Теория гидродинамического подобия
Лекция №4
Теория гидродинамического подобия.
При физическом моделировании необходимо найти условия перехода от модели к оригиналу:
+
= - 
+ 
+ 
[
+ …] для оригинала
+
= - 
+ 
+ 
[
+ …]для модели привели фрагмент основного уравнения гидродинамики
Масштабные множители
=
;
=
;
=
;
=
;
=
;
=
;
=
+ 
=
+ 
+ 
* [+ …]
=
=
= 
условие перехода от оригинала к модели, равенство комплексов масштабных множителей.
Рекомендуемые материалы
Каждый из комплексов масштабов стоит в уравнении Навье-Стокса при множителе, соответствующем определенной силе. Для выявления соотношения действующих сил соответствующие комплексы масштабных множителей нормируют по множителю соответствующему силе инерции. Таким образом, получают комплексы соотношений масштабов действующих сил. Эти комплексы называются критериями гидродинамического подобия.
Критерий Струхаля (гомохронности)
=
= 
= 
- мера нестационарности процесса
Критерий Эйлера
=
= 
; 
– динамическое давление. 
соотношение сил давления к силе инерции
Критерий Фруда
=
=
- соотношение массовых сил( сил тяжести) к силе инерции
Критерий Рейнольдса
=
= 
-соотношение сил трения и инерции.
=
– критерий Рейнольдса - соотношение сил инерции к силе трения
Уравнение Новье-Стокса, записанное в критериальной форме:
=f(
,,) Критерий, стоящий в левой части равенства, называется определяемым, а критерии в правой части- определяющими.
Докажем, что в установившемся режиме течения параметры течения ω и P зависят только от критерия Рейнольдса.
Введем приведенное давление как:
=P + ρgz
= - 
+ ν
+ …]
Введем безразмерные величины, нормированные по характерным параметрам:
.
=
; 
;
=
;
ω
=- 
+ 
[
+ …]
=-
+ 
[+ …]
=- 
+
+ …]
=-
+
Re—>
=>
=0 конвективное течение
ползучее течение Re=>0
1.Безнапорное течение (Куэтта) =0=>
=0
2.Напорное течение
Оно возможно в двух вариантах: за счет перепада давления и за счет действия массовой силы( например силы тяжести).Оба этих фактора учитывает приведенное давление =P + ρgz
Безнапорное течение (Куэтта)
Безнапорное течение еще называют сдвиговым. Движение протекает за счет сдвиговых усилий на границе( границах) области.
Математическое описание процесса:
=0
Решение
=
Напряжение трения равно:
=µ=µ
Текущее значение скорости равно:
= 
= 
(z/b+1)
Средняя скорость течения согласно теореме о среднем равна:
=
(z/b+1)dz=1/4bW[
+ z]
=
Расход на единицу ширины пластины:
V=2b*1*=bW
Течение под действием перепада давления
Напорное течение жидкости в трубопроводе
Берем уравнение Нaвье–Стокса цилиндрической системе координат (раздаточный материал):
=0 при ω=
,
=0, 
=0, 
f(r)=f(x)≠0
=0, =f(r)≠0, 
=0
=1/r
[r
]=
[r
]-последнее для Ньютоновской жидкости
r=1/2µ
+ ;
=1/4µ+lnr+
x=0,P=
; x=l, P=
r=0,
∞ условие конечности скорости, из него 
0
r= R,=0 гипотеза прилипания. Из него 
- 1/4µ
=1/4µ
*
+
+=-1/4µ
(
-
)=1/4µ
(-)
<0
max=- 1/4µ,при r=0.
=µ=1/2
r= -1/2 
; 
линейная функция от x.При х=0 
и напрвлена в сторону, противоположную движению.
Средняя скорость в потоке по теореме о среднем равна:
=1/π
=
=
=
=2[1-
] зависимость локальной скорости от средней.
V=
*=-
=
-уравнение Пуазеля-Гагена
Для ползучего течения λ - функция Рейнольдса . Это мы и доказали в лекции по теории подобия.
Доказательство:
λ=f(Re)=64/Re
Докажем это:
=
=λ
/2g=>
=λ
=
=32µ
=64µ/ρd=64ν/d= =64/Re
λ=C/
удобная интерполяция для любого режима течения
λ=0,3164/
- формула Блазиуса
5*
<Re<
- формула Женеро
5*103<Re<107
Ползучее напорное течение под действием сил тяжести
=0,
=f(x)≠0
=-g, остальные члены равны 0
Решение:
=-
x+
=-
+
=δx-
параболическая зависимость. Напомним вектор 
, как мы исходно задали, направлен вниз.
=ρg(δ-x) линейная зависимость. 
>0 вектор направлен вверх.
Средняя скорость течения пленки равна:
=1/δ
=1/δ[ρg
/2
/6µ]=
Удельный расход жидкости на единицу ширины стенки:
V=δ*1*
=
; δ=
Re<20- ламинарный режим, где
Re=
=
=
, ибо 
=
=4δ
Re=const для изотермического течения.
Re>20 псевдоламинарный режим ( по поверхности пленки идут волны):
δ =
Re>1600- турбулентный режим
δ=0,185
*
Расчет простого трубопровода
Для его расчета используют уравнение Бернулли, ибо соблюдаются все три допущения, которые сделаны при его выводе. Уравнение Бернулли записываем для сечений 1 и 2:
h + 
+
/2g= 0+ 
+ 
=(λl/d+
=h +
=H- располагаемый напор. Он тратится на преодоление гидравлических потерь
Откуда скорость в трубе W и расход равны:
W=
; V=
Поскольку 
=C/Re n часто не удается рассчитать W и Vаналитически, тогда это можно сделать численно или графически, вычисляя левую л.ч. и правую п.ч. уравнения:
Формула для расхода скорости, где вместо коэффициента местных сопротивлений используется эквивалентная длина трубы, дающая те же потери на трении, что и на местных сопротивлениях имеет вид:
V=
=>H=
λ
= 0,083λ
"8 Россия в 17 веке" - тут тоже много полезного для Вас.
Зависимость: стоимость трубопровода от его диаметра носит экстремальный (с минимумом затрат) характер.
Расчет разветвленного трубопровода
Напор на участке расходуется на преодоление гидравлических потерь.
Система замкнута и позволяет решать проектные задачи, определяя или длину, или напор, или диаметр трубы в первом случае, а во втором - расход.
