Математический анализ - ответы на вопросы на СтудИзбе

Укажите ВСЕ линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Расположите их в порядке возрастания без запятых и пробелов.

1. y'' - 6y' + 8y = 0
2. y' = arctg x + 2
3. y'' - 9y = 0
4. y' = x⁴ + 8
5. ни одно из приведенных

Установите соответствие между характеристическим уравнением линейного дифференциального уравнения и его корнями:

• λ² + 1 = 0
• λ² - 3λ = 0
• λ³ - 16λ = 0
• λ² - 4 = 0

1. 0,3
2. i,-i
3. 0,4,-4
4. 2,-2
5. 1, 2
6. 0, 1

Расположите следующие уравнения в порядке возрастания их порядков. Ответ запишите без пробелов и запятых.

1. xy' + y = ln x
2. y^IV= sin x
3. y'' + 2y' - y = 0
4. y''' + 8y = e^x

Расположите следующие уравнения в порядке возрастания их порядков. Ответ запишите без пробелов и запятых.

1. y' - (1 + x)y + sin x = 0
2. y^IV = sh x
3. y'' + 3y' - 4y = 0
4. y''' + y = sin x

Укажите ВСЕ линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Расположите их в порядке возрастания без запятых и пробелов.

1. y'' + 3y' - 4y = 0
2. (x⁴ + x) dx = sin y dy
3. y'' + 4y = 0
4. y' = x
5. ни одно из приведенных
   

Определить тип дифференциального уравнения
y'=(4y+x)/x

• уравнение Бернулли
• однородное уравнение 1-го порядка
• уравнение с разделяющимися переменными
• уравнение в полных дифференциалах
• линейное уравнение 1-го порядка

Определить тип дифференциального уравнения
ydx-xdy=0

• уравнение с разделяющимися переменными
• линейное уравнение 1-го порядка
• однородное уравнение 1-го порядка
• уравнение Бернулли
• уравнение в полных дифференциалах

Установите соответствие между характеристическим уравнением линейного дифференциального уравнения и его корнями:

• λ² - 5λ = 0
• λ³ - λ = 0
• λ² - 9 = 0
• λ² + 4 = 0

1. 3, -3
2. 2i, -2i
3. 0, 5
4. 0, -1, 1

Общим решением уравнения y''+y=1/sinx является

• (C₁-x)cosx+(lnx+C₂)sinx
• (C₁-x)cosx+C₂sinx
• (ln(sinx)+C₂)cosx
• (C₁-x)cosx+(ln(sinx)+C₂)sinx

Решить задачу Коши
y'=cosx
y(П/2)=-2

• sinx-y=3
• 2sinx-y=3
• cosx+y=3
• -cosx-y=3
• sinx-2y=2

Общим решением уравнения y''-2y'+y=e^x/x

• (C₁+xC₂)2e^x
• (xlnx+C₁+xC₂)e^x
• x+C₁
• (lnx+xC₁)e^3x

К каждому примеру подберите ответ (решив дифференциальное уравнение)

• y' = y
• y'' + y' = 0
• y''' = 0
• y'' - 4 = 0
• y' = x

1. C₁ + C₂x + C₃x²
2. 2x² + C₁ + C₂x
3. C₁ + C₂e^(-x)
4. x⁴
5. x²/2 + C
6. Ce^x

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми: x=4; y=x; xy=4

• 6-4ln2
• 35
• 14
• 5+ln4
• 1+ln4

Установить соответствие между интегралом и его значением

Верно ли сформулировано определение: "Функция дифференцируема в точке, если в этой точке у неё существует производная"

• да
• нет

Общим решением уравнения 2xydx+(x^2-y^2)dy=0 является

• 3x+y=c
• 3x^2y-y^3=c
• xy+y^2=c
• 2x^3-y^2=c

Расположите следующие уравнения в порядке возрастания их порядков. Ответ запишите без пробелов и запятых.

1. y' - 2xy + y = 0
2. y⁴ = cos x
3. y'' + 6y' - 5y = 0
4. y''' + 27y = x

Решите задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка.
Запишите значение ее решения в точке x₀:

y'' = 12x², y(0) = 0, y'(0) = 0; x₀ = 1

Общим решением уравнения 6xdx-6ydy=2x2ydy-3xy2dx является

• y²+3=x²+4+C
• (x+4)²=C(y-2)²​​​​
• (y²+2)²=C(x²+3)³
• y²+x²=C

Общим решением уравнения y^(5)+8y'''+16y'=0 является

• C₁+(C₂-C₃x)cosx+(C₄+C₅x)sinx
• C₁+(C₂+C₃x)cos2x+(C₄+C₅x)sin2x
• C₁+(C₂+C₃x)cos2x
• C₁+(C₂+C₃x)cos3x+(C₄+C₅x)sin3x

Решение задачи Коши у'' - 2у' + 5у= 0, y(0) = 1 является:

• cos2x
• e^xcos2x
• e₂x

Радиус сходимости степенного ряда

• Равен модулю первого члена ряда
• Всегда положителен
• Всегда неотрицателен

Найти (x sinx)(2).

• 2 sinx
• -x sinx+ 2 cosx
• x cosx+ 2

Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите уравнение с разделяющимися переменными

Найдите площадь фигуры, заключенной между кривой, прямыми, x = 2 и осью Ox

Укажите ВСЕ линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Расположите их в порядке возрастания без запятых и пробелов.

1. y'' + 2y' + y = 0
2. y' = sin x
3. y'' - 4y = 0
4. y' = eˣ + 3
5. ни одно из приведенных

Установите последовательность вычисления двойного интеграла с заданной
подынтегральной функцией и областью интегрирования:

1. вычислить интеграл, записанный первым

2. записать область интегрирования в виде двойных неравенств

3. вычислить интеграл, записанный вторым

4. привести двойной интеграл к повторному, расставив пределы
интегрирования

Верно ли, что если функция интегрируема на данном отрезке, то она положительна на этом отрезке?

• Да
• Нет

Если все производные второго порядка функции двух переменных в точке отрицательны, то

• функция имеет максимум в данной точке
• функция может не иметь экстремума в данной точке
  

Найдётся ли функция, которая дифференцируема в заданной точке, но у которой нет предела при стремлении к этой точке?

• да
• нет

Верно ли, что, если производная функции на некотором интервале положительна, то функция строго монотонно убывает?

• да
• нет

Если в схеме Бернулли р - малая величина и λ = np, то вероятность Pn; m того, что при n испытаниях событие А произойдет m раз можно найти по приближенной формуле:

Верно ли, что если (в данной области) ротор векторного поля равен нулю, то поле потенциально?

• Нет
• Да

Решить задачу Коши y' sinx, y(π) = 0

• y+sinx=3

• 2y-cosx-1

• y-cosx=0

• y-2sinx-0

• y+cosx=-1

Решением задачи Коши y ′ − y = y2, y(1) = −1/2 является

Даны дифференциальные уравнения. Укажите среди них линейные уравнения

Определитель Вронского системы решений (на заданном интервале) дифференциального уравнения равен 1. Будут ли эти решения линейно зависимы?

• да
• нет

Общим решение уравнения y''+y'-2y=0 является

• C₁ex+C₂e-3x
• C₁e-x+C₂ex
• C₁e-5x+C₂e2x
• C₁e-2x+C₂ex

Решение задачи Коши y``+y=1, y(0)=1 есть:

• y=e^-x​​​​
• y=e^-x+1
• y=1

Существует ли функция, у которой в данной точке есть вторая производная, но нет первой?

• нет
• да

Общее решение уравнения y```-2y``+y`=0 есть:

• y=Ce^x​​​​
• y=(C₁+C₂+C₃)xe^x​​​​
• y=C₁+C₂e^x+C₃xe^x

Решить задачу Коши
y'=2x
y(0)=0

• y-x=5
• y+x=C
• y-x^2=0
• y-x^2=1
• y-x^3=-1

Существует ли функция, первообразная от которой равна удвоенной исходной функции?

• да
• нет

Производная первообразной функции f(x) равна

• f(x)
• f(x) + 2
• f(x)+C (где С – любая постоянная)
  

Модуль якобиана сферического отображения равен

• sin Ø
• p
• p² sin Ø
• p sin Ø

Могут ли у двух различных функций на некотором интервале быть одинаковые первообразные?

• Да
• Нет

Если область интегрирования D ограничена прямыми х=0, x=1, y=1, у=2, то
ff f (x. y)dxdy, приведенный к повторному, имеет вид:
(Напишите ответ в порядке возрастания без пробелов и запятых)

Найдите площадь области, ограниченной кривой y = 1/4 x^3, прямыми x = -4, x = -2 и осью Ох

Если при вычислении тройного интеграла в декартовой системе координат все пределы интегрирования равны, то область интегрирования ...

Общим решением уравнения y''-2y'-3y=e^4x

• ​C₁e3x+C₂e-x
• C₁e3x+C₂e-x+0,2e4x
• C₁e2x+C₂ex+1,2e3x
• C₁e3x+C₂e-x+2e5x

Является ли точка x = 1, y = 2 точкой локального экстремума для функции f = x3 + xy + 1:

• нет
• да

Если область интегрирования D ограничена прямыми х=1, х=2, у=0, у-2, то
двойной интеграл fff(x. y)dxdy, приведенный к повторному, имеет вид:
(Напишите ответ в порядке возрастания без пробелов и запятых)

Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: y = 1/cos^2x , y =0 , x1 = 0 , x2 = 45°

Модуль якобиана полярного отображения равен

• p sin Ø
• p
• p² sin Ø
• sin Ø

Укажите формулу для производной произведения функций u и v, если они дифференцируемы в некоторой точке и их произведение также дифференцируемо в этой точке

Даны дифференциальные уравнения. Укажите среди них однородные уравнения

1. (x² + y² + 2xy)dx + 2xydy = 0;
2. (x² + y² + 2x)dx + 2xydy = 0;
3. y' = (y/x)² + y/x + 49;
4. y' = (y/x)² + x;
5. y' = (x + 7y) / 7y;
6. y' = (x + 7) / 7y

Существует ли функция двух переменных, у которой в каждой точке частная производная по первой переменной равна частной производной по второй переменной?

• да
• нет

Может ли дифференциальное уравнение второго порядка не иметь ни одного решения в действительной области?

• да
• нет

Уравнение нормали к графику функции y=e^x в точке x=0 есть:

• x + y-1 = 0
• y=x
• x=2

Найдите интервал сходимости ряда x / 3! + x² / 4! + x³ / 5! + … + xⁿ / (n + 2)! + …

Общий интеграл уравнения e dx + (xe* + 1) dy = 0 есть:

• xe^y = -y
• xe^y = C
• xe^y + y= C

Может ли областью сходимости степенного ряда быть множество

• Нет
• Да

Найдите радиус сходимости ряда 1 / 4 + x / 5 + x² / 6 − x³ / 7 + … xⁿ / (n + 4) + …

На каком из рисунков изображена область определения функции? z = ln(2 - x + y) / √(x + y)

Что называется, порядком дифференциального уравнения?

Запишите ответ в порядке возрастания без пробелов и запятых
Область интегрирования в двойном интеграле
1. часть плоскости Оху
2. часть плоскости Oxz
3. часть плоскости Oyz
4. отрезок прямой Ох

Общим решением уравнения у' + у =1 является:

• y=1
• y=x+c
• y=1+Cex
• y=Ce-x

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = 2-x
x = 0
y = 0

Для вычисления объема тела с помощью тройного интеграла подинтегральня функция равна ...

Решением задачи Коши y'sinx=ylny , y(П/2)=e является

• y=xln3
• y=etg(x/2)
• y=3
• y=ex+x

Укажите частное решение дифференциального уравнения y′ + 2y = 4, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 5

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = -x-2
x = 0
y = 0

Найдите частное решение дифференциального уравнения y′ + 4y = 2, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 6

Найдите общее решение уравнения 3y' = y² / x² + 10 y / x + 10

Максимальное значение функции f (x) = ln/x на множестве [3; +∞) равно

• 1
• (1/3)ln/3
• +∞

Решение задачи Коши
есть:

• ctgx
• tgx
• С₁ cosx + C₂ sinx

Решите задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка.
Запишите значение ее решения в точке x₀:

y'' = 12x², y(0) = 0, y'(0) = 0; x₀ = 1

Найти (x³ + x² + 7)⁽⁴⁾

• 7
• 6x
  
• 0​​​​

Определить тип дифференциального уравнения
y'+y/x=1

• уравнение с разделяющимися переменными
• однородное уравнение 1-го порядка
• уравнение Бернулли
• линейное уравнение 1-го порядка
• уравнение в полных дифференциалах

Найдите общее решение уравнения x⁴y'' = 5

Сумма решений линейного дифференциального уравнения

• является решением этого уравнения
• не является решением этого уравнения

Найдите радиус сходимости ряда x / 1 + x² / 2 + x³ / 3 + … + xⁿ / n + …

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y= 4-x
x=0
y=0

Укажите последовательность вычисления тройного интеграла с заданной подынтегральной функцией и областью интегрирования:

• 1. вычислить интеграл, записанный первым
• 2. записать область интегрирования в виде двойных неравенств
• 3. вычислить интеграл, записанный вторым
• 4. привести тройной интеграл к повторному, расставив пределы интегрирования
• 5. вычислить интеграл, записанный третьим

Определить тип дифференциального уравнения
y'=xy

• однородное уравнение 1-го порядка
• уравнение в полных дифференциалах
• уравнение Бернулли
• уравнение с разделяющимися переменными
• линейное уравнение 1-го порядка

Если из неравенства n > N, следует, что член последовательности xₙ > xɴ, то эта последовательность — …

• монотонно-возрастающая
• возрастающая
• монотонная

Общим решением уравнения хy'+y=y2Inx является

• y=1/(1+Cx+lnx)
• y=1/(x+C)
• y=1
• y=Inx+Cx

Решение задачи Коши у - 2у' +5у=0, у(О) =1 является:

• cos2x
• e* cos2x
• e2x

Найдите производную функции f(t) = ln(2cos t)

Среди перечисленных уравнений укажите линейные уравнения первого порядка:

• y' + y² / (x + 2) = eˣ;
• y' - y / (x + 2) = eˣ (x + 2);
• y' - y / x = cos²(y/x);
• y' - y / x = cos²x

Верно ли, что, если функция на некотором интервале строго монотонно убывает, то её производная в каждый точке этого интервала
отрицательна?

• да
• нет

Если функция z(x, у) задана неявно уравнением х + у + e2 = 1, то
dz/dx равно

• -e-z
• xl℮z
• y/x

Верно ли, что если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена?

• да
• нет

Верно ли, что если числовой ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю?

• Нет
• Да

К каждому примеру подберите ответ (решив дифференциальное уравнение)

• y' = 1
• y' - 4y = 0
• y'' + y = 0
• y'' = 1
• y' = 2

1. x²/2 + C₁ + C₂x
2. x + C
3. 2x + C
4. C₁cos(x) + C₂sin(x)
5. Ce⁴ˣ

К каждому примеру подберите ответ (решив дифференциальное уравнение)

• y' = y
• y' = 0
• y'' = -y
• y' = 3
• y' + 1 = 0

1. C₁cos x + C₂sin x
2. C
3. -x + C
4. C₁eˣ + C₂e⁻ˣ
5. 3x + C

Установите соответствие между характеристическим уравнением линейного дифференциального уравнения и его корнями:

• λ^2 - 16 = 0
• λ^2+ 9 = 0
• λ^3 - 4λ = 0
• λ^2 - 7λ = 0

1. 3i, -3i
2. 0, 2, -2
3. 0, 7
4. 4, -4