§ 3. Процесс гибели и размножения

Построим процесс гибели и размножения X(t) «конструктивно».

Рассмотрим  две  последовательности            и           . Первая - отвечает за поступление клиентов в систему (размножение), а вторая - за обслуживание клиентов (гибель):

- интенсивность поступления клиентов (число клиентов, которое поступает в систему за единицу времени, если в ней i клиентов). 

- интенсивность обслуживания клиентов (число клиентов, которое обслуживается в системе за единицу времени, если в ней i клиентов).

Кроме того, пусть заданы две независимые последовательности  независимых случайных величин с показательным распределением с параметром =1.

Процесс X(t) строится так. Пусть , где . Тогда на интервале  процесс X(t) сохранит свое значение , где ,

.

Рекомендуемые материалы

  В момент t₁  значение процесса X(t) либо увеличится, либо уменьшится на единицу в соответствии с тем, какой из двух моментов  наступит раньше:

Мы положили, таким образом, значение процесса X(t) в точке t₁ равным ; тогда эволюция процесса X(t) на интервале , где  и , подчиняется тому же закону закону: X(t) не меняется на этом интервале в момент t₂

увеличивается на единицу, если , и уменьшается на единицу в противном случае.

       Если же , то значение процесса X(t) увеличивается на единицу в случайный момент .

       Построенный таким образом процесс , называется однородным по времени процессом гибели и размножения; его распределения полностью определяются набором параметров            ,              и начальным распределением X(0):

       Удобно использовать следующую диаграмму для представления развития процесса X(t):

Стрелочки сверху соответствуют динамике процесса размножения: из i-го состояния процесс переходит в (i+1)-е состояние с интенсивностью ; стрелочки снизу соответсвуют динамике процесса гибели: с интенсивностью процесс из i-го состояния переходит в (i-1)-е состояние.

Набор функций

описывает распределение процесса X(t); ниже мы приведем систему уравнений, которым удовлетворяют эти функции.

       Отметим, что не всякому набору параметров  отвечает «невырожденный» процесс X(t); дело в том, что если числа  растут очень быстро при , то процесс X(t) в конечный момент t может «взорваться», т.е. с положительной вероятностью превысить любой уровень и возрасти до .  Так ведут себя, например, популяция бактерий в благоприятной среде. Аналогично устроены процессы, описывающие химические реакции, приводящие к взрыву.

       Процессы X(t), для которых все , относятся к так называемым процессам чистого размножения. Процессы, для которых , называют процессами чистой гибели.

       Следующая лемма дает необходимые и достаточные условия на параметры , которые гарантируют конечность процесса чистого размножения с параметрами .

       Лемма. Пусть процесс чистого размножения с параметрами . Тогда для конечности процесса необходимо и достаточно, чтобы расходился ряд 

Пусть X(t) процесс гибели и размножения с теми же параметрами  процесса , а также параметрами . Очевидно, что

P(X(t) < ¥) ³ P(X⁺(t) < ¥) .

Поэтому из леммы получаем следствие.

       Следствие. Если для произвольного процесса гибели размножения X(t) выполнено условие , то для любого  справедливо P(X(t) < ¥) = 1, т.е. процесс конечен.

       Доказательство леммы можно найти в [   ].

Задачи к § 3

3.1. Рассмотрим процесс гибели и размножения, для которого

Требуется изобразить диаграмму, отвечающую этому процессу.

3.2. Пусть клиенты, которые хотят получить справку по телефону, образуют простейший поток с параметром . Пусть каждый разговор длится -показательное время. Пусть X(t) – число клиентов в системе в момент t. Изобразить диаграмму, отвечающую процессу X(t).

3.3. Пусть в условиях задачи 3.2

1) телефон имеет память на одного клиента: если клиент звонит и телефон занят, но память телефона свободна, то автомат предлагает положить трубку и ждать звонка. Когда телефон освободится, звонок прозвучит;

2) имеется автоматический коммутатор и два телефона, у каждого телефона свой оператор: если в момент звонка клиента имеется свободный телефон, то коммутатор автоматически адресует клиента на этот телефон;

3) коммутатор (см п.2)) имеет память на одного клиента;

Вместе с этой лекцией читают "Политическое развитие СССР после войны: угрозы и репрессии".

4) каждый телефон (см.п.2)) имеет память на одного клиента.

Для всех вышеперечисленных случаев изобразить диаграмму, отвечающему процессу X(t).

3.4. Установить, являются ли конечными процессы чистого размножения со следующими интенсивностями размножения:

а) l_k =kl+a,   l>0,   a >0,   k = 0, 1, ...

б) l₀ = 1,   l_k+1 = (k+1)l_k,   k = 0, 1, ...

в) l_k = g^k,   k = 0, 1, ...   g > 0.