Векторные диаграммы

Векторные диаграммы

            Производить операции умножения, сложения и т.п. с токами и напряжениями, изображенными в виде волновых диаграмм, неудобно. Поэтому на практике синусоидальные величины представляют в виде векторов, а затем указанные операции производят с ними. Это значительно упрощает расчеты и делает их более наглядными.

            Представление синусоиды в виде волновой диаграммы и вращающегося вектора показано на рисунке.

Вращая вектор I против часовой стрелки его конец будет описывать окружность. При вращении вектора с частотой w его проекция на вертикальную ось изменяется по синусоидальному закону и равна мгновенному значению синусоиды в соответствующие моменты времени. Хорошо видны следующие аналогии:

− длина вектора равна амплитуде синусоиды;

− угол между горизонтальной осью и вектором равен начальной фазе синусоиды.

            В электротехнике векторы изображают не вращающимися, а неподвижными, для момента времени t=0 . Часто масштабы векторов  выбирают так, чтобы длина вектора соответствовала не амплитуде, а действующему значению. Угол наклона к оси абсцисс равен начальной фазе. Учитываемые параметры (действующее значение и начальная фаза) полностью определяют синусоидальную функцию и позволяют для любого вектора восстановить ее и наоборот.

            Так можно представить целую совокупность различных величин u, i, e. Если эти величины одинаковой частоты, то их совокупность представляет собой векторную диаграмму.

На рисунке для примера представлена совокупность векторов I₁ и I₂, а также результирующий вектор I₃, определяемый их суммой. Угол измеренный между векторами называют углом сдвига фаз. Если угол между двумя векторами равен нулю, то говорят, что они совпадают по фазе. Если угол равен 180°, то говорят, что векторы находятся в противофазе.

Комплексный (символический) метод расчета цепей синусоидального тока

Вектор синусоидально изменяющейся величины может быть представлен и на комплексной плоскости.  Комплексные представления позволяют совместить простоту и наглядность векторных диаграмм, имеющим недостаток – ограниченную точность, с возможностью проведения точных аналитических расчетов. При оперировании с векторами можно воспользоваться теорией, разработанной для комплексных чисел. Вектору, расположенному на комплексной плоскости, однозначно соответствует комплексное число. В соответствии с формулой Эйлера для комплексного числа равнозначны алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи. При суммировании комплексных чисел удобна алгебраическая форма, при умножении и делении – показательная.

Использование комплексной формы представления позволяет заменить геометрические операции над векторами алгебраическими операциями над комплексными числами. В результате этого к анализу цепей переменного тока могут быть применены все методы анализа цепей постоянного тока.

Следует обратить внимание на то, что комплексные изображения, как и векторные диаграммы, несут информацию только о двух параметрах синусоиды – амплитуде и начальной фазе, не отражая ее третьего параметра – угловую частоту ω.  Векторы на комплексной плоскости и соответствующие им комплексные числа принято изображать той же буквой, что и амплитуду изображаемой синусоиды с точкой наверху.

Мнимая единица в электротехнике обозначается символом j , поскольку символ i используется для обозначения мгновенного тока.

             Ток i(t) = I_m sin(ωt + φ_о) можно представить комплексным числом Í_m на комплексной плоскости

где амплитуда тока I_m – модуль, а угол φ_о, являющийся начальной фазой, – аргумент комплексного тока.

Все параметры цепи представляются в комплексной форме.

Бесплатная лекция: "Тесты когнитивных процессов восприятия, внимания, воображения, речи и общих интеллектуальных способностей" также доступна.

Алгебраическая форма записи комплексного числа: İ_m =  I_m^’ + j I_m^’’, при записи в тригонометрической форме            проекции вектора выражают через его длину I_m  и угол φ_о:  İ_m =  I_mcosφ_о + j I_msinφо =  I_m(cosφ_о + j sinφ_о). Показательная форма записи имеет вид İ_m = I_me ^jφо .

В этих выражениях I_m = √ (I_m^{’ 2}+  I_m^’’2 ) – модуль комплексного числа,  φ_о  = arctg(I_m^’’/ I_m^’) - его аргумент,  I_m^’= I_mcos φ_о,  I_m^’’= I_msin φ_о.

 – комплексное действующее значение силы тока (без индекса m);  здесь I = I_m/√2;
– комплексное действующее значение напряжения (без индекса m); U =U_m/√2.

Пример, представить комплексное действующее значение тока               

в показательной форме. Ответ:

.