Последовательные правила различения сложных гипотез

7. Последовательные правила различения сложных гипотез.

7.1. Общие положения.

Как уже упоминалось, одно из условий, при которых доказана теорема Вальда-Вольфовитца об оптимальности вальдовской процедуры, состоит в том, что различаемые гипотезы являются простыми, т.е. выборочные распределения, соответствующие гипотезам  и  полностью известны. Для представляющего основной практический интерес случая различения сложных гипотез общие принципы построения оптимальных последовательных процедур остаются теми  же, что и при фиксированном объеме выборки. Однако необходимо учитывать ряд особенностей, порождаемых случайным объемом выборки последовательной процедуры. Проиллюстрируем сказанное двумя наглядными примерами.

7.2 Сигнал с неизвестным энергетическим параметром.

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 23 Уравнение движения поезда.

До сих пор мы предполагали, что если справедлива гипотеза , т.е. сигнал присутствует, то его амплитуда  совпадает с расчетным значением , которому соответствует распределение . На практике амплитуда сигнала может отличаться от расчетной (быть как меньше, так и больше последней). В терминах теории статистических решений эта ситуация означает, что простой гипотезе  противопоставляется односторонняя альтернатива: .

Естественный подход к задаче различения таких гипотез в классе правил с фиксированным объемом выборки состоит в том, что обнаружитель рассчитывается на некоторое минимальное значение расчетного сигнала , для которого при заданном объеме выборки  вероятность пропуска  не превышает допустимой. Вероятность обнаружения сигналов с параметром , отличающимся от расчетного, определяется характеристикой обнаружения   (см. раздел 5).

Аналогичный подход возможен и при последовательном анализе; характеристика обнаружения такой процедуры приведена на рис.7.1, там же изображены зависимости математического ожидания и дисперсии длительности последовательной процедуры от отношения . Отличительной особенностью этих зависимостей является характерный максимум, наблюдаемый при некотором .

Описанный эффект нарастания математического ожидания и дисперсии длительности последовательной процедуры часто называют “резонансом длительности”. В случае симметричных порогов резонанс длительности наступает при равенстве нулю среднего приращения решающей статистики , когда решающая статистика совершает случайные блуждания между порогами, не имея регулярного “сноса” ни к одному из них. При несимметричных порогах резонанс наступает при наличии некоторого “сноса” в сторону более удаленного порога. Необходимо подчеркнуть, что и в точке резонанса длительность последовательной процедуры остается конечной, (ее мат. ожидание  в этом случае определяется не формулой (7.4), а зависит от дисперсии решающей статистики). Следует также отметить, что в большинстве случаев последовательное решающее правило при всех значениях  требует среднего объема выборки, не превышающего объема выборки правила Неймана-Пирсона, обеспечивающего ту же вероятность правильного обнаружения .

Тем не менее, с точки зрения практики эффект резонанса длительности последовательной процедуры, связанный с неоптимальностью вальдовского решающего правила при всех значениях параметра , не совпадающих с расчетными значениями  и , нежелателен. Ниже будут рассмотрены методы уменьшения этого эффекта.