из наоущных потребнсотей. Всв, что здеоь приведено, иопользуетоя на занятиях по математике поотоянно и язляетоя отоль нежным, что должно быть н памяти (за малым иоклшчеяием, опециально оговоренным в разделе "Интегралы" ). И и то же время никакого оцецивльного зыучииаиия и тем более зубрежки быть ыв должно.
Это было бы бвополезной и даже вредной тратой времени. Полезно другов - прорешать столько примеров и задач, чтобы зое нужное запомнилооь оамо ообой. 1.еагп Нп"оипЬ изе - гласит английская псоложица. И поолвднев. Если что-то з этом опразочникв нв понравится кем по форме, не смущайтеоь и не удиычяйтесь, а придумайгв что-нибудь свое. ведь зрительная память очень субъективна, у каждого своя. Исли что-то не понраиитоя по осдержвниюдобазьтв нсе, что считаете полезным: длл етого специально сстаиляетоя свободное место.
Каждый столяр должен свм решить, где вму держать молоток, а где гвозди и какие именно. Каждый инженер должек содержать в образцоиом порядке овои математические инструменты - графики, тождества, интегралы, рядн ... Итак: занимаешься математикой - держи справочник при овбе. Это азбука инженерно-математического вйдвния. Так что мсзсзь глаза и руки. Активней! Главное попятив инжвнврной математики - функция. Самая наглядная форма вв аосприятия - график. Оьновннэ элвмвнтарныв функции, о которымз чаще всего приходится эотречаться - отсс Ф пенная ( х, и - любое дейотзитвльнов число), показательная (лучшв в~), логарифм (лучше катурвльный - (п х ), тригонометрические ( щах, сов х„(О х, с1с х, агсз(пх, агссоз к, .агой~ х, егози х) . Самая важкак функция - многочлек, линейная комбинация целых положительных степеней: и к-т асх +а~Х + " +а 1Х + а„.
Многочлзы — любимая функция инжвнвра и ЭНз. И н творвтичвсксм расамотрвнии, и при пычислвнии нвт ничего более простого и удобного (сложить-умножить, вот и эов). Область опрвдвлвния - ься чисзопак ось. Всюду непрерывность. Диффврвыциропать и иктвгрироьать можно околько угодно раз - всв разно оотаешьоя в класов многочлвнов. Аоимптот нвт (всли нв считать многочлвна пврвой или нулевой ствпени - прямая линия оэма свбв воимптота). Словом, мкогочлвны нельзя нв лкбить. Но любовь должка быть взаимной. Поэтому раз и навсегда слвдувт осознать, как оебя вести при зотрвчв о многочленом. Вот зти правила паээдвння, 1.
Уьидел мыогочлен - обрадуйся, 2. Увидел квадратный трвхчлен - выдали полный кэздрат (э одном случка из 1ОО от этого нв будвт хужв, а в ооталь- ных 99 - будет лучше). 3. Увидел многочлвн - развали зго на проиэювдвзив оамно- китвлвй, ликвйзых и кнадратичных; линвйкыэ сомножитзли дают корни многочлзна (точки обращения в О): нули и чиолитвлв- зто точки пврэсвчзния графика о ооью абсцисс, нули э энамвна- твлв звртккзльныв асимптоты. 4. Увидал отношение многочлвною - проверь: ствпвкь чзсли- твля должна быть строго меньше отвпвни зншзвнателя; пока этого пвт - дробь нв смотрится, так что подали числитель на знзмвна- тель (э одном случав из 1ОО от этого не будет хуже, а и осталь- ных 99 - будет лучше). Котати, сравнение ствпвней многочлвною в чиолителе и зншзвнателв дает полезную гвометричвокую инфор- мацию: степень числителя мвкьшв степени знамвнатвля оэначавт ыа- личив горизонтазьной аоимстоты у = О," отвпвнь чиолитвля равна степени знаменателя — наличие го- ризонтальной аозмптотн у = — з- (отношенив коэффицзвжтов й ь, при старших отвпвнях числитвля и знвмвнатвля); ствпвнь числителя больше отвпвнз знаменателя на 1 — нали- чка наклонной аоимстоты (зов упомязутыв аоимптоты - дьуотороы- ызв); ствпзыь числителя презышзвт отвпвнь знака наталя бокьшв чвм на 1 - асзмптоты нет.
у=х Для осознания хода крипнх У = х" при и > 1 и и <1 полевно раоомотрвть один "совмещвнннй" график 1для х > О ). 2 прямая У=,х - бисоектриоа У У"Х координатного угла Кривне х~ У" х х ...х при 0< х<1 распслоивпн ниже биосвктрион, а при х > 1- ф ~~х е пнше. Соиершенно симметрично ~/Х располагаютоя криппс у=А/х, Фх'"-ТУ".: Х при О<х<1- знше биссектрисн, а при х > 1 — ниав биссектрисы; причина симметриивеаимная обратность 4ункпий О х и а у=х и У=~/х Т гономет ческие " и у е1пх (нечетная функция) у=акса(п х (нечетная функция) период Иж У игономет ические у=сакх агс(~ х(нечетная функция) у агсс(~ х ~ агс(~ х 2 Симметрия: функции е1пх и агсз1п х, сазх и агссоз х взаимно обратны.
Показательная и лога и ческая и Снова симметрия: функции ф х и агс(~ х, сф х и агсс(д х взаимно обратны, И здесь симметрия ввиду Взаимной обратности функций. а (четная функция) период Зм у - агссои х - — - агсе1п х Ж Я у (с'х (нечетная функция) период ж у - сну х (нечетнан функцки) период ж с х=~ оса«о у= «"з>п«о (г = хе+уз; «р = агой 2- ) Кардиоида ~" - ««(1+ осе «р ) ( 0:6 «р «~ 2 я) з Йннел пк емет че у=-<х ! Пыклоида с х=а(1-е1«т) у = ««(1 осе т ) 0< с ~2„ 10 2 мечевые, Векный шаг в освоении графиков - простейзие ейные мвнвпулввди с зргументом х и Функцией у (линейныето есть ничего, кроме прибыаения-вычитания константы и Уын кения-деления нь константУ).
Продумайте (и прочУвствуйте > ), как овязаны о гре4ыком у= > (х) гра4ики у ->'-'(х), у= >( х) у <~(х)<, зятем у- Йх)+1, у->(х>-1, у-1(х+1>, у-1(х-1), у=2>'(х), у= — >(х>. у" Ййх), у->(2) (разумеется, константы могут быть ы другими, здесь взяты самые простив), Все ети грайики получаытся ив искодногс у = У"(х) пооле сост ветотнующего рестякения (сжатия), сдвига или поворота; ые страшыо и сочетание таких процедур. Пример (семый простойте оемый кегля нный ы семь«й полезный), у <х! у= <х 1! у <х<+1 у 2<х! <х-1! у <х <-1 у= — <х ! > >( "вея в и ных коо н тел ( г,» Вычисление; / Ф а а а, Ь„Ь, Ь, Определение: аЬ =~а ! ~ о 1ссз Ч> Использование: Вычисление: аЬ =а Ь + азЬз+аьЬз Использование аЬс = (а~Ь)В ат аз аь Ь з оь аЬо= 12 ВВ(СГОУВМЕ ОПБРЬПИИ (скалярное, векторное, смешанное произведения векторов) , а а ) Ь(Ь Ь, Ь ) - произвольные векторы.
а(а~ аз аь ° ~' з' ь Модуль (длина) вектора и ~а~- а +а +а 1 Х, Окелярное произведение векторов (обозначение аЬ или Я,Б) ) (при а=Ь:а = ~а), т.е. )а)=>(/а~ ). 1аЬ! вычисление проекции пр а-=, )Ь) аЬ вычисление угла меиду векторами ссзЧ>=.т ттт( )Ш «~ (в чаотнооти проверка их перпендикулярности, прн этом а Ь О ), П. Векторное произведение векторов (обозначение а~Ь или (а, Ь ) ), Определение: с -аз Ь > если Д ~ с!- ! а ))Ь 1 е(п Ч>, 3) с.!.а, с3 Ь, 3) тройка векторов а, Ь, с - правая (в силу етого Ь > а — а з Ь ).
вычисление плошади параллелограмма 8 )а з Ь) вычисление плошади треугольника 8 - — )ах Ь~ 1 2 вычисление угла мекку векторшии еш !а> Ь! ! аП$! Ш, Омешанное произведение векторов (обозначение аЬс, где о(с, с, с "> - произвольный вектор). Определение; Использование: вычисление объема параллелепипеда У= ~ а Ь П), вычисление объема пирамиды (тетраздра) )1= — )аЬс!, проверка компланарности векторов а Ь с О (в случае некомоланарнооти векторов а Ь с Ф 0 ).
драп втОРОго ПоИЛкА р - параметр ( р) О ) 2 у 2рх 2 2 х + Ь2 2 у =-2рх Лиректриса: х- - —, р Фокус: Г( р, О), )(иректриоа: х р 2 ' Фокус: Г (- —, О). Ф„у,н; р ( О,-с); у',(О> с), Хз у ХИПЕРБОУА — " 2 1 аэ Ь а, Ь - полуоси, с=2)~а + Ь 1 2=2" фокуоное расстояние, у = + — х- асимптотн, Ь а 2 — - эксцентриситет (э>1), Фокуон: Г (-с, О); Г ~с О) . левак полуокруж- ность х -ф-уй ИООИУ)(ИООУИ ИУОУОгО ООУ)ц(((А х у ь' с Зксцентриоитет з = Ь Фокусы "переезжают" о оси абсцисс на ось ординат: Г (О,-с)> Г (О, с). 14 а - большая полуось, Ь - малая псяуооь, с= а -Ь' - фокусное с расстояние, з~ — - экс пентриситет ( О < з <1 ).
Фокуон: Г(-с,О); Г' (с,О). и а=Ь р эллипс превращаетоя в окружность: х+у 2 (2-0). При а=Ь А' При а <Ь "лежачий" эллипс превращаетоя в "отоачжй" „фокусы "перееииют" о оси абсцисо на ось ординат; С ° Гэ 2 эксцентриоитет е= — (с=чЬ -и ), Ь 2 2 х 2ру У х --2ру Лиректриса1 у=- †, дзрэктриса р р окуз Г (О, — ) . - Фс„ус р(О ) 2 2 Замечание, На примере окружнооти х +у -1 необходимо осознать факт общего характера - дкя мвх кривнх и поверхностей второго порядка (причина прозрачна - дэа разных знака у радикала): окружи ооть верхняя нижняя пскуокруж- пслуокруж- псиуокруж неруд ность нооть х'+у' 1 у-ф1-хэ у. )~~ х~ х„)~, уй Уравнения проотейших поверхностей второго порядка- цилиндричеоких - имеют тот же канонический вид, что и у кривнх второго порядка: эллиптический (или круговой) цилиндр, гиперболический цилиндр, параболический цилиндр.
В кажном сечении горизонтальной плоскостью л- сопМ получа- ются соответственно эллипс, гипербола, парабока. Итак, уравне- ния цилиндрических поверхностей второго порядка фактически уке приведены, а внешний эид их и беэ того ясен. П 2 2 ЗКЛИПСОИД вЂ” —, + — = 1 лй у Ж 62 сй В се~енин х=сспзТ, у- сопела - парабола. В сечении я= сопев- аллино. В сечении х-сопе1, СОПЗТ- парабола. Б сечении ж сспз1- гипербола (если аспас =О - гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых).
В сечении х = сопзТ, у-сспзФ - гипербола. В сечении х=сспз(- эллипс, 16 В сечении х=сспз(, а Ь с Р: у-сспзТ, й 2 й 2 +у+Х Л я сспз1- эллина. (с4ера) В сечении ж=сспз1 - эллипс. В оачении сс сопзТ, у сопзт - гипербола (если сспзТ - О - гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых). й 2 ОДНОПОКООТБНИ бй)ЕРБОНОИД вЂ” + — — — = 1 Х щ2 Ьй сй В сечении сс=сопМ, у=сопз1 - гипербола. В сечении к=сапах - аллина. 2 2 „2 ДВуКПОКООТБНН ГИПЕРБОКОИД вЂ” + — —— Х! цй Ьй Сз сс у ЗДАИПТИЧЕОКИИ ПАРАБОНОИД вЂ” + — йл ( р > О Р 2 й ГИПЕРБОКИЧЕОКИИ ПАРАБОКОИД вЂ” " — 2 л ( Р ~ О !~ ~ О ) Р Я У Замечание.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
