Расчёт преобразования сигнала на нелинейных характеристиках

9.2. Расчёт преобразования сигнала на нелинейных характеристиках.

Электронная цепь может включать большое число линейных элементов (пассивные элементы R, L, C, транзисторы в приближении малого сигнала и другие) и нелинейных элементов (диоды, транзисторы при большом сигнале, микросхемы для перемножения сигналов и другие).

Рассмотрим два простых метода расчета преобразования сигналов в нелинейных элементах.

9.2.1. Преобразование сигналов на полиномиальной характеристике.

Пусть к нелинейному элементу с ВАХ приложено напряжение , представляющее сумму постоянной  и переменной  составляющих. Аппроксимируем ВАХ полиномом степени N по около рабочей точки :

                           (9.1)

Такую аппроксимацию можно сделать разложением в ряд Тейлора или иным известным способом (методы Лагранжа, Ньютона, наименьших квадратов и другие).

Преобразование гармонического колебания.

Положим:

Рекомендуемые материалы

                                                                                (9.2)

Используем известные тригонометрическиеиформулы:

                           (9.3)

Подставим 9.2 в 9.1  и сгруппируем члены с    

 где

- амплитуды гармоник тока на частотах   На рис. Изображены спектры входного и выходного сигналов

рис.9.2

Выводы:

1). Спектр линейчатый, наивысший номер гармоники равен степени полинома,

2). Постоянные составляющие и четные гармоники определяются только четными степенями полинома и наоборот.

3). Текущая фаза

Применения:

 Выпрямитель, частота  преобразуется в постоянную составляющую тока

Умножитель частоты в

Для выделения нужной частотной составляющей тока после нелинейного элемента ставится фильтр:

В выпрямителе это фильтр низких частот, отсекающей все частоты и пропускающий только постоянный ток. В умножителе фильтр выделяет нужную гармонику

Преобразование двухчастотного сигнала:

                                                    (9.7)

Подставляем (9.7) в (9.1), возводим в степень по биному Ньютона:

где

и используем:  и формулы (9.3)

Тогда получим, ограничиваясь N=3, и для простоты полагая :

где в квадратных скобках приведены частоты соответствующих членов. Производя группировку по частотам, далее получим:

Спектр тока при N=3:

рис.9.3      

В спектре тока можно выделить следующие группы частот:

- постоянная составляющая;

- частота  и её гармоники;

- частота  и её гармоники;

- комбинационные составляющие.

Все эти частоты можно записать в виде комбинаций исходных частот в виде:

 причём                         (9.5)

Амплитуды всех комбинационных частот, включая  и их гармоники, можно вычислить с помощью записанных формул. Важно, что в амплитуду каждой комбинационной частоты тока дают вклад амплитуды частот входного напряжения и их степени, что приводит к ряду физических эффектов преобразования частоты, применяемых в электронных устройствах.

Образование суммарной и разностной частот:

.

В модуляторах сигнал несущей радиочастоты  и низкой частоты (звуковой, видео)  преобразуются в амплитудно- или частотно модулированный сигнал, включающий частоты .

В детекторах наоборот, из модулированного сигнала с частотами  при вычитании получается низкочастотный сигнал .

В смесителях поступающий на вход приёмника радиосигнал  и сигнал гетеродина w_г (специального генератора) преобразуются в сигнал промежуточной частоты , который затем усиливается в усилителе промежуточной частоты.

Комбинационные частоты могут также создавать помеху полезным сигналам. Особенно опасны комбинации третьего порядка  и , которые при близких частотах  и  лежат около них (см. рис.9.7) и не могут быть устранены с помощью фильтров. Поэтому во многих применениях, в частности в передатчиках телевизионного сигнала необходимо принимать специальные меры для улучшения линейности амплитудных характеристик выходных усилителей, либо устанавливать выходную мощность меньше мощности насыщения, переходя на квазилинейный или линейный участок АХ.

рис.9.7

При подаче на нелинейный элемент многочастотного сигнала  спектр комбинационных составляющих ещё более усложняется:

                                                             (9.6)

 при - степень полинома, описывающего АХ.

9.2.2. Преобразование спектра на характеристике с отсечкой (метод угла отсечки).

Представим ВАХ ломаной линией:

, где U_пор – пороговое напряжение,

и возьмем  одночастотный сигнал на входе

рис.9.5

Тогда:

                          (9.7)

так как очевидно, что:

а при t=0 то есть амплитуда .

Угол отсечки q соответствует значению напряжения, при котором I=0:

                              (9.8)

Ток на выходе представляет периодическую последовательность импульсов.

Его разложение по гармоникам:

                                                                            (9.9)

Отсюда получаем:

где - коэффициенты Берга.

 Вычисляем интегралы  и находим:

Вместе с этой лекцией читают "Выпадение прямой кишки".

                                                                                        (9.10)

Графики и их отношения  приведены на рисунке.

Коэффициенты Берга позволяют просто рассчитать гармоники тока и нелинейные характеристики устройств, работающих в режиме с отсечкой тока.