Сложное движение точки в общем случае

Лекция 7

Краткое содержание:  Сложное движение точки в общем случае: абсолютная и относительная производные, сложение скоростей, сложение ускорений. Ускорение Кориолиса. Правило Жуковского.

Сложное движение точки в общем случае

Абсолютная и относительная производные

При рассмотрении сложного движения точки необходимо рассматривать изменение векторных величин с течением времени по отношению к системам отсчета, движущимся друг относительно друга.

Рассмотрим произвольный вектор  в двух системах отсчета: подвижной и неподвижной. В подвижной системе отсчета только проекции вектора  являются функциями времени,  в неподвижной системе отсчета кроме проекций, функциями времени являются и единичные вектора    (они изменяют свое направление в пространстве).

       (9-1)

Рис.  9-1

Рекомендуемые материалы

Введем обозначения   - абсолютная производная – производная в неподвижной системе отсчета;         - относительная производная – производная в подвижной системе отсчета.

Установим зависимость между абсолютной и относительной производными. Вычислим абсолютную производную по времени от вектора  используя формулу (9-1).  Получим

                                  (9-2)

Первые три слагаемых учитывают изменение вектора  при неизменных  и поэтому составляют относительную производную, т.е.

.                                         (9-3)

Производные по времени от единичных векторов определим по формулам Пуассона              

Вектор   - это угловая скорость вращательной части движения вокруг точки О подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

После подстановки получаем

.                (9-4)

Получена формула зависимости производных вектора  в двух системах отсчета движущихся друг относительно друга (формула Бура).

Сложение скоростей

Пусть система отсчета   O₁x₁y₁z₁  - неподвижная, а система отсчета Oxyz - подвижная. Движение точки относительно основной неподвижной системы отсчета O₁x₁y₁z₁ называется абсолютным. Движение точки относительно подвижной системы отсчета Oxyz называется относительным. Переносным движением точки называется движение, которое она совершает вместе с подвижной системой отсчета, как точка, жестко скрепленная с этой системой в рассматриваемый момент времени. Относительные скорость и ускорение обозначают    и ,  переносные -  и ,  а абсолютные -  и .

Рис.  9-2

Движение подвижной системы отсчета относительно неподвижной можно охарактеризовать скоростью ее поступательного движения   , например вместе с точкой О, и вектором угловой скорости  ее вращения вокруг О.

Теорема.  Скорость абсолютного движения точки равна векторной сумме переносной и относительной скоростей. 

Доказательство. Рассмотрим движение точки . Положение точки относительно неподвижной системы отсчета определяется вектором  ,  а относительно подвижной вектором  .  Положение точки  относительно неподвижной системы отсчета определяется вектором  . Для любого момента времени выполняется тождество                  .

Продифференцируем его по времени (вычислим производные в неподвижной системе отсчета) и получим

                                         (9-5)

По определению,      - абсолютная скорость точки ,    - абсолютная скорость точки . Для вычисления  применим формулу Бура. Имеем .  Относительная производная  - является относительной скоростью точки  по отношению к неподвижной системе отсчета, а  - угловая скорость вращения подвижной системы отсчета.

Таким образом из (9-5) получаем

                                       (9-6)

Скорость

является скоростью точки свободного твердого тела, скрепленного с подвижной системой координат, с которой в данный момент совпадает точка  в движении тела относительно неподвижной системы отсчета.  Это есть переносная скорость точки .

Окончательно  получаем

,                                      (9-7)

что и требовалось доказать.

Сложение ускорений в общем случае переносного движения

Теорема. (кинематическая теорема Колиолиса)  Абсолютное ускорение точки является векторной суммой трех ускорений -  переносного, относительного и Кориолиса.        

Доказательство. Абсолютное ускорение точки  определим вычислением полной производной по времени от абсолютной скорости.

Для производных от векторов    и    применим формулу Бура.    Получим

Учитывая, что           ,   ,   ,   ,

получим для абсолютного ускорения

                                   (9-8)

Вместе с этой лекцией читают "9 Растительные ресурсы Северной Америки".

В этой формуле первые три слагаемых являются переносным ускорением для точки           .  Последнее слагаемое называется ускорением Кориолиса   (иногда его называют добавочным или поворотным ускорением) и обозначается .

В итоге формула (9-8) принимает вид

,                                         (9-9)

что и требовалось доказать.

Ускорение Кориолиса

Теорема (Правило Жуковского).  Модуль ускорения Кориолиса равен удвоенному произведению угловой скорости переносного вращения на модуль проекции относительной скорости на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения; чтобы получить направление ускорения Кориолиса, необходимо вектор проекции относительной скорости повернуть на   вокруг оси, параллельной оси переносного вращения в направлении этого вращения.