Операторный метод расчёта переходных процессов

Лекция№4

Операторный метод расчёта переходных процессов.

Основан на преобразовании Лапласа.

функция  комплексной переменной p

оригинал, -изображение.

 - прямое преобразование Лапласа.

    -обратное преобразование Лапласа

И прямое и обратное преобразование это некоторый определенный интеграл.

Свойства преобразования Лапласа:

Рекомендуемые материалы

1)         2)

3)   4)

Последние 2-а свойства наиболее важны, т.к. производная и интеграл выражаются через изображение самой функции. Если применить преобразование Лапласа к СДУ, то получится система алгебраических уравнений относительно изображений переменных. Из полученной системы алгебраических уравнений можно найти изображения переменных, а потом через обратные преобразования найти оригинал.

Изображения некоторых функций

1.         

Это изображение постоянной величины после коммутации

2.

3. функция Дирак

                 

              

Функцию Дирака можно представить в виде последовательности следующих функций:

Переход от изображения к оригиналу обычно сводится к тому, что изображение искомой величины преобразуется к табличному виду.

Решение системы алгебраических уравнений как известно даёт выражение в виде дробно-рациональной функции.

         многочлены

Если многочлены представляют собой правильную дробь, то она (функция) может быть разложена на элементарные дроби:

Рассмотрим способ разложения на элементарные дроби.

умножим обе части на  и вычислим предел

тогда

(найдем предел по правилу Лопиталя)

Корни могут быть и комплексные: если корни комплексные, то они образуют комплексно сопряжённые пары:

        

Тогда  тоже будет комплексным:

Найдём оригинал от этих двух слагаемых:

(поделим и умножим на 2), получим

Если корни комплексные, то нужно найти  для того корня, у которого мнимая часть положительная, а затем записать оригинал для двух слагаемых.

В теории цепей обычно вместо того, чтобы применять преобразования Лапласа к ДСУ используют операторные схемы.

Операторные схемы: 1)

 

применим преобразование Лапласа К этому уравнению

                                            -закон Ома справедлив для изобр-ий.

2)                                               

                                                

3)

применим преобразование Л.

Порядок расчёта:

1. Из режима до коммутации найти токи в индуктивности и напряжения в ёмкостях.

  

2. Составляем операторную схему.

3. Ищем необходимые изображения токов и напряжений из операторной схемы:

4. От изображений переходим к оригиналам

       

Пр.:                                              E = 10 B; L = 1 мГн

                                                     С = 1 мкФ; Ом

                                                      Ом

1.                                                                      

                                                  

2.  

3.

   

4.   

             

1)

2)   

   

Ответ:      

В настоящее время операторный метод – основной метод анализа цепей.

Переходная и импульсная характеристика цепей.

В частотной области использовались понятия АЧХ и ФЧХ, Когда анализируем свойства цепей в переменной области используются переходные и импульсные характеристики.

Опр: Переходной характеристикой цепи называется отношение реакции цепи к волне скачкообразного воздействия на входе при нулевых независимых начальных условиях.

-входная волна – напряжение

                                              

                                                                                                  

переходная характеристика

                                                      Переходная характеристика цепи численно равна

                                                      реакции цепи на единичную функцию

                                                     (единичный скачок тока или напряжения).

Экспериментальное определение переходной характеристики:

В соответствии с определением нужно поставить ключ и зафиксировать на осциллографе какую-то волну. Нужен запоминающий осциллограф, который позволяет просматривать единичную волну. Такие осциллографы существуют, но они дороже, чем обычные для периодических сигналов.

                                                             ГПИ – генератор переменных импульсов

Длительность импульса должна быть такой, чтобы переходной процесс закончился:

Длительность паузы должна быть такой, чтобы исследуемая цепь успела вернуться к нулевым начальным условиям:

Лекция № 5

Порядок расчёта:

                        

                                                           

Пр.2:

Импульсная характеристика цепи.

Импульсной характеристикой цепи называется отношение выходной величины к площади импульсного входного воздействия, при перпендикулярных начальных условиях равных 0.

 - импульсная характеристика цепи.

Выходная величина – это либо ток, либо напряжение.

 - если напряжение, то [B·C], ток – [A·C].

Воздействие считается импульсным, если его длительность <<характерного времени реакции цепи.

Идеальный импульс – это дельта-функция.

Он бесконечно короткий и его площадь =1

- преднулевые            - нулевые

- начальные условия      - начальные условия

Особенность расчёта импульсной характеристики в том, что здесь нарушаются правила коммутации.

Измерение импульсной характеристики

- длительность импульса

                                                

                                                                

Длительность паузы такая, чтобы переходной процесс после прохождения импульса закончился:

Расчёт импульсной характеристики:

Удобнее всего вести операторным методом

1. Режим до коммутации:       

2.

3.    

4.                   

При расчёте импульсных характеристик, изображение выходной величины не всегда бывает правильной дробью, иногда высшая степень числителя равна высшей степени знаменателя. В этом случае для перехода к оригиналу неправильную дробь нужно представить в виде правильной дроби и целой части. При этом импульсная

 характеристика в своём составе будет иметь дельта-функцию.

Пр.:

g(t)=?

Операторная схема:

2.

3.

4.  - степень в числителе и знаменателе одинаковы, разделим числитель на знаменатель.

                                           

Связь между переходной и импульсной характеристикой

В теории обобщенной функции устанавливается понятие производной для функции, если она имеет скачок. Производная в точке разрыва = величине скачка умноженного на дельта-функцию      

Т.о если воздействие на входе связано между собой через обобщенную производную, то такая же связь будет между реакциями цепи.

 

Скачок в переходной характеристике может быть только при t = 0

Пр.:

Пр.:

Передаточная функция цепи.

Опр.: Передаточной функцией цепи называется отношение операторного изображения выходной величины к операторному изображению входной величины при преднулевых начальных условиях = 0

Входная и выходная величина – как ток, так и напряжение.

Связь передаточной функции с другими функциями цепи.

;

Поскольку передаточная функция не зависит от вида входной величины, то пусть

 тогда:

- оригинал от импульсной характеристики

     

Т.о.:             анализ цепи в частотной области

                              - во временной области

Пр.: Предположим, что нужно построить запаздывающую цепь

                                                             - запаздывание сигнала

В лекции "6 Принцип платности пользования природными ресурсами" также много полезной информации.