Доказать основную теорему Коши для односвязной области
Доказать основную теорему Коши для односвязной области
Интегральная теорема Коши (для односвязной области).
Пусть G – односвязная область, пусть функция f(z) – аналитическая в G функция, пусть L – кусочно—гладкий контур, принадлежащий области G. Тогда .
Теорему можно сформулировать и так: интеграл от аналитической функции вдоль кусочно-гладкого контура равен нулю.
Доказательство.
| Обозначим D – внутренность контура L . Запишем формулу Грина |
Применим к каждому слагаемому в правой части равенства формулу Грина. В первом интеграле примем P = u, Q = -v.
Рекомендуемые материалы
(для аналитической функции выполнены условия Коши – Римана ).
Во втором интеграле примем P = v, Q = u.
(условие Коши – Римана).
Поэтому .
Следствие. Пусть L1, L2 – две кусочно-гладких дуги в односвязной области G, соединяющие точки A, B. Пусть функция f(z) – аналитическая в области G. Тогда =
.
Можно дать словесную формулировку: интеграл от аналитической функции в односвязной области вдоль кусочно-гладкой дуги не зависит от формы дуги, а зависит только от начальной и конечной точек дуги.
Доказательство. Образуем контур . По интегральной теореме Коши
. Но
. Следовательно,
.=
.
Поэтому результат в рассмотренном выше примере не случаен.
Очень важный пример. Вычислить интеграл , где n – целое число, контур
- окружность с центром в точке
радиусом
.
Покажем, что точки z на контуре можно описать уравнением
,
,
- действительное число. В самом деле,
, так как
. Таким образом, контур
- это геометрическое место точек комплексной плоскости, расположенных на расстоянии
от точки
- окружность с центром в точке
радиусом
.
Если , то подынтегральная функция – аналитическая внутри контура
. Тогда по интегральной теореме Коши
= 0.
15 Земский собор на Руси - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.
Пусть . Так как точка z лежит на контуре
, то
,
. Перейдем к переменной
. Пусть
.
=
по периодичности экспоненты.
Пусть . Тогда
=
.
Вывод. =
.