Демпфирование колебаний

· Потери, связанные с неупругим деформированием и разрушением материала (образование зон пластичности и вязкоупругое поведение материала, затраты энергии на образование повреждений, пор, трещин).

Демпфирование, рассеивание энергии зависит от скоростей движения точек механической системы (если скорости отсутствуют, то отсутствует рассеивание, следовательно, при анализе статических задач с этим явлением не сталкиваются), поэтому формально уравнение движения системы с учетом диссипации можно представить в виде

A +B, (1.85)

где В – диссипативный оператор.

Рассмотрим основные типы диссипативных операторов.

«Внешнее» трение связано с силами сопротивления частиц внешней среды. Частицы жидкости или газа колеблются вблизи поверхности конструкции примерно, как и сама конструкция, а усилия, действующие со стороны окружающей среды, по конструкции будут пропорциональны силам инерции. Тогда справедливо представление диссипативного оператора в виде:

В = 2eА, (1.86)

где e – искомая константа (коэффициент диссипации).

«Внутреннее» трение связано с взаимодействием, давлением частиц материала друг о друга, т.е. пропорциональным силам упругости. Тогда диссипативный оператор можно представить в виде

В =C – модель Фойхта, (1.87)

где – положительная константа (коэффициент внутреннего трения).

Неупругое деформирование и разрушение материала предполагает учет истории нагружения материала и ее влияния в каждый момент времени. Следовательно, диссипативный оператор должен суммировать всю предысторию, то есть быть интегральным оператором

B=, (1.88)

где R(t,) – функция, ядро наследственного интеграла, описывающее вязкоупругое поведение материала (конкретные виды ядер рассматриваются в теории вязкоупругости).

Таким образом, когда в материале действуют разнообразные диссипативные механизмы, уравнение движения механической системы может иметь следующий вид:

A + (1.89)

Для получения замкнутой системы уравнений уравнение (1.89) дополняется граничными и начальными условиями.

1.4.1. Количественные меры диссипации

Коэффициент поглощения

, (1.90)

где – энергия поглощения за цикл колебаний, W – максимальная энергия деформации, обычно вводится при исследовании петли гистерезиса, отображенного на рис.1.8, где площадь петли гистерезиса, W– площадь треугольника.

Рис. 1.8. Петля гистерезиса

Тогда

, (1.91)

где Г – контур петли гистерезиса, амплитудные значения напряжений и деформаций.

1.4.2. Коэффициенты диссипации и внутреннего трения

; . (1.92)

Коэффициенты связаны через множитель (2) с коэффициентами поглощения энергии при внешнем и внутреннем трении ().

1.4.3. Логарифмический декремент колебаний

Логарифмическим декрементом колебаний называют параметр:

, (1.93)

где – амплитуда колебаний на n-ом цикле колебаний.

zn+1

Рис. 1.9. Изменение амплитуды при демпфировании

Установим связь с коэффициентом поглощения y

, (1.94)

y = 2d.

1.4.4. Методы решения нестационарных задач механики с учетом демпфирования

Основные методы решения те же, что и при анализе динамики упругих механических систем.

1.4.5. Установившиеся колебания

Рассмотрим уравнение движения системы с демпфированием

. (1.95)

На систему действует гармоническая внешняя нагрузка

. (1.96)

Если используются гармонические колебания, то решение можно разыскивать в виде

, (1.97)

где – сдвиг по фазе, запаздывание.

Подставляя решение в уравнение движения, получим

- w²A[u’ cos wt + u” sin wt] – wB[u’ sin wt + u” cos wt] +

+ C[u’ cos wt + u” sinwt] = f₀ cos wt. (1.98)

Приведя общие слагаемые при тригонометрических функциях, получим два операторных уравнения:

, (1.99)

решая которые относительно u’ и u”, определяем установившиеся колебания механической системы с демпфированием.

Если применить к системе процедуру МКЭ, то получим систему линейных соотношений относительно обобщенных узловых перемещений следующего вида:

, (1.100)

где – глобальная матрица диссипативных коэффициентов.

При вычислении амплитуды узловых перемещений достаточно рассчитать норму для определения запаздывания (сдвига по фазе относительно вынуждающей нагрузки)

. (1.101)

1.4.6. Анализ неустановившихся процессов в диссипативных системах

Если для уравнения движения

(1.102)

применить процедуру МКЭ, то разрешающая система будет иметь вид:

Бесплатная лекция: "8 Принципы и методы научного познания в социально-экономической географии" также доступна.

. (1.103)

Интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с начальными условиями проводится численно, используя методы Адамса, Рунге-Кутта, Ньюмарка.

1.4.7. Оценка диссипативных характеристик композитных материалов

Композиционные материалы обладают достаточно высокими диссипативными свойствами по сравнению с традиционными металлами и сплавами.

Причины: обилие внутренних границ раздела фаз, способность длительное время накапливать повреждения, применение в качестве компонентов композита материалов с высокими вязкоупругими свойствами.

В связи с тем, что упругий оператор и диссипативный оператор внутреннего трения подобны, то для оценки эффективных диссипативных характеристик композитов используются методы механики композитов. Начнем с оценок типа Фойхта-Рейсса.

Поделитесь ссылкой:

Популярные услуги