Расширенная a-игра и задача линейного программирования
§ 8. Расширенная a – игра и задача линейного программирования
Для любой расширенной А–игры с матрицей А размера n ´ m можно построить пару двойственных задач линейного программирования, эквивалентных А – игре.
Пусть даны: матрица Ā размера , вектор-строка b длины . Условимся для двух векторов a = (a1, ¼, ak), b = (b1, ¼, bk) длины k писать a ³ b, если ai ³ bi для i = 1, ¼, k.
Сформулируем пару задач линейного программирования и расширенную А-игру в матричной форме.
Прямая задача линейного программирования
Найти вектор , удовлетворяющий следующим условиям:
при ограничениях:
где
Рекомендуемые материалы
Двойственная задача линейного программирования
Найти вектор , удовлетворяющий следуюшим условиям:
при ограничениях:
Расширенная А – игра
Найти векторы x = (x1, ¼, xn), y = (y1, ¼, ym) и число ã, удовлетворяющие условиям:
Где ek = (1, ¼, 1) и A – матрица размера n ´ m.
Предположим, что матрица A расширенной A–игры имеет только положительные элементы (aij ³ 0) и x, y – оптимальные стратегии игры с положительной ценой ã.
Введем набор элементов, определяющих пару двойственных задач линейного программирования:
Решением этих задач будет:
Прямая задача будет выглядеть:
при ограничениях:
Двойственная задача:
при ограничениях:
Действительно ли являются решениями задач?
Проверяем условия:
удовлетворяют необходимым условиям.
Предположим, что есть еще один, претендующий на решение, вектор , удовлетворяющий условиям:
и такой, что
Обозначим
Очевидно, что вектор z удовлетворяет соотношениям
В силу лемм (§4) строгое неравенство здесь невозможно, поэтому вектор не является решением.
Аналогично доказывается и для .
Таким образом доказывается, что векторы являются решением пары задач линейного программирования.
Рассмотрим обратную связь.
Предположим, что имеется матрица А с положительными элементами и являются решением пары задач линейного программирования.
Тогда оптимальные стратегии имеют вид:
где
Если матрица А имеет неположительные элементы, то прибавляем к каждому элементу этой матрицы положительное число d такое, чтобы новая матрица
была положительной, где
Для матрицы A/ c положительными элементами можно построить пару задач линейного программирования. Для такой матрицы оптимальные стратегии x/, y/ совпадают с оптимальными стратегиями x, y, а цена игры
Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 7 Объединения адвокатских коллективов.
Задачи к § 8
8.1. Составить пару задач линейного программирования, эквивалентных игре 7.1.
8.2. Рассмотрите игру, в которой два противника А и В ведут борьбу за два стратегических пункта. Под командованием А находятся два полка, под командованием В – три. Обе стороны должны распределить свои силы между двумя пунктами. Пусть n1 и n2 – количество полков, посланных со стороны А на пункты 1 и 2 соответственно. Аналогично пусть m1 и m2 – количество полков, посланных В на пункты 1 и 2. Выигрыш В подсчитывается следующим образом. Если m1 > n1, он получает на первой позиции 2n1+1 очков, если m1 < n1, он теряет на первой позиции 2m1+1 очков. Аналогично осуществляется подсчет на второй позиции. И наконец, если число полков на какой-нибудь позиции с каждой стороны одно и то же, то каждая сторона на этой позиции получает ноль очков. Сформулируйте задачу как расширенную А-игру и решите ее методом линейного программирования.