Конвективные течения в приближении пограничного слоя

Лекция №7

Конвективные течения в приближении пограничного слоя.

Оценка толщины и формы плоского пограничного слоя.

 – основное уравнение гидродинамики для стационарного пограничного слоя. В пограничном слое, т.е. нельзя отбрасывать ни конвективный, ни вязкий член уравнения Навье – Стокса. Для простоты предположим течение безнапорным.

 +  =  =

 +

, т.к.

Рекомендуемые материалы

 =  ;

 = = - точное решение

Поскольку сопротивление переносу субстанции сосредоточено в пограничном слое, то ясно, зачем для интенсификации процессов переноса надо увеличивать.

Длина участка гидродинамической стабилизации.

Она равна расстоянию от входа потока, на котором смыкаются его пограничные гидродинамические слои.

 =, Re

Турбулентное течение. Полуэмпирическая теория турбулентности

Согласно теории устойчивости, устойчивой является система, амплитуда бесконечно малого возмущения, которой не растет.

Ламинарное течение является гидростатически устойчивым.

Неустойчивость приводит к пульсации величин параметров потока (скорости и давления). Обычно, изменение скорости и давления описывается распределением Гаусса, в котором наиболее вероятностным значением (математическим ожиданием)являются средние значения скорости и давления.

Таким образом, мгновенные значения скорости и давления носят вероятностный характер. Предложил выражать мгновенные значения параметров течения в виде линейной комбинации их среднего значения и пульсационной составляющей:

 + ^’,  - среднее значение параметра;   – пульсационная составляющая значения параметра

P=

Правила осреднения, обозначаемого чертой над символом:

 = ,

 = 0

  0

Вывод основного уравнения гидродинамики для турбулентного режима

(уравнения Рейнольдса)

 +  +  = 0 – уравнение неразрывности

 +  +  = 0

 +  +  = 0 – уравнение неразрывности турбулентного течения

 = -  +

Уравнение Навье - Стокса

 =  +

 +

Приближение Буссинеска:

-  =  = _г  -  =  = _г и т.д.

Тогда:

 = (_т) – Уравнение Рейнольдса в приближении Буссинеска.

 =  - =

Параметры турбулентности:

L  – масштаб турбулентности – расстояние в потоке, на котором средняя скорость изменяется на величину пульсационной составляющей.

L = , константа Кармана  для крупномасштабных пульсаций

Изменение средней скорости на масштабе турбулентности

 = 1/2= L=,

Выражение получается взаимной подстановкой друг в друга приведенных ниже зависимостей.
, так как разложение  в ряд и ограничение его первым членом дает

L

 =  -   L, так как разложение в ряд  и ограничение его первым членом дает

L,

Re_L = Re_x = ,  - крупномасштабная пульсация, x мелкомасштабная пульсация и L, таким образом диссипирует энергию мелкомасштабной пульсаци, так как малый критерий Re- это большая сила трения, большая вязкость, а, следовательно, большая величина диссипированной энергии.

На основе теории размерности можно получить выражение для турбулентной вязкости:

; L ;;  – параметры потока, характеризующие течение:

 =  = L² = ²y²

_т  =  = ²y²

 = _г²y²

 = - ²y²

После определения значений _т и  можно решать конкретные задачи с использованием уравнения Рейнольдса.

Определим профиль скоростей в плоском квазистационарном турбулентном потоке.

Определить профиль скоростей в плоском, квазистационарном, турбулентном потоке при безнапорном течении

а) профиль скоростей, полученный решением уравнения Рейнольдса.

б)профиль скоростей в приближении пограничного слоя.
Из уравнения Рейнольдса при оговоренных условиях имеем:

 =  – слабо зависит от y.   = ²- пропорционально y².  Решаем методом асимптотического анализа со сращиванием полученных решений:

y; ;  =  

- линейная зависимость.

y; ²

                    Интегрируем и получаем:

lny+С – логарифмический профиль скоростей в потоке вдали от стенки

 =  – назовем, согласно размерности динамической скоростью^*

=

= ^*=^* - пульсационная составляющая и динамическая скорость – это одно и то же.

Re =  (при равном соотношении  сил трения и инерции выбираем точку сращивания у, т.к. асимптотические решения получены для случаев превалирования силы трения (решение при у или силы инерции (решение при у)

Координата  сращивания равна:

у₀=

Лекция "4 - Основы криптографии с секретным ключом" также может быть Вам полезна.

 у₀=  = = =  lny₀+C ^*- lny₀

Важный вывод: скорость в точке сращивания равна пульсационной составляющей ,a  - равна 0, что согласуется с гипотезой прилипания

ln+^*= ^*

Точное решение этой задачи имеет вид:

^*

Полученные в результате решения уравнения Рейнольдса два различных вида профилей скоростей: линейного у стенки и логарифмического профиля скорости вдали от нее и вид соответствующих функций согласуется с гипотезой Прандтля о наличии в пристенной области пограничного слоя с иным, чем в ядре потока механизмом переноса количества движения.