Двумерные случайные величины

Лекция 6.

Двумерные случайные величины

Совокупность двух случайных величин (X,Y), заданных на вероятностном пространстве , называют двумерной случайной величиной или двумерным случайным вектором, X,Y называют координатами случайного вектора.

Это определение можно обобщить и на совокупность n случайных величин.

Функцией распределения случайного вектора (X,Y) или совместной функцией распределения случайных величин X,Y называется

.

Свойства функции распределения.

1  (Это – свойство вероятности, а  - вероятность).

Рекомендуемые материалы

2  - неубывающая функция по каждому из своих аргументов. (В самом деле, если , то событие   включено в событие , следовательно, его вероятность меньше)

3  (события  - невозможные, поэтому их вероятность равна нулю).

4  (событие  достоверно).

5 = - - +

Геометрически, - площадь полосы левее  и ниже точки , Вычитая из нее  и , мы два раза вычтем площадь полосы левее и ниже точки . Для того, чтобы получить площадь прямоугольника – левую часть равенства, надо вычитать эту площадь один раз, поэтому надо добавить ее, т.е.  в правую часть равенства.

6. непрерывна слева по каждому из аргументов

7. . Так как событие  достоверно, то пересечение событий  и  есть событие . Поэтому первое равенство справедливо. Аналогично доказывается справедливость второго равенства.

Двумерная случайная величина (X,Y) дискретна, если X, Y -  дискретные случайные величины. Для нее составляется таблица распределения – аналог ряда распределения для одномерной случайной величины.

Здесь p_nm = ,  p_Ym = = p_1m+ p_2m +…+p_nm,

p_Xn = p_n1 + p_n2 + … +p_nm.

График функции распределения для двумерной случайной величины напоминает «лестницу», уровень ступеней которой изменяется скачком на p_ij при переходе через точку (x_{i ,} y_j) в положительном направлении по оси OX и по оси OY. Если зафиксировать x = x_i, то при увеличении y эти скачки будут на p_i1, p_i2, … p_im  (от нуля до p_Xi ). Если зафиксировать y = y_j, то при увеличении x скачки будут на p_1j, p_2j, … p_nj (от нуля до p_Yj). Нижние ступени (при xx₁ и yy₁) находятся на нулевом уровне, самая верхняя ступень (при x>x_n, y>y_m) находится на уровне 1. Если зафиксировать x > x_n то при увеличении y эти скачки будут на p_Y1, p_Y2, … p_Ym  (от нуля до 1). Если зафиксировать y > y_m, то при увеличении x скачки будут на p_X1, p_X2, … p_Xn (от нуля до 1).

Пример. Проводятся два выстрела в мишень. При каждом выстреле вероятность попадания p, вероятность промаха q = 1- p. Случайная величина X_i – число попаданий при i – том выстреле. Найдем закон распределения случайного вектора (X₁, X₂)=.

Построим функцию распределения

. В самом деле, при  – событие{X<x,Y<y}  - невозможное, при (x>1, y>1) событие {X<x,Y<y} – достоверное.

При  событие {X<x,Y<y} представляет собой событие {X=0,Y=0}. Поэтому при    F(x) = P{X=0,Y=0}= q².

При  событие {X<x,Y<y} представляет собой объединение несовместных событий {X=0,Y=0} и {X=0,Y=1}. Поэтому при    F(x) =. P{X=0,Y=0}+ P{X=0,Y=1}= q² + pq = q(p+q)=q.Аналогично, в случае  F(x) = P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=0}= q² + pq = q(p+q)=q

Двумерная случайная величина непрерывна, если X, Y, непрерывные случайные величины и ее функцию распределения можно представить в виде сходящегося несобственного интеграла от плотности распределения.

.

Двойной интеграл можно записать в виде повторных (внешний по x, внутренний по y и наоборот). Если предполагать непрерывность плотности по x и y, то, дифференцируя по переменным верхним пределам, получим

 .

Свойства плотности.

1.  (функция распределения – неубывающая функция).

2.  (по свойству 5 функции распределения) Справедливо обобщение .

3.

4.  (по свойству 4 функции распределения)

5.

6. ,     (Свойство 7 функции распределения)

Независимость случайных величин.

Случайные величины X, Y называются независимыми, если , где  - функции распределения случайных величин X, Y.

Если случайные величины непрерывны, то, дифференцируя это соотношение по x, y, получим .

Соотношение  поэтому можно считать определением независимости непрерывных случайных величин.

Для дискретных случайных величин определение независимости можно записать в виде  .

Математическое ожидание.

Математическим ожиданием функции двумерной случайной величины называется

 в дискретном случае,

 в непрерывном случае.

Свойства математического ожидания

1.  ( по условию нормировки)

2.

=  

3  для независимых случайных величин.

 = .

Ковариация (корреляционный момент).

Ковариацией случайных величин называют .

Свойства ковариации.

1.     

2.  

По свойству 1 

3. Если X, Y независимы, то , (обратное неверно).

Если случайные величины независимы, то , тогда по свойству 1 .

Случайные величины называются некоррелированными, если , из некоррелированности не следует независимость, из независимости следует некоррелированность.

4.

По свойству 1

== =

5.

Рассмотрим случайную величину .

.

Заметим, что отсюда следует свойство дисперсии (при a =1)

.

Так как , то . Это возможно только, если дискриминант этого квадратного трехчлена относительно a меньше или равен нулю. Выпишем это требование к дискриминанту:

. Отсюда следует свойство 5.

6. Для того, чтобы случайные величины были линейно зависимы (Y = aX +b), необходимо и достаточно, чтобы

Необходимость. Пусть Y=aX+b. Тогда 

=

Достаточность. Пусть . Тогда (доказательство свойства 5)  следовательно, z -детерминированная величина, т.е. , поэтому величины X, Y – линейно зависимы.

Коэффициентом корреляции называется .

Свойства коэффициента корреляции.

1.

2. Если X, Y – независимы, то

3.

4.

5.  тогда и только тогда, когда X,Y линейно зависимы.

Двумерное равномерное распределение

Случайный вектор (X, Y) равномерно распределен в области D  (площадь D равна S), если его плотность распределения задана так:  p(x,y) = 0, если x Ï D, p(x,y) = 1/S, если xÎD.

Пример. Случайный вектор (X,Y) равномерно распределен в прямоугольнике 0£x£a, 0£x£b.

, аналогично . 

, аналогично .

, аналогично .

Следовательно, случайные величины X, Y не коррелированны.

Двумерное нормальное распределение

Двумерная случайная величина (X,Y) распределена нормально со средними значениями m_, m₂, дисперсиями   и коэффициентом корреляции , если ее плотность задана:

Задача линейного прогноза.

Заданы характеристики  случайного вектора . Вводится случайная величина – оценка  - линейный прогноз. Вычислить , чтобы линейный прогноз был наилучшим среднеквадратическим (в смысле минимума погрешности оценки:).

Люди также интересуются этой лекцией: 18.1 Внешняя политика СССР и международные отношения в 1930-е гг.

.

За счет выбора  можно лишь минимизировать последнее слагаемое, сделав его нулем: .Теперь остается обеспечить минимум квадратного трехчлена от (найти вершину параболы): . Подставляя это значение, найдем

. Вычислим погрешность оценки при этих значениях параметров

.

При линейной зависимости  оценка точна, погрешность равна нулю.

Чем меньше коэффициент корреляции, тем грубее оценка. В крайнем случае, при отсутствии корреляции ()  .