Элементы теории статистических решений

Элементы теории статистических решений

При решении многих задач планирования и управления транспортным производством, проблема принятия решений резко усложняется из-за различного вида случайных фак­торов, к которым чаще всего относятся условия проведения опера­ции (климат, надежность оборудования, опыт и квалификация персонала и т.д.). Кроме того, операции часто являются многоцелевыми, при этом возникает вопрос: какому из критериев отдать предпочтение (обычно для разных критериев различно и решение). Во всех этих случаях приходится принимать решение в условиях неопределен­ности, возникающей из-за недостатка (отсутствия) информации (либо об условиях проведения операции, либо ее целях). Естественно, в этих случаях принятие решения более сложно, и точные математи­ческие методы не всегда дают однозначный результат. Однако и в этих условиях использование методов экономико-математического моделирования позволяет глубже разобраться в задаче, свести к минимуму элементы риска и волюнтаризма.

Задачи обоснования решений в условиях неопределенности изучаются теорией игр и статистических решений. Причем теория игр используется для анализа конфликтных ситуаций, в которых противодействуют (обычно активно) различные стороны, а теория статистических решений применяется в ситуациях, когда неопреде­ленность рождена условиями задачи. В этих задачах нет активного противника, противодействующего нашим планам. Его роль выпол­няет природа, являющаяся условным противником, поведение кото­рого неизвестно, хотя элемент противодействия отсутствует. Подоб­ные ситуации называются "играми с природой".

Выбор решения начинают с сопоставления стратегий. При этом проверяется, не имеется ли стратегий лучших при любых со­стояниях природы (доминирующих).

Возможны случаи, когда одна стратегия доминирует над все­ми, тогда принятие решения тривиально. Если доминирующие стра­тегии отсутствуют, то в зависимости от состояния природы (которое нам не известно) эффективны и различные варианты реше­ний. Например, при первом состоянии природы эффективен второй вариант, при втором состоянии - пятый и т.д.

В подобных случаях для принятия решения используют раз­личные критерии оптимальности.

Наиболее просто решается задача, если имеется информация о вероятностях состояния объекта. В этом случае в качестве критерия используется математическое ожидание выигрыша (или риска), т.е. выбирается решение, при котором

В такой постановке задача принятия решения в условиях не­определенности сводится к задаче принятия решений в условиях риска. Принятое решение оптимально при многократном повторе­нии операции, т.е. "на круг", в среднем.

Рекомендуемые материалы

В последнее время для решения динамических задач планирования и управления все более часто используется байессовский подход (критерий Байесса), основанный на последовательном пересчете вероятностей со­стояния природы (апостериорных вероятностей) в зависимости от прошлых (или принятых ранее) состояний (априорных вероятно­стей).

Во всех случаях оценки вероятностей состояния природы ре­шение является оптимальным только относительно принятого рас­пределения вероятностей состояний.

Существуют и другие подходы, и критерии к принятию реше­ний в условиях неопределенности, используемые, когда нельзя полу­чить распределение вероятностей состояний природы.

Наиболее широко распространены критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица.

При использовании максиминного критерия Вальда для каж­дой стратегии находят минимальное значение выигрыша, соответ­ствующее наихудшему для нас в данном случае состоянию природы, т.е. min аj. Далее из всех возможных стратегий выбираем ту, для ко­торой минимальный выигрыш максимален

Критерий Вальда является пессимистическим, при его исполь­зовании ориентируются на наихудшее для нас состояние природы, т.е. по существу природа рассматривается как активно противобор­ствующий противник.

Другая разновидность пессимистического подхода - использо­вание критерия Сэвиджа. В этом случае находят минимальное значе­ние риска при самом неблагоприятном состоянии природы

Вам также может быть полезна лекция "4 Снотворные и транквилизаторы".

С этой целью для каждой стратегии (построчно) по матрице рисков находят максимальные значения риска, а затем выбирают из них минимальное.

Критерий Гурвица является комбинированным, учитывающим как оптимистический, так и пессимистический подходы. При ис­пользовании этого критерия состояние природы берется не самым худшим и не самым лучшим, а некоторое промежуточное. При этом за оптимальную принимается стратегия, при которой

где к - коэффициент, характеризующий долю пессимизма и оптимизма (изменяется от 0 до 1).

Коэффициент к выбирается по субъективным соображениям: чем более сложнее ситуация и необходимо застраховаться, тем к ближе к единице. При к=1 критерий Гурвица преобразуется в крите­рий Вальда.

Критерии Вальда и Сэвиджа используют при принятии разо­вых и ответственных решений, а Гурвица, Лапласа и Байесса - при менее ответственных, когда ситуация (задача) повторяется много­кратно (например, при оперативном планировании).