Методы определения собственных частот и собственных форм упругих систем
1.3. Методы определения собственных частот и собственных форм упругих систем
1.3.1. Аналитическое (точное) решение
Для уравнения вида 
определяются фундаментальные функции ji, а константы ui общего решения
(1.70)
определяются из удовлетворения краевым условиям, условие существования решения определит спектр собственных частот. При получении точного решения задачи собственных колебаний упругих систем с несколькими пространственными координатами используется метод разделения переменных, то есть фундаментальные функции разыскиваются в виде:
. (1.71)
1.3.2. Итерационный метод
Метод заключается в построении последовательности функций, сходящейся к одной из собственных форм колебаний. Для построения итерационной последовательности для уравнения проводим замену, 
, 
в результате которой получаем
или 
, (1.72)
где C-1 – оператор, обратный оператору С. Решая последовательность краевых задач, определяем последовательность функций yk, сходящейся к одной из собственных форм. Если на функцию y0 не накладываются дополнительные условия (кроме обычных условий: непрерывность функции и ее производных, удовлетворяющих граничным условиям), то последовательность сходится к первой собственной форме. Ее подстановка в исходное уравнение определит первую собственную частоту. Последующие формы и частоты определяем, используя свойство ортогональности собственных форм. То есть выбор первоначального приближения 
должен удовлетворять условию вида:
Рекомендуемые материалы
или 
, (1.73)
где yk(1) - первая собственная форма. Повторяя данную процедуру n раз, определим n свободных форм и, следовательно, собственных частот.
1.3.3. Метод Релея
Для уравнения свободных колебаний 
используем свойство определенного интеграла, известное как основная лемма вариационного исчисления
, (1.74)
тогда, если 
а 
любая произвольная функция, справедливо
, (1.75)
где ji одна из собственных форм колебаний, или любая линейная комбинация, которым является общее решение.
Тогда
- дробь Релея. (1.76)
Метод Релея состоит в том, что в качестве j выбирается функция, удовлетворяющая граничным условиям. Дробь Релея достигает максимального значения, когда в качестве j выбирается первая собственная форма, а значения функционала дает первую собственную частоту. Таким образом, решение задачи собственных колебаний упругих систем сводится к решению вариационной задачи для функционала в виде дроби Релея. Для получения высших форм и частот собственных колебаний необходимо удовлетворять условию ортогональности форм колебаний
или 
, (1.77)
при этом i=1,..,k,k–1, где k – номер определяемой формы и частоты колебаний. А задача математически соответствует исследованию функционала в виде дроби Релея на условный экстремум.
Дополнительные условия – условия ортогональности собственных форм (условия изопериметрического типа).
1.3.4. Прямые методы
К прямым методам относятся приближенные методы решения краевых задач, когда решение представляется в виде:
, (1.78)
где fi – неопределенные коэффициенты, 
– последовательность аппроксимирующих функций (удовлетворяющих граничным условиям, линейно не зависимые, дифференцируемые, непрерывные), так называемые базисные или координатные функции (не обязательно ортогональные). Представление такого вида используют методы Ритца, Галеркина, сеточные методы: конечно-разностный метод (КРМ), вариационно-разностный метод (ВРМ), метод конечных элементов (МКЭ).
Рассмотрим реализацию прямого метода решения задачи о собственных колебаниях упругой системы на примере метода конечного элемента. Конструкцию представим в виде совокупности конечных элементов (V =
, где N – число конечных элементов). В пределах конечного элемента аппроксимируем перемещения 
в виде:
, (1.79)
где ui – узловые обобщения перемещения, Ni – базисные функции конечного элемента. Подставляем используемую аппроксимацию в уравнение свободных колебаний, используя при этом свойство определенных интегралов, рассмотренное при анализе метода Релея, тогда
;
, 
;
или в матричном виде (классическая задача линейной алгебры)
, (1.80)
где [C] – матрица жесткости упругой системы (матрица коэффициентов):
, (1.81)
где [A] – матрица масс упругой системы (матрица коэффициентов); {u} – вектор собственных форм колебаний, w2 – собственные частоты. Спектр собственных частот определяется из решения уравнения
 |
(1.82)
корни уравнения определяют дискретный спектр собственных частот исследуемой упругой системы. После определения спектра собственных частот из уравнения (1.80) определяем собственные формы. Так как определитель системы равен 0, то система переопределена, поэтому собственную форму определяем с точностью до постоянного коэффициента. Обычно вектор {u} нормируется на значение какой-либо компоненты (u1, например). Тогда получается ui = 1, одно из уравнений в системе (1.80) исключается и, решая систему (N – 1) линейных уравнений, определяются оставшиеся компоненты собственной формы колебаний соответствующей частоты.
1.3.5. Численные методы, используемые при анализе собственных колебаний упругих систем МКЭ
1. Метод половинного деления при определении собственных частот: уравнение 
решается методом половинного деления, при этом локализуются необходимые частоты wi, i=1,…,k×l, где k – число обобщенных перемещений узла, l – количество узлов сетки.
2.Метод вращений Якоби. Матрицы [C] и [A] умножаем на матрицу [R] вида:
если 
. (1.83)
Рекомендуем посмотреть лекцию "Лекция 7".
Угол q выбирается таким образом, чтобы после умножения матриц [C][R] и [A][R] компоненты Cij и Rij новой матрицы были равны 0. Последовательно выполняя операцию, приводим матрицы [C] и [A] к диагональному виду. Система расщепляется на независимые уравнения, и собственные частоты определяются элементарно.
3. Использование итераций для получения собственных векторов
;
(1.84)
,
где s – так называемый параметр, определяющий норму сдвига, частоту, к которой сходится процесс, (используем приближенную оценку, например, полученную методом Релея). А вообще методов достаточно много (метод быстрых вращений Гивенса, алгоритм Ланцома, одновременной итерации, метод минимизации и др.)
