МУ-Э-82 (1003821)
Текст из файла
Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Физика»Л.И. Баландина, М.Ю. ДокукинИССЛЕДОВАНИЕМАГНИТНОГО ПОЛЯ КАТУШЕКГЕЛЬМГОЛЬЦАМетодические указания к лабораторной работе Э-82по дисциплинам «Физика», «Физика и естествознание»Под редакцией Б.Е. ВинтайкинаМосква20142Цель работы – изучить системы, позволяющие создавать в пространствеоднородные магнитные поля; экспериментально исследовать распределениемагнитного поля вдоль оси системы катушек Гельмгольца.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬМагнитное поле в вакуумеДвижущиеся заряды (проводники с токами) изменяют свойстваокружающего их пространства – создают в нем магнитное поле.
Это полепроявляется в том, что на движущиеся в нем заряды действуют силы.Силовую характеристику магнитного поля называют магнитной индукцией иобозначают как В. Единица магнитной индукции в СИ – тесла [Тл].Опыт показывает, что магнитное поле имеет направленный характер,поэтому индукция магнитного поля – векторная величина. Для магнитногополя справедлив принцип суперпозиции: магнитное поле, создаваемоенесколькими движущимися зарядами или токами, равно векторной суммемагнитных полей, создаваемых каждым зарядом или током в отдельности,т.е.(1)Ж.
Био и Ф. Савар провели в 1820 г. исследование магнитных полейтоков различной формы. Они установили, что магнитная индукция во всехслучаях пропорциональна силе тока, создающей магнитное поле и зависит отрасстояния до той точки, в которой определялась величина вектора В.П. Лаплас проанализировал экспериментальные данные, полученныеЖ. Био и Ф. Саваром, и нашел, что магнитное поле любого тока может бытьвычислено как векторная сумма (суперпозиция) полей, создаваемыхотдельными элементарными участками тока.
Так для магнитной индукцииполя, создаваемого элементом тонкого проводника с током I и длиной dl(рис. 1), он получил формулу:d(2)3где μ0 – магнитная постоянная (μ0 = 4π.10-7 Гн/м), dl – вектор, совпадающий сэлементарным участком тока и направленный по току, r – радиус-вектор,проведенный от токового элемента в точку P, в которой определяется полеdB.IαrdBdlPРис. 1.
Магнитная индукция от элемента проводника с токомЗатем проинтегрировав формулу (2) по всем элементам, П. Лаплас пришел квыражению для результирующего поля от всего проводника:(3)Формула (3) является одним из аналитических выражений закона Био –Савара – Лапласа.Поле вектора В можно представить наглядно с помощью линиймагнитной индукции, которые проводятся так, чтобы касательная к этимлиниям в каждой точке совпадала с направлением вектора В, а густота линийсоответствовала модулю этого вектора в данном месте.Исходя из закона Био – Савара – Лапласа можно доказать, чтоциркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру Г равнапроизведению магнитной постоянной μ0 на алгебраическую сумму токов,охватываемых этим контуром, т.е.(4)Выражение (4) справедливо только для поля в вакууме.
Вычисляя суммутоков, положительным нужно считать ток, направление которого связано снаправлением обхода по контуру правилом правого винта. Выражение (4)называют теоремой о циркуляции вектора В. Тот факт, что циркуляция4вектора В не равна нулю, означает, что магнитное поле не потенциально.Такое поле называют вихревым.Близкое к однородному магнитное поле может быть создано спомощью катушек с током – соленоидов и катушек Гельмгольца.Соленоидом называется цилиндрическая катушка с обмоткой (провод,навитый на цилиндрический каркас). Внутри длинного соленоида, сотношением длины соленоида к его диаметру не меньше 10, магнитное полеоднородно и его индукция равнаB=,(5)где n – число витков соленоида, приходящееся на единицу его длины, I –сила тока в соленоиде.Катушками Гельмгольца называется система, состоящая из двуходинаковых тонких катушек, расположенных соосно на расстоянии, равномих радиусу.
В пространстве между катушками создается почти однородноемагнитное поле, и его индукцию можно рассчитать по формуле:B=,(6)где N – число витков в каждой катушке, I – сила тока, проходящего черезпоследовательно соединенные катушки, R – средний радиус катушки.В лабораторной установке исследуется магнитное поле катушекГельмгольца. Для измерения магнитной индукции используется датчик наоснове эффекта Холла.Магнитное поле катушек ГельмгольцаПолучим приведенную выше формулу (6) магнитной индукции вцентре катушек Гельмгольца.Рассмотрим сначала магнитное поле, создаваемое током, протекающимпо тонкому проводу, имеющему форму окружности радиуса R (круговойток). Найдем магнитную индукцию B на оси кругового тока на расстоянии zот центра контура (рис.
2). Элемент тока dl создает в точке А согласно законуБио – Савара – Лапласа индукцию, модуль которой равен5dB =dBz.BdBβАrzβROIdlРис. 2. Поле кругового токаОт всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB. Изсоображений осевой симметрии можно заключить, что результирующийвектор В в точке А будет направлен по оси z вверх. Это значит, что длянахождения модуля этого вектора необходимо сложить проекции векторовdB на ось z:dBz = dB cosβ =(7)Интегрируя выражение (7) по всему токовому контуру и учитывая, что r =, получимB = Bz =(8)Формула (8) определяет величину магнитной индукции на оси круговоготока.Рассмотримдалеесистемуиздвухкольцевыхпроводниководинакового радиуса R, соосно расположенных на оси z на расстоянии а другот друга. Поместим начало координат в центре одного из колец (рис.
3). Еслитоки в каждом кольце одинаково направлены и равны по величине, тоиндукция магнитного поля в точке А на расстоянии z от первого кольца равнасумме магнитных индукций полей, создаваемых токами первого 1 и второго2 колец. Согласно формуле (8) имеем:6B1z =;B2z =.Тогда индукция магнитного поля на оси колец в точке с координатой z равнаBz =,(9)где I – сила тока в каждом кольце, R – радиус кольца.z2R1B1 IA B2 Rа0yIxРис. 3. Поля кольцевых проводниковНеоднородность Bz в первом приближении характеризуется первойпроизводной(10)При z = получаем.
Найдем вторую производную:(11)В точке с z =вторая производнаяобращается в нуль при условии, чтоa= R.Условия обращения в нуль выражений (10) и (11) позволяютутверждать, что для получения наилучшей однородности поля расстояниемежду кольцами должно равняться их радиусу. Два коаксиальных кольцевыхпроводникаодинаковогорадиуса,расположенныевпараллельныхплоскостях, расстояние между которыми равно радиусу колец, называюткольцами Гельмгольца.
Магнитное поле на оси колец Гельмгольца вблизиточки z =обладает высокой степенью продольной однородности. Можнотакже показать, что высокая однородность поля будет и в поперечном7направлении. Таким образом, поле однородно в значительной части объемапространства между кольцами Гельмгольца.Графически результат сложения магнитных полей на оси колецГельмгольца показан на рис. 4.1,5Bz1,0B1zB2z0,5z/R0,51,0Рис.
4. Распределения магнитных полеймежду кольцами ГельмгольцаНа рисунке представлены графики изменения B1z и B2z (в условных единицах)0,0магнитных полей на оси каждого из колец Гельмгольца, а также суммарноеполе Bz на оси системы колец.На рис. 5 изображены силовые линии магнитного поля колецГельмгольца. Показаны лишь линии, лежащие в одной из плоскостей,Рис. 5. Силовые линии от колец Гельмгольца8проходящей через ось системы колец. Подобная картина имеет место влюбой из этих плоскостей.Данный результат получен для двух тонких колец с током.
На практикетакую систему колец использовать нельзя, так как величина тока,необходимая для получения даже небольших полей будет слишком велика.Поэтому для получения однородных полей используют катушки с большимчислом витков, которые называют катушками Гельмгольца. Катушкидолжны выполняться так, чтобы размеры сечения катушек были малы посравнению с их средним радиусом. Расстояние между катушками,отсчитываемое от их центров, равно среднему радиусу катушек. Несмотря наконечныйразмерсечениякатушек,высокаястепеньоднородностимагнитного поля сохраняется в большом объеме пространства междукатушками Гельмгольца.В лабораторной установке используют катушки Гельмгольца сфиксированным расстоянием между катушками.
Пару катушек несложноразъединить и тогда можно исследовать магнитное поле одной катушки имагнитное поле двух катушек, находящихся на произвольном расстояниидруг от друга.Если катушка имеет N витков и по ней течет ток I, то формула (9)можетбытьзаписанадлядвухкатушекстоком,соединенныхпоследовательно и находящихся на расстоянии а друг от другаBz =.(12)Из формулы (12) следует, что если a < R, то индукция магнитного поля наоси катушек имеет максимальное значение. Если же a > R, то индукциямагнитного поля имеет минимальное значение. В этом можно убедиться,выполнив эксперимент.Для катушек Гельмгольца (а = R) в средней точке (z = ) по формуле(12) получим9Bz =(13)Неточность калибровки датчика Холла и невозможность правильнойустановки геометрических параметров при выполнении экспериментаприводит к отклонению реальных результатов от расчетных примерно на0,15 мТл.Применение эффекта Холла для определенияиндукции магнитного поля катушек ГельмгольцаДля экспериментального исследования магнитного поля катушекГельмгольца в лабораторной работе применяют датчики, работающие наоснове эффекта Холла.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
