МУ - М-101 (1003863), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Значения коэффициентов t p , f приведены в таблице 3.Таблица 3.Значения коэффициентов t p , ff = n −1P = 0.9P = 0.95P = 0.99P = 0.99916.3112.7163.66636.622.924.309.9331.632.353.185.8412.942.132.784.508.652.022.574.086.961.942.453.715.9671.902.373.505.481.862.313.365.0491.832.263.254.7810812.233.174.6При вычислении погрешности по формуле (12) значение доверительной вероятности P принять равным P = 0.95 .83. Используя данные строки 6 таблицы 1 для каждого значения длины маятникаl получить и занести в таблицу 1 (строка 8) оценку значения ускорения сво-бодного падения g с помощью равенства2 2π g = l .T(13)4. С помощью равенств, аналогичных равенствам (11) и (12) вычислить среднеезначение g и погрешность ∆g , принимая P = 0.95 . Результат записать в видеg эксп. = g ± ∆g .Сравнить полученный результат с табличным значением.5.
Пользуясь формулой (7) и табличным значением ускорения свободного па-дения g , построить на миллиметровой бумаге по точкам график теоретическойзависимости периода колебаний маятника от его длины.3. На том же графике нанести найденные средние значения периодов колебанийи погрешности измерения.4. На отдельном графике построить, пользуясь данными таблицы 2 зависимостипериодов колебаний маятника от амплитуды колебаний. По оси абсцисс откладывать значения sin 2α.2Контрольные вопросы.1. Какое движение механической системы называется колебательным? Что называется периодом и частотой колебаний?2.
Какая система называется математическим маятником?3. Какие колебания называются гармоническими? Что такое амплитуда колебаний.4. Какие колебания называются изохорными? Являются ли колебания математического маятника изохорными? При каком условии колебания математического маятника можно считать изохорными?95.
Пользуясь формулами (9) и (10) оценить погрешность оценки периода колебаний математического маятника с помощью формулы (7) при углах отклонения α = 45°, 60° и 70° .6. Полагая погрешности измерения периода колебаний, длины маятника и угламаксимального отклонения равными соответственно ∆T , ∆l и ∆α , записатьформулы для косвенной погрешности измерения ускорения свободного падения g с использованием равенств (7) и (10).7. Учитывая, что радиус шарика r = 16 мм , его масса m = 152.7 г , а расстояниеот точки подвеса до центра тяжести l = 30 см , оценить относительную погрешность, которую дает формула периода малых колебаний математического маятника (7) по сравнению с формулой периода малых колебаний физического маятникаI.mglT = 2πПри какой длине маятника эта погрешность будет превышать 5%.ПриложениеЧтобы найти зависимость периода колебаний от амплитуды, запишем закон сохранения энергии для колебаний математического маятника с конечнойамплитудой21 dα l + g ( cos α 0 − cos α ) = 0 ,2 dt (П 1)извлечём из него квадратный кореньdα2g=( cos α − cos α0 )dtlи выполним разделение переменныхdt =dα2g( cos α − cos α0 )l.(П 2)Таким образом, период колебаний маятника определяется интегралом:10lT =42gα0dαl=2gcos α − cos α 0∫0α0∫0dα.ααsin 2 0 − sin 222(П 3)Полученный интеграл относится к классу интегралов эллиптического типа и неможет быть выражен через элементарные функции.
Чтобы вычислить этот интеграл в виде сходящегося тригонометрического ряда, сделаем замену переменных с помощью равенства:sinαα= u sin 0 .22(П 4)Так как угол отклонения α меняется в интервале 0 ≤ α ≤ α 0 , то 0 ≤ u ≤ 1 . Дифференцирование равенства (П 4) дает1ααcos dα = sin 0 du .222(П 5)Подставляя равенства (П 4) и (П 5) в (П 3), получим,1lT =4g ∫0du(1 − u 2 )(1 − k 2u 2 ),(П 6)α0, кроме того, мы учли, что cos ( α / 2 ) = 1 − k 2 u 2 .2Так как на всем интервале интегрирования k 2u 2 < 1 , то функциюгде k = sin(1 − k u )2 2 −1/ 2можно разложить в ряд∞1 2 2 1⋅ 3 4 41 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ (2n − 1) 2 n 2 n=1+ k u +k u +…+k u + … = ∑ cn k 2 nu 2 n ,22⋅42 ⋅ 4 ⋅ … ⋅ 2nn =01 − k 2u 21гдеc0 = 1,cn =1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ (2n − 1)2 ⋅ 4 ⋅ … ⋅ 2n(n > 0) .Подстановка этого выражения в (П 6) даёт следующее равенствоl ∞u 2 n du2nT =4∑ cn k ∫ 1 − u 2 ,g n=001из которого, принимая во внимание известное соотношение111∫0u 2 n du1 − u2= cnπ2,получимl ∞ 2 2nT = 2π∑ cn k .g n=0В развернутом виде это выражение примет видlT = 2πg 1 2 2 α 0 1 ⋅ 3 2 4 α 0++ ...1 + sin sin222⋅422 1 ⋅ 3 ⋅ ...
⋅ (2n − 1) 2 n α0++sin...2 2 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅ 2n (П 7)Ограничиваясь членами второго порядка малости, получим приближенное выражение зависимости периода колебаний от амплитудыlT = 2πg 1 2 2 α 0 1 + sin.2 2 (П 8)СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Савельев И.В. Курс общей физики. Механика. М.: Физматлит, 1990.2. Сивухин Д.В. Курс общей физики: В 5 т. Т. 1: Механика.
М. Наука. 1990.3. Беззубов Ю.И., Иванова Т.М. Методические указания по выполнению графических работ в физическом практикуме, М., МГТУ, 1986.4. Савельева А.И., Фетисов И.Н. Обработка результатов измерений при проведении физического эксперимента. Методические указания к лабораторной работе М-1 по курсу общей физики. М., МГТУ, 1999.ОглавлениеВведение..............................................................................................................................................1Теоретическая часть...........................................................................................................................1Экспериментальная часть..................................................................................................................5Схема установки.............................................................................................................................5Порядок выполнения работы ........................................................................................................6Обработка результатов измерений.
..............................................................................................8Контрольные вопросы. ......................................................................................................................9Приложение ......................................................................................................................................10СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ................................................................................................................1212.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
