Движение в гравитационном поле. Закон всемирного тяготения. Движение астрономических объектов

Движение в гравитационном поле. Закон всемирного тяготения. Движение астрономических объектов.

Силы гравитационного взаимодействия существуют между любыми телами. Наиболее отчетливо эти силы проявляются при движении астрономических объектов. Изучая законы движения астрономических объектов, можно вывести закон Всемирного тяготения.

Законы Кеплера

В результате длительной обработки наблюдений датского астронома Тихо Браге И. Кеплер эмпирически установил следующее:

1. Все планеты движутся по эллипсу, в одном из фокусов которого находится солнце.

2. Величины секториальной скорости планеты не меняются.

3. Квадраты периодов обращения различных планет вокруг солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит (эллипсов) т. е.

Рекомендуемые материалы

Величина , для любой планеты.

Из первого и второго закона Кеплера следует, что секториальная скорость не меняется и по величине и по направлению (т. к. движение плоское то силы, действующие на планеты, являются центральными: =const).

Считая, что движение планет происходит по окружности и на них действует центростремительная сила F – гравитационная сила.

  и  имеем  и помня о том, что T²=const·R³ получим, что

Таким образом мы показали, что сила гравитационного взаимодействия обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами.

Закон всемирного тяготения:

Все тела притягиваются друг к другу гравитационной силой обратно пропорциональной квадрату расстояния между телами и прямо пропорциональной массе каждого из тел.

Коэффициент пропорциональности k называется гравитационной постоянной.

Эта сила направлена вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие материальные точки.

Откуда .

В СИ g=(6,6732±0,0031)*10^-11 

Гравитационная масса – величина, характеризующая способность тела к гравитационным взаимодействиям. В общем случае понятия гравитационной массы и инерционной массы не совпадают. Опытные данные показывают, что они пропорциональны друг другу, т. е.

Для тела любой массы ускорение свободного падения в данной точке Земли одинаково:

, и  , введем коэффициент пропорциональности и получим:

, тогда с учетом выражения полученного выше:                  

И получим:

Сила тяжести. Вес тела.

Под силой тяжести понимают силу, с которой тело притягивается к планетам. Это фактически гравитационная сила, действующая со стороны планет.

В законе Всемирного тяготения рассматриваются точечные тела. Рассчитаем силу взаимодействия тела малых размеров с планетой (однородным шаром). Сначала найдем силу взаимодействия тела с тонкой сферической оболочкой.

Пусть m – масса тела, М – масса оболочки, r – расстояние от центра сферы до тела. На оболочке выделим круговой поясок, все точки которого находятся на одинаковом расстоянии от тела равном r. Из центра он виден под углом Q, угловая ширина пояска dQ. Найдем потенциальную энергию взаимодействия тела с выделенным пояском.

 соответственно

(разбить можно поясок на точки, найти для каждой U и просуммировать)

, где 4pR² – масса единичной поверхности.

dS – Площадь пояска, dS=2pRsinQRdQ, а по теореме косинусов:

r² = r² + R² – 2RrcosQ

2rdr=2rRsinQdQ

Следовательно:

, где r_max= r + R и r_min= r – R

Таким образом получим:

Потенциальная энергия такая же, как и потенциальная энергия взаимодействия двух материальных точек. Рассматривая взаимодействие со сферой, мы можем заменить ее материальной точкой, и поместить ее в центр сферы (т. е.  представить шар как множество вложенных тонких сфер).

,

Закон всемирного тяготения, сформулированный для точечных тел, можно использовать для описания взаимодействия сферических тел (тела не перекрываются).

Рассмотрим случай взаимодействия, когда точка находится внутри сферы. Все выкладки, приведенные выше равны то записи интеграла, с той лишь разницей, что:

r_max= R + r и r_min= R – r ;   r_max - r_min = 2r 

; U=const; F=0

Внутри сферы силы, действующие на тело, уравновешены.

"4 Дифференцирование функций одной переменной" - тут тоже много полезного для Вас.

Вблизи планеты  r » R откуда  значит  и F_m=mg

Под весом тела будем понимать силу, с которой тело действует на опору или подвес. Если F_m, сила, приложенная к телу, то вес тела – сила, приложенная к опоре или подвесу. По 3-му закону Ньютона опора или подвес действуют на тело с той же силой:

 и

Видно, что если тело движется без ускорения, либо покоится то

Иначе: и , при движении ракеты вверх.