МУ - М-108 (1003875)
Текст из файла
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего профессионального образования «Московский государственныйтехнический университет им. Н. Э. Баумана»Голяк Иг. С., Есаков А.А., Руцкая А.М.ИССЛЕДОВАНИЕ СВОБОДНЫХ ЗАТУХАЮЩИХ И ВЫНУЖДЕННЫХКОЛЕБАНИЙ НА ПРИМЕРЕ КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКАМетодические указания к лабораторной работе М-108 по курсу «Общейфизики»Под ред.
к.т.н., доцента Андреева А.Г.Москва 2014 г.1Цельработы:определениеИзучениесвободныхамплитудно-частотныхзатухающиххарактеристикколебаний,вынужденныхмеханических колебаний, наблюдение резонанса на примере крутильногомаятника.Теоретическая частьМеханической колебательной системой называют систему, котораяспособна совершать периодические движения в пространстве. Если наэлементы системы не действуют диссипативные силы (соответственномеханическая энергия сохранятся), то колебания носят незатухающийхарактер,впротивномслучае–происходитзатуханиеколебаний(механическая энергия постепенно рассеивается).При отсутствии переменных внешних сил система может совершатьколебания,которыеназываютсясвободными.Рассмотримтакиемеханические колебания на примере модели в виде груза на невесомойпружине на гладкой горизонтальной поверхности.Рис.
1. Пружинный маятник.В системе, изображенной на рис. 1, горизонтальные колебанияпроисходят под действием только силы упругости (силы Гука). Поскольку всистеме не действуют диссипативные силы, то выполняется законсохранения механической энергии,(1)2где– потенциальная энергия упругой пружины, равнаякинетическая энергия тела, равная,–,– деформация пружины,–скорость груза.Продифференцируем выражение (1) по времени, получим(2)Преобразуем выражение (2)(3)В выражении (3) один из двух сомножителей равен 0. Если постоянноравно нулю , то это означает отсутствие движения.Во втором случае, если равен нолю второй множитель, тогда получимдифференциальное уравнение движения тела массыотносительноположения равновесия в виде(4)Выражение (4) представляет собой дифференциальное уравнениесвободных колебаний гармонического осциллятора с циклической частотойравной, решением которого служит соотношение,где амплитудаи начальная фаза(5)определяются из начальных условий.Аналогичное периодическое движение может совершать и крутильныймаятник (рис.
2), представляющий собой конструкцию массойв видекольца, закрепленного с помощью спиц к ступице, которая сцеплена сневесомой спиральной пружиной, закрепленной на неподвижном основании.Однако в отличие от рассмотренного поступательного колебательногодвижения в уравнении динамики для такого маятника учтем действие силсопротивления, и как следствие, моментов этих сил. Кинематическойхарактеристикой движения маятника будет уголотклонения маятника отположения равновесия.3+-mZРис.2.
Крутильный маятник.Основное уравнение динамики вращательного движения проекции наосьзаписывается в виде(6)где– направленная «на нас» ось вращения маятника, что и обозначено нарис. 2,– момент импульса маятника относительно выбранной оси Z,–моменты внешних сил относительно той же оси.Момент импульса маятника, вращающегося относительно осисугловой скоростью,где– момент инерции маятника относительно оси.
Подставим этовыражение в (6) и получим,где(7)– угловое ускорение маятника.Если сумма моментов внешних сил будет равна нулю, то моментимпульса сохраняется, и, как следует из (6), вращение маятника будетравномерным.4Длявозникновениясвободныхколебаниймаятниканеобходимвозвращающий момент. В нашем случае он пропорционален углуотклонения от положения равновесия,где– коэффициент упругости спиральной пружины.Вприродевсереальныеколебательныесистемыявляютсядиссипативными.
Механическая энергия колебаний системы убывает за счетработы против сил трения, поэтому свободные колебания всегда затухают –их амплитуда постепенно уменьшается. При наличии вязкого трения, чтоимеет место в рассматриваемой конструкции, момент сил сопротивленияможно считать пропорциональным угловой скорости,Таким образом, уравнение движения (7) крутильного маятника в этомслучае может быть записано в виде(8)Подставляя в (8) выражения для момента упругих сил и моментадиссипативных сил, получим однородное дифференциальное уравнение спостоянными коэффициентами, которое после преобразований будет иметьвид,где- коэффициент затухания,(9).В общем виде решение дифференциального уравнения (9) при условиибудет выглядеть как,где(10)– циклическая частота свободных затухающих колебанийзатухающей системы.5В случае большого сопротивления средысистема неосциллирует.
Такое поведение системы представляет собой апериодическийпроцесс.Подставимв уравнение (10) затухающих колебаний, полагая. Амплитуда колебаний черезпериодов обозначим, с учетомполучим соотношение.(11)Взяв натуральный логарифм от выражения (11) от отношения амплитудсмещений, следующих друг за другом через промежуток времени, равныйпериоду, получим величину, называемую логарифмическим декрементомзатухания.Подставляяи,в уравнение(12),получим выражение для периода затухающих колебаний.(13)Следовательно, зная период незатухающих колебаний системылогарифмический декремент затуханиязатухающих колебанийи, мы можем вычислить период, но экспериментально проще сначала определить, а затем уже вычислить .В случае вынужденных колебаний система колеблется под действиемвнешней вынуждающей силы, и за счет работы этой силы компенсируютсяпотери энергии системы.
Частота вынужденных колебаний зависит отчастоты изменения вынуждающей силы. Уравнение колебаний в этом случаеможет быть получено из (9) добавлением закона изменения вынуждающеговоздействия,(14)6где– амплитуда момента вынуждающей силы,- циклическая частотавынуждающего момента.После установления колебаний крутильный маятник колеблется встационарном режиме с той же угловой частотой, что и источниквозмущений, при этом между колебаниями может быть сдвиг по фазе,где(15)- разность между фазой смещения при вынужденных колебаниях ифазой момента вынуждающей силы.Для амплитуды установившихся вынужденных колебанийимеетместо выражение,(16)вывод которого приведен в [1].Тогдавотносительныхединицахзависимостьамплитудывынужденных колебаний от циклической частоты вынуждающего моментабудет иметь вид (АЧХ),где- постоянная величина для колебательной системы.В случае отсутствия потерь на трениепри(17)теоретически амплитудабесконечно возрастает и может привести к «катастрофическомурезонансу» (см.
рис. 3).из (16).711Рис. 3. Амплитудно-частотная характеристика вынужденных колебаний.В случае колебаний с малым коэффициентом затухания амплитудавынужденных колебаний достигает максимума, когда циклическая частотавынуждающей силыниже частоты собственных колебаний системы.Эта частота, называемая резонансом, получается из(18)Сильное затухание не только удаляетот, но и уменьшаетамплитуду резонанса (рис.
3). Для сдвига фазы системысправедливоследующее соотношение(19)В случае затухающих колебанийи, когда,, при,(рис. 4). Это необходимо учитывать визмерительной технике, и выбрать датчики с собственной частотойзначительно большей, чем частота измеряемых колебательных величин дляуменьшения ошибок измерения.8Рис. 4. Фазово-частотная характеристика колебательной системы в случае затухающихколебаний.В случае незатухающих колебанийдля,дляи(рис. 5).00Рис. 5.
Фазово-частотная характеристика колебательной системы в случае малогозатухания.9Экспериментальная частьОписание и принцип работы установки876543219101112Рис. 6. Внешний вид установки.Устройство маятника1) Корпус электромотора, скорость вращения которого зависит отнапряжения питания;2) Ручка точной настройки напряжения питания электромотора;3) Ручка грубой настройки напряжения питания;4) Шкала для измерения углов отклононения маятника;5) Маятник;6) Спиральная пружина;7) Стрелка-указатель углового положения возбуждающего устройства;8) Стрелка-указатель отклонения маятника;9)Источник возмущений, связанный одним из концов с пружиной;10) Индукционный тормоз;11) Шатун;12) Эксцентрик;10Крутильныймаятниксостоитиздеревянногооснованиясколебательной системой и электромотором на нем.
Колебательная системапредставляет собой медное кольцо со спицами и ступицей (5), соединенное срычагом посредством спиральной пружины (6), которая обеспечиваетвозвращающий момент. С помощью ручек грубой и точной настройкизадается вращение электромотора крутильного маятника. В движениемаятникприводитсяраскручиваетэксцентрикомпружину,азатем(12)ссжимаетшатуномеес(11),которыйпериодическойпоследовательностью и тем самым инициирует колебание медного кольца.Индукционный тормоз (10) используется для изменения затухания. Шкала спрорезями (4) и ценой деления 2 мм.
расположена на внешней сторонеколебательной системы; регуляторы скорости (2), (3) вращения двигателярасположены на корпусе (1).Задание А. Определение логарифмического декремента затуханий приотсутствии протекания тока в индукционном тормозе1). Определите периодколебаний маятника. Для вычисленияпериода необходимо отклонить маятник на 15 делений и измерить времяn=10 полных колебаний маятника.
Период вычислить из соотношения.2). Определите частоту колебаний по известному периоду изсоотношения.3). Отклоните маятник на угол, соответствующий 15 делениям изафиксируйте максимальные отклонения маятника в конце каждого из 5типериодов. Измерения повторить 4 раза. Данные занести в табл.1.ВычислитеДля вычислениясреднеезначениевоспользуйтесь выражениемамплитуды.(данные занести в табл. 1).11Таблица 1., деленийПериод (N)0151515151512345Для вычисления коэффициента затухания , воспользуйтесь соотношением,где– среднее значение логарифмического декремента затухания.Частоту собственных колебаний крутильного маятника находится изсоотношения.Убедитесь, что при малом затухании колебания практически гармонические.Если при отсутствии тока в индукционном тормозе частотыотличаются, то определите время релаксации по формулеизаметнои проверьтенайденное время экспериментально.5) Для экспериментального определенияделений и определите времяуменьшится вэтого отклоните маятник на угол, в течение которого амплитуда колебанийраза, т.е.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
