Интерполяция и экстраполяция уровней ряда динамики

7. Интерполяция и экстраполяция (прогнозирование) уровней ряда динамики

Интерполяцией называется приблизительный расчет недостающих уровней внутри однородного периода, когда известны уровни по обе стороны неизвестного.

Интерполяция производится исходя из предположения, что изменения в пределах периода, выражающее закономерность развития, относительно устойчивы. Для этого необходимо установить характер динамики, т.е. найти относительно устойчивые производные (средние) показатели: абсолютный прирост, темп роста и др.

Возможны различные варианты интерполяции:

1) рассчитывается средняя арифметическая из прилегающих пропущенному уровней ряда;

2) при относительной стабильности абсолютных приростов интерполяция уровней ряда осуществляется прибавлением среднего абсолютного прироста к уровню предшествующему пропущенному;

3) при относительной стабильности темпов роста необходимо уровень предшествующей пропущенному умножить на величину среднего темпа роста.

Рассмотрим пример

Таблица 6.1

Допустим, пропущен уровень 2002 г.

Используя первый способ интерполяции, определим его как среднюю арифметическую из уровней 2001 и 2003 гг.:

.Произведем интерполяцию по второму способу расчета. Для этого необходимо вычислить среднегодовой абсолютный прирост за 2000-2004 г.:

Уровень 2002 г. определим:

Интерполяция по третьему способу требует предварительного расчета среднегодового темпа роста за 2000-2004 гг.:

Уровень 2002 г. составит:

Сравнивая три способа интерполяции уровня производства холодильников и морозильников для 2002 г., отметим, что наилучшее приближение к фактическому уровню дает расчет по величине среднегодового абсолютного прироста.

Экстраполяцией называется приблизительный расчет недостающего уровня по одну сторону неизвестного. Если расчет уровней осуществляется на перспективу, то такой способ представляет собой прогнозирование.

Прогноз уровней осуществляется на основе исходного ряда динамики (база прогноза). К нему предъявляется ряд требований:

1) полнота и непрерывность уровней исходного ряда динамики;

2) качественная его однородность с точки зрения наличия общей закономерности развития явлений;

3) число уровней, входящих в исходный ряд динамики должно быть достаточно значительным, с тем чтобы закономерность развития явлений была достаточно четкой и поддавалась количественному измерению.

Идея прогноза базируется на том постулате, что закономерности развития явлений, присущие исходному ряду динамики, сохраняются и в прогнозируемом периоде. При среднесрочном прогнозе рекомендуется прогноз уровней осуществлять не более чем на одну треть длины исходного ряда динамики. Используется дискретные и интервальные методы прогноза уровней социально-экономических явлений. В первом случае для каждого периода времени определяется одно значение прогнозного уровня. Во втором случае,  наряду с основными оценками прогноза дается вероятностная интерпретация нижних и верхних границ прогнозных уровней.

Дискретный (точечный) прогноз уровней базируется на характере закономерностей развития явлений в исходном ряду динамики. Если развитие процесса идет по закону арифметической прогрессии (с относительно стабильными абсолютными приростами), то уровни прогноза (точечные) определим по формуле:

где У_i – последний уровень в исходном ряду динамики; t_i – порядковый номер периода прогноза (t_i=1,2…n); - средний абсолютный прирост в исходном ряду динамики.

По данным табл. 6.1 вычислим  прогноз производства холодильников и морозильников в Республике Беларусь 2005-2006 гг.:

В рядах динамики, где развитие явлений происходит по закону геометрической прогрессии (с относительно стабильными темпами роста), то уровни прогноза вычислим по формуле:

где - средний темп роста в исходном ряду динамики.

Применительно к нашему примеру (табл. 6.1) будем иметь следующие прогнозные значения производства холодильников и морозильников в Республике Беларусь:

Сравнивая первый и второй способы расчета дискретных прогнозных уровней, можно сделать, что прогноз по величине среднегодового абсолютного прироста является более корректным, так как исходит из принципа равномерного возрастания уровней производства холодильников и морозильников в прогнозном периоде.

Особенность интервального метода прогнозирования состоит в том, что он осуществляется на основе расчета соответствующих уравнений тренда. При этом определяется прогноз уровней по самому уравнению тренда (основная составляющая тренда), а также с доверительным  уровнем значимости  вычисляются прогнозные значения случайной компоненты. Они то и служат основанием для интервальных оценок прогнозных уравнений (находятся нижние и верхние границы прогноза показателей ряда динамики). 

Если t=i +L, то уравнение определит значение доверительного интервала для тренда, продленного на L едини времени. Доверительный интервал для прогноза, очевидно, должен учитывать не только неопределенность, связанную с положением тренда, но и возможность отклонения от тренда, т.е.

где

Значение критерия t определяется на основе данных таблицы Стьюдента по параметрам доверительной значимости  и числу степеней свободы  (n-число уровней в исходном ряду динамики, m – число параметров в уравнении тренда).

Для определения вариации случайной компоненты при обозначении границ прогнозных уровней необходимо вычислить значение по формуле (для случая линейного уравнения тренда):

где  - среднее квадратическое отклонение тренда в исходном ряду динамики; n – число наблюдений (длина исходного ряда динамики); L – порядковый номер периода упреждения (прогнозного периода).

Рассмотрим процедуру интервального прогноза производства холодильников и морозильников в Республике Беларусь по данным исходного динамического ряда за 1990-2004 гг. (табл. 5.4). Уравнение тренда прямой имеет вид:

Осуществим основной прогноз на 2005 г. и 2006 г. по вышеприведенному уравнению тренда:

для 2005 г. значение тогда

для 2006 г. , а

Вычислим прогнозные значения  для 2005 и 2006 гг. и на их основе предельные величины случайной компоненты. :

Для 2005 г. L=1;

Для 2006 г. L=2.

Относительная ошибка прогноза случайной компоненты определяется по формуле:

Результаты произведенных расчетов оформим в табл. 6.2.

Таблица 6.2

Прогноз холодильников и морозильников в Республике Беларусь на 2005 и 2006 гг.

Прогноз уровней может осуществляться и по другим, отличной от линейной, типам уравнений тренда. Выбор того или иного уравнения тренда зависит от характера закономерностей, присущих исходным рядам динамики. Так, по программе «Статистика» на ПЭВМ рассчитываются тренды уравнений прямой, параболы второго порядка, степенной и логарифмической зависимости. По оценочной процедуре выбирается уравнение тренда с наибольшим коэффициентом детерминации.