Перепутанные состояния. Меры перепутывания - математические аспекты

ЛЕКЦИЯ 13. Перепутанные состояния. Меры перепутывания: математические аспекты.

1. Понятие пебита (ebit). Кубиты и пебиты как прямые и косвенные ресурсы квантовой информации.

2. Чистые перепутанные состояния. Разложение Шмидта двухкомпонентной системы. Энтропия перепутывания. Степень перепутывания. Локальные операции и классические сообщения.

3. Смешанные перепутанные состояния. Перепутывание создания. Пример: состояния Вернера.

4. Очищение перепутывания. Протоколы двустороннего и одностороннего обмена. Дистилляция и концентрация перепутывания.

5. Критерий Переса-Хородецки. Сепарабельность квантовых состояний. Пример: состояния Вернера. Свободное и граничное перепутывание.

6. Состояния Белла. Их преобразования при смене базиса. Инварианты.

7. Приложение: матрица плотности немаксимально перепутанных состояний.

Фундаментальной единицей квантовой теории информации является кубит.  Напомню, что кубит представляет собой состояние двухуровневой системы, например, частицу со спином 1/2 или произвольная суперпозиция двух фоковских состояний. В представлении двух ортогональных состояний, таких как «0» и «1» кубит  отличается от классического бита тем, что он может существовать в произвольной (комплексной) суперпозиции своих базисных состояний:

Рекомендуемые материалы

.                                                                                         (13.1)

Кроме того, кубит может оказаться в состоянии, которые мы назвали перепутанным и которое не имеет классической аналогии. В прошлом семестре мы рассматривали теорему Б.Шумахера об эффективном сжатии квантовых данных. Эта теорема утверждала, что для оптимального сжатия необходимо определенное количество кубитов, которое требуется для успешной передачи через квантовый канал неизвестных чистых состояний, полученных из источника, приготавливающего известный ансамбль состояний. Другими словами (см.лекцию 6) энтропия фон Неймана  ансамбля является просто средним числом кубитов, необходимых для кодирования состояний ансамбля при помощи идеальной кодирующей системы.

В некоторых протоколах квантовой информации речь идет о других квантовых ресурсах – не о кубитах, а о перепутанных состояниях. Например – в протоколах сверхплотного кодирования, квантовой телепортации, протоколе Экерта квантовой криптографии и многих других. В них речь идет о максимально перепутанных парах кубитов, которые распределены между излучателем и приемником, которые связаны между собой, в общем случае, и классическим и квантовым каналом связи.  Так же как и Шумахер, определим ebit(!) как количество перепутывания содержащейся в максимально перепутанной паре двухуровневых систем, например, в паре частиц со спином  1/2, находящихся в синглетном состоянии:

                                                                                   (13.2)

Возникает вопрос, сколько ебитов (прости господи) необходимо для реализации того или иного протокола.

Замечание: Предлагается произносить ebit как “пебит”! (от “перепутывание” и “бит”)

Заметим, что кубиты являются прямыми ресурсами канала связи. Они посылаются в определенном направлении (от источника к приемнику). В то же время пебиты относятся к непрямым ресурсам – они распределены между источником и приемником. Например, если Алиса приготовила две частицы в синглетном состоянии (13.2) и отправила одну частицу Бобу, то результат будет таким же, как если бы Боб приготовил две частицы в таком же состоянии и послал одну из них Алисе.

В некотором смысле пебиты – более слабые ресурсы квантовой информации, чем кубиты, поскольку, передача одного кубита может быть использована для создания одного пебита перепутывания. Однако распределение между пользователями одного или нескольких пебитов само по себе не достаточно для передачи произвольного состояния двухуровневой (квантовой) системы или кубита в любом направлении. Для осуществления такой передачи необходимо дополнить пебит  битами классической информации, как это имеет место при квантовой телепортации.

Возникает естественный вопрос. Можно ли в протоколах квантовой информации пользоваться частично перепутанными состояниями, например, в виде:

                                                                   (13.3)

вместо максимально ПС (13.2). А если можно, то сколько таких пар необходимо использовать вместо одной максимально перепутанной пары? Для ответа на эти вопросы нам необходимо количественно охарактеризовать перепутывание, что и составляет предмет этой лекции.

Разложение Шмидта.

Предположим, что у нас имеется две подсистемы А (размерности N) и В (размерности М Ј N). Тогда утверждается, что совместное состояние этих двух подсистем может быть записано в виде ПС:

,                                                                                    (13.4)

где |a_i> = |a₁>, |a₂>,..|a_М>   -базис для подсистемы А, |b_i> = |b₁>, |b₂>,…|b_М>- базис для подсистемы В. Коэффициенты с_i – действительные, положительные числа. Мы включили фазы в определение базисных состояний для удобства.

Из разложения Шмидта следует, что с точки зрения каждого из двух наблюдателей перепутанные состояния являются смешанными состояниями. Так для наблюдателя А:

.                                 (13.5)

Аналогично, для другого наблюдателя:

.                                 (13.6)

Для количественного описания перепутывания в чистом состоянии двух подсистем вводят следующую «меру» перепутывания.

Энтропия перепутывания.

Энтропией частично перепутанного чистого состояния – это энтропия фон Неймана

                                                                                          (13.7)

либо подсистемы А (r_А) либо В (r_В):

                                  (13.8)

Последнее равенство легко проверить на примере двух кубитов:

.                           (13.9)

График зависимости энтропии (13.8) от степени перепутывания q, введенной в (13.3) показан на рис. 1.

Замечание. Мы включили фазы в определение базисных состояний. Если этого не делать, то очевидно, последнее и предпоследнее соотношения будут записаны в виде:

                            (13.10)

Замечание. Представление энтропии в виде натурального логарифма содержит некий произвол. Можно встретить ее определение через логарифм по основанию «2». Тогда энтропия на рис.1 будет достигать единицы (1 пебит) в максимуме.

Величина Е, которую часто называют просто «перепутывание», меняется от нуля (для факторизованных состояний, когда ) до 1 пебита для максимально перепутанных состояний пары двух частиц  (когда ). В более общем случае эта величина максимальна для равномерно распределенных коэффициентов , где M – число базисных векторов в разложении (13.5) или размерность гильбертова пространства для меньшей подсистемы. Так для двухуровневых систем имеем только два члена в разложении Шмидта (13.5)

 и для системы двух кубитов получаем:

.                                                                (13.11)

Здесь нужно сделать важное замечание о том, что разложение Шмидта нельзя осуществить более чем для двух перепутанных систем. Например, рассмотрим три перепутанных системы. Мы хотим записать их общее состояние так, чтобы при фиксации (скажем, в результате измерения) состояния одной из подсистем, этот результат достоверно указывал о состоянии каждой их двух оставшихся подсистем. Это происходит, например, в состоянии ГХЦ, рассмотренном в лекции 11:

.                                              (13.12)

В этом состоянии, измерив состояние первой частицы, которое оказалось, скажем  мы достоверно узнаем, что вторая и третья окажутся в состояниях , соответственно. Но в общем случае этого сделать нельзя, поскольку при измерении состояния первой частицы два других окажутся в перепутанном состоянии. Действительно в Л11 было показано, что состояние ГХЦ (13.12), записанное в базисе  где

                                                                                (13.13)

имеет вид:

           (13.14)

Из (13.14) видно, что задавая состояние первой частицы, две другие проецируются в перепутанное белловское состояние .

Частично перепутанными называются подсистемы, для которых величина Е < 1. Оказывается, что использование таких состояний в протоколе квантовой телепортации приводит к неудачной передаче неизвестного состояния, т.е. с качеством (fidelity) F < 1. В протоколе сверхплотной кодировки их использование проявится в зашумленности классического канала связи.

Степень перепутывания. (degree of entanglement)

не путать с энтропией перепутывания.

            Запишем перепутанное состояние в виде (ср. с (13.3), где использовалась другая параметризация  перепутывания):

.                                                                            (13.15)

Величина e называется степенью перепутывания. Для максимально перепутанных состояний e = 1. Вычислим, чему равна энтропия перепутывания состояния (13.15). Видно, что

                                                                        (13.16)

Тогда по Беннету,

                                                                     (13.17)

Если e = 1, то Е(e) – максимально. Если e = 0, Е(e) =0

Говоря о физической реализации состояния (13.15), следует упомянуть работы группы П.Квиата, подразумевая под состояниями  пару кубитов, получающихся при неколлинеарном вырожденном по частоте параметрическом рассеянии типа I из двух кристаллов, оптические оси которых составляют друг с другом угол 90 град:

Вклад той или иной компоненты в общее состояние (13.15) регулируется поворотом полуволновой пластинки, установленной перед парой кристаллов ББО.

В этом случае вероятность регистрации совпадений зависит от ориентации поляризационных призм, уставленных перед детекторами по закону:

.                                             (13.18)

Фаза f регулируется задержкой между двумя поляризациями накачки.

От параметра e будет меняться глубина модуляции в зависимости числа совпадений от фазы f. Если при максимальной степени перепутывания минимум (в идеальном случае он равен нулю) должен наблюдаться при одинаковых ориентациях поляроидов , то изменение параметра e приводит не только к уменьшению видности, но к асимметрии зависимости положения минимума от ориентаций поляроидов. Этот эксперимент наглядно демонстрирует влияние степени перепутывания на экспериментально наблюдаемые величины – число совпадений как функция относительной фазы (пространственно-временная интерференция) и ориентации поляроидов (поляризационная интерференция).

Локальные операции и классические сообщения (local operations and classical comminication LOCC)

Часто эти два понятия встречаются при описании квантовых протоколов. Поясним, что имеется в виду.

Пусть изначально n частично перепутанных пар распределено между двумя партнерами (Алисой и Бобом). Алиса имеет одну частицу из каждой пары, а Боб – другую. Это нелокальное распределение частиц устанавливает начальное перепутывание nE между Алисой и Бобом. Теперь разрешим Алисе и Бобу действовать локально, т.е. независимо на свои частицы. Это может быть, например, унитарное преобразование, выполняемое Алисой (или Бобом) или обобщенное измерение (фон-Неймана) в гильбертовом пространстве ее т.е. Алисы частиц. То же может делать и Боб. Разрешим также Алису и Бобу координировать их действия путем обмена классическими сообщениями. Не разрешается лишь обмениваться квантовыми системами, а также выполнять нелокальные операции (т.е. влияющие на состояния частиц партнера) после того, как было установлено начальное распределение перепутанными частицами.

К локальным операциям относят:

1. случайные билатеральные вращения. Эта операция выполняется над каждой частицей независимо и  приводит начальное смешанное двухчастичное состояние в состояние Вернера. Ее относят к действию зашумленного канала.

2. Унилатеральные вращения на p. Выполняются над одной из частиц путем поворота вокруг осей x, y или z. Такие операции позволяют преобразовывать состояния Белла друг в друга (пренебрегаем общими фазовыми множителями):

3. Áèëàòåðàëüíûå âðàùåíèÿ íà p/2 (B_x, B_y, B_z) обеих частиц пары вокруг осей x, y èëè z. Òàêèå îïåðàöèè îñòàâëÿþò ñèíãëåòû èíâàðèàíòíûìè è ïðåîáðàçóþò òðèïëåòû äðóã â äðóãà:

4. Квантовые операции XOR, выполняемые билатерально Алисой и Бобом над соответствующими членами распределенных пар. Унилатеральные операции XOR – это операции над двумя кубитами одного из наблюдателей (либо Алисы, либо Боба), когда условно переворачивается второй (мишень) спин если первый (источник) направлен вверх и не происходит ничего в противном случае:

Áèëàòåðàëüíûå îïåðàöèè XOR (èëè BXOR) – äåéñòâóþò àíàëîãè÷íî íà ñîîòâåòñòâóþùèå êîìïîíåíòû äâóõ ïàð, ðàñïðåäåëåííûõ ìåæäó Àëèñîé è Áîáîì. Åñëè ó Àëèñû íàõîäÿòñÿ ñïèíû 1 è 3, à ó Áîáà – ñïèíû 2 è 4, òî îïåðàöèÿ BXOR ñî ñïèíàìè 1 è 2 – êàê èñòî÷íèêàìè, à ñïèíàìè 3 è 4 – êàê ìèøåíÿìè, ïåðåâîðà÷èâàåò ñïèí 3 òîëüêî òîãäà, êîãäà ñïèí 1 íàïðàâëåí ââåðõ, â òî âðåìÿ êàê óñëîâíî ïåðåâîðà÷èâàåò ñïèí 4 òîëüêî òîãäà, êîãäà ñïèí 2 íàïðàâëåí ââåðõ. Видно, что BXOR над двумя состояниями  оставляет их без изменений. Результаты преобразований состояний Белла приведены в таблице:

До преобразования                                                 После преобразования

5. Кроме предыдущих четырех унитарных операций Алиса и Боб могут выполнять один тип измерений - измерение обоих спинов вдоль оси z. Такое измерение позволяет легко отличить состояний  от , но не позволяет отличить знак соответствующего состояния. Конечно, после того как проведено измерение, пара больше не является перепутанной.

Смешанные перепутанные состояния

До сих пор речь шла только о чистых перепутанных состояниях. Смешанные ПС возникают при воздействии шума на отдельные подсистемы, образующие составную систему, когда нарушается когерентность суперпозиции (13.3). Типичный сценарий образования (или создания) смешанного ПС показан на рис.3. В начальный момент времени в некоторой участке пространства две квантовые системы А и В взаимодействуют друг с другом. Затем они пространственно разделяются, одна подсистема направляется к Алисе, другая  - к Бобу. Совместное состояние обеих подсистем принадлежит гильбертовому пространству , которое представляет собой тензорное произведение пространств подсистем. Однако само состояние составной системы не факторизуется – оно является перепутанным . Впоследствии состояние системы  испытывает воздействие шумовых процессов N_A и N_B, которые действуют независимо на  составные части А и В системы, что переводит ее в смешанное состояние. Физически это происходит в зашумленных каналах. Для предотвращения таких процессов разрабатываются методы очищения перепутывания и соответствующие коды, исправляющие ошибки. Фундаментальной мерой перепутывания, которую мы по-прежнему будем обозначать символом Е, является перепутывание формирования или перепутывание создания или перепутывание приготовления (entanglement of formation).

Итак, рассмотрим ансамбль  чистых состояний, которые образуют смешанное состояние М. Вообще говоря таких ансамблей для выбранного смешанного состояния может быть несколько. Ансамбль характеризуется двумя наборами:

.

Определение 1. Перепутыванием создания чистого двухчастичного состояния  называется энтропия фон Неймана:

                    (13.19)

редуцированной матрицы плотности Алисы или Боба (т.к. они совпадают).

Определение 2. Перепутыванием создания  ансамбля двухчастичных чистых состояний  называют усредненное по ансамблю «перепутывание создания» всех чистых состояний, составляющих ансамбль:

                                                                                     (13.20)

Определение 3. Перепутыванием создания смешанного состояния М -  Е(М) называется минимальное значение  по всем ансамблям , которые могут реализовать данное смешанное состояние .

Другими словами «перепутывание создания» – это мера перепутывания, определяемая как по крайней мере ожидаемое перепутывание любого ансамбля чистых состояний, реализующих М.

Замечание. Можно доказать, что локальные операции и классические сообщения не могут увеличить значения Е(М).

Перепутывание создания для смеси состояний Белла (пример)

Итак, ансамбль чистых состояний с минимальным средним перепутыванием по чистому состоянию и реализующим данную матрицу плотности определяет наиболее оптимальный способ создания или приготовления этой матрицы плотности.

Замечание. Считается, что в общем случае неизвестно как найти такой ансамбль минимально перепутанных состояний для данной матрицы плотности.

Однако в некоторых частных случаях это удается сделать, например, для подкласса ансамбля чистых состояний частиц со спином 1/2 , а именно – смешанному состоянию, которое диагонализуется в Белловском базисе.

Рассмотрим т.н. состояния Вернера. Это состояние, которое представляет ансамбль F частей чистых синглетов и (1-F) частей других состояний Белла:

                     (13.21)

Такое представление состояния Вернера эквивалентно другому, когда  частей – это синглеты, а  частей – т.н. полностью смешанное состояние, тождественное единичному оператору:

.                                   (13.22)

Именно в таком виде это состояние было определено Вернером. В представлении (13.21) фигурирует величина F, которая является качеством (fidelity) или чистотой состояния по отношению к идеальному синглету:

.                                                                                       (13.23)

Действительно, доля чистых синглетов в (13.21) составляет , а доля синглетов в единичном операторе составляет . Итого в состоянии Вернера имеется  синглетов, из которых чистых - ровно x.

Найдем, например, перепутывание создания для состояния Вернера W_5/8.

.                                  (13.24)

Это состояние представляет собой 5/8 на  3/8 – синглет-триплетную смесь. Его можно приготовить, смешав равные порции синглетов и случайных некоррелированных спинов. На языке поляризаций – это равновзвешенная смесь синглетных пар и некоррелированных по поляризации пар частиц. Другими словами – состояние (13.24) получается при прохождении пары фотонов синглетном состоянии через 50%-ый зашумленный канал. (т.е. который каждую вторую коррелированную по поляризации пару делает некоррелированной).

Замечание. Вообще, по определению х-деполяризующим каналом связи называют такой канал, который пропускает входное состояние с вероятностью  и заменяет его полностью случайными кубитами с вероятностью х.

Состояние Вернера (13.24) замечательно тем, что чистое перепутанное состояние может быть выделено из него с помощью двусторонних протоколов, но не может быть выделено с попощью односторонних протоколов

Видно, что для приготовления смешанного состояния W_F=5/8 необходимо  чистых синглетов; эта величина непосредственно входит в определение состояния Вернера. Казалось бы, что величина перепутывания создания составляет 0.5x1=0.5 пебит, поскольку на чистый синглет (максимально перепутанное состояние приходится по 1 пебиту). Однако численный расчет, производящий минимазацию по всем возможным ансамблям, составляющим состояние W_5/8 дает значение 0.117 пебит! Это значение дает смесь четырех чистых состояний с одинаковой вероятностью. Это означает, что равновероятная смесь чистых состояний, дающих W_5/8, более экономична.

Очищение перепутывания.  (entanglement purification).

Под очищением перепутывания понимают асимптотическое создание (выделение) произвольного числа чистых синглетов, которые могут быть приготовлены локально из смешанного состояния М.

 - является одной из главных алгоритмических задач теории квантовой информации. Кратко рассмотрим два основных протокола.

Наиболее мощный протокол – двустороннего обмена классическими сообщениями.

На рис. 4 показана схема протокола. Алиса и Боб имеют распределенное двухчастичное перепутанное смешанное состояние , состоящее из n перепутанных пар частиц. Каждая пара описывается матрицей плотности М. Протокол состоит в повторении трех операций:

Алиса и Боб выполняют унитарные преобразования над имеющимися у них состояниями (частицами);

Алиса и Боб выполняют измерения некоторых имеющихся у них частиц;

Алиса и Боб обмениваются результатами своих измерений. Они используют эту информацию для выбора следующего унитарного преобразования, которое они должны выполнить на следующем этапе.

Видно, что в этом протоколе приходится жертвовать некоторыми частицами, в то время как оставшиеся частицы переводятся в чистое максимально перепутанное состояние, например, в  т.е. тензорное произведение m синглетов, причем .

 Протокол одностороннего обмена классическими сообщениями.

Версия этого протокола показана на рисунке 5. Здесь участникам протокола разрешается выполнять лишь одно действие, состоящее в унитарной операции и измерении, сопровождаемым классическим, односторонним сообщением. Алиса выполняет унитарное преобразование U₁ и измерение Mes. Затем, она посылает результат измерения в виде классического сообщения Бобу. Боб использует этот результат в комбинации с результатом своего измерения для контроля за окончательным унитарным преобразованием U₃. Главное преимущество этого протокола состоит в том, что компоненты итогового очищенного максимально перепутанного состояния (обозначенного звездочкой *) могут быть разнесены и в пространстве, и во времени!

Замечание. Иногда под очищением “purification” понимают процедуру, в которой увеличивается чистота состояния, т.е. уменьшается энтропия. Этот случай не относится к рассмотренной процедуре выделения чистых синглетов из смешанного состояния. Под энтропией здесь понимается мера чистоты состояния - энтропия матрицы плотности :

,                                                                                                     (S)

где  - собственные значения матрицы плотности

Замечание. Distillation = purification = дистилляция = очищение– это увеличение перепутывания состояния в смысле выделения синглетов. Иногда под Distillation понимают увеличение степени перепутывания состояния.

Определение. Concentration  - это одновременное увеличение чистоты и перепутывания состояния. Изначально вводилось только для чистых перепутанных состояний вида (13.3)

Условно эти процессы манипуляций с перепутыванием можно изобразить в виде таблицы (Рис.5)

Критерий Переса-Хородецки.

Для того чтобы использовать перепутывание в протоколах квантовой информации, необходимо иметь их в чистой (например, синглетной) форме. Процедура преобразования смешанного перепутанного состояния  в синглетную форму называется дистилляцией или очищением (локальные операции + классические сообщения).

Смешанное состояние квантовой системы, состоящей из двух подсистем, является перепутанным, если оно несепарабельно, т.е. его нельзя записать в виде:

                      (А1)

где  - (смешанные) состояния двух подсистем.

Замечание. Часто говорят, что сепарабельные состояния являются “распутанными” (disentangled).

А.Перес доказал, что необходимым условием сепарабельности двух подсистем, состоит в том, что некая дополнительная матрица , полученная путем частичной перестановки индексов в , имеет только неотрицательные собственные значения. Физический смысл критерия состоит в том, что он более чувствителен для распознавания (квантовой) несепарабельности, чем неравенства Белла.

В полном виде матрица плотности двухкомпонентной системы имеет вид:

                                                                                              (А2)

Здесь латинские индексы относятся к подсистеме А, а греческие – к подсистеме В.

Замечание – напоминание. Прямым произведением двух матриц размерностью 2х2 называется матрица размерности 4х4:

Такая матрица плотности описывает, в частности, совместное состояние двух кубитов:

Замечание. Выражение (А2) напоминает таковое для классической функции Лиувилля, где дискретные индексы заменены на канонические переменные q и p. Однако функция Лиувилля должна быть неотрицательной, а мы требуем от матрицы плотности лишь неотрицательных собственных значений, что является более мягким условием.

Определим новую матрицу:

                                                                                                        (А3)

где латинские индексы в  были переставлены (матрица транспонирована), а греческие – нет. Такое преобразование не является унитарным, тем не менее, матрица  - эрмитова. Если условия А1(или А2) выполняются, то

                                                                                          (А4)

Поскольку транспонированные матрицы  -это неотрицательные матрицы с единичным следом, то они также могут выступать как матрицы плотности. Отсюда следует, что ни одно из собственных значений  не может быть отрицательным. Это необходимое условие выполнения А1.

Пример. Рассмотрим пару частиц со спином 1/2 в состоянии Вернера, состоящем из части х синглетов и случайной части (1-х). Мы помним, что в случайной части

(1-х) также присутствует равновероятная доля синглетов наряду с триплетами:

.                       (А2)

Оказывается, что дополнительная матрица  имеет четыре собственных значения: три из них вырождены и равны , а четвертое равно . Наименьшее собственное значение положительно, если

                                                                                                            (А3)

тогда условие сепарабельности выполняется. Этот результат можно сравнить с другим условием – выполнение неравенства Белла для тех же состояний. Оказывается, что неравенство Белла выполняется, если

.                                                                                                        (А5)

 Это условие, очевидно, гораздо менее строгое, чем то, которое дается условием несепарабельности.

Таким образом, состояние может быть несепарабельным, но в то же время не нарушать неравенств Белла.

Замечание. В рассмотренном случае состояний Вернера условие  также является достаточным условием сепарабельности – т.е. если , то возможно записать  как смесь неперепутанных состояний. Этот результат предполагает, что необходимое условие, полученное выше (неотрицательность собственных значений матрицы )может также быть достаточным для любого состояния . Для систем с размерностью выше 2Х2 необходимое условие сепарабельности не является достаточным.

Можно показать (Хородецки 1997), что любое несепарабельное двух-кубитовое состояние представляет собой перепутанное состояние, которое может быть дистиллировано в синглетную форму.

Это утверждение оправдывает с операциональной точки зрения введение термина “(не)сепарабельность”.

Казалось бы, что из этого утверждения можно высказать гипотезу о том, что

«любое несепарабельное состояние можно дистиллировать в синглетную форму».

Оказывается, что это не так! Существуют несепарабельные состояния, которые нельзя очистить.

Любое состояние, которое может быть очищено должно нарушать критерий сепарабельности А.Переса. Дело в том, что существует два качественно разных типа перепутывания. Первый из них – «свободное » перепутывание, т.е. такое, которое может быть очищено в синглетную форму. Второй тип перепутывания – невозможно очистить. Его можно рассматривать по аналогии с термодинамикой как «граничное » перепутывание. Его нельзя использовать для выполнения «информационной работы», т.е. как подходящий ресурс для передачи квантовых данных или телепортации.

Состояния Белла. Их преобразования при смене базисов.

Под состояниями Белла понимают совместные двухмодовые состояния двухуровневых систем. Иногда их рассматривают как собственные состояния некого оператора, названного оператором Белла. Можно показать, что существует лишь четыре базисных ортогональных состояния, по которым можно разложить любую двухмодовую двухуровневую систему. Выпишем эти состояния, применительно к системе двух одинаковых фотонов в линейном поляризационном базисе (аналогично записывается состояние двухмодовой системы двух одинаковых частиц со спином 1/2):

,                                                                            (13.25)

,                                                                           (13.26)

,                                                                            (13.27)

.                                                                            (13.28)

Видно, что состояния Белла являются максимально перепутанными состояниями, поскольку определенным совместным волновым функциям не отвечают определенные волновые функции отдельных систем. Термин “максимально перепутанный” формально возникает из-за условия нормировки, когда общее состояние представляется равновесовой суперпозицией двух компонент.

По иронии судьбы состояния Белла, впервые введенные в 1992 году А.Мэнном, М.Ривзеном и У.Шлейчем, по смыслу являлись прямо противоположными тем, которые широко используются в настоящее время (25-28). Изначально они определялись, как чистые квантовые состояния квантованного поля излучения, которые обладают фундаментальными атрибутами классических состояний (т.е. не приводят к квантовым корреляциям), и факторизуются на выходе светоделителя, а значит, никогда не нарушают неравенств Белла.

            Рассмотрим, к примеру, состояние (индексы 1,2 будем опускать там, где это не ведет к непониманию). Оно означает, что и сигнальный и холостой фотоны всегда имеют оба либо вертикальную, либо горизонтальную поляризации, причем вероятность зарегистрировать Н- или V- поляризацию в каждой моде одинакова и равна 1/2. Другими словами, при совершенно неопределенной поляризации в каждой из мод, существует полная корреляция одинаковых поляризаций двух мод.

Рассмотрим преобразования состояний Белла при смене поляризационного базиса. Для этого перепишем их в более общем виде:

,                                                                           (13.29)

,                                                                           (13.30)

где В и C обозначают две частицы, x и y - компоненты линейного поляризационного базиса, а запись  означает двукратное действие соответствующих операторов рождения на вакуум: . Пусть при произвольном преобразования поляризационного базиса  его компоненты определяются элементами матрицы преобразования

, ,                                                                                    (13.31)

 т.е. в матричном виде , и . Комплексные параметры t и r можно интерпретировать как коэффициенты пропускания и отражения, а матрицы являются эрмитово-сопряженными . Тогда, компоненты базисов преобразуются следующим образом:

,                                                         (13.32)

.                                                        (13.33)

После простых алгебраических вычислений получаем:

,                                                                                   (13.34)

,                                   (13.35)

,        (13.36)

.        (13.37)

Видно, что только одно (синглетное) состояние Белла инвариантно при произвольных преобразованиях базиса. ботах рассмотрены некоторые интересные особенности специфических поляризационных преобразований состояний Белла[1] и предложена экспериментальная процедура томографии таких состояний.

Частным случаем преобразований является поворот линейного базиса на угол . Матрица D описывает поворот координат, если . Пусть a и b  - декартовы оси нового базиса. Тогда

,                                            (13.38)

.                                                                        (13.39)

.                                                                        (13.40)

.                                             (13.41)

Замечательно, что при этом типе преобразований появляется еще один инвариант  - состояние  (25), а два других преобразуются друг в друга при ориентации .

Приложение

Матрица плотности состояний Белла.

Формально вычисление матрицы плотности системы двух кубитов происходит следующим образом.

.

Тогда М.П. имеет вид:

После перемножения получается 16 слагаемых при проекционных операторах, которые и являются компонентами М.П. Если принять следующие обозначения:

,

то М.П. примет окончательный вид:

 

Теперь нетрудно вычислить матрицы плотности немаксимально перепутанных чистых состояний:

 

Для максимально перепутанных состояний (Белла):

,      

Энтропия таких состояний выражается соотношением (S):

Собственные значения  вычисляются как корни характеристического уравнения. Например, для состояния  это уравнение:

,

которое имеет решения: . В силу нормировки:

.

Такие же собственные значения получаются и для других немаксимально перепутанных состояний.

Из последнего условия видно, что энтропия немаксимально перепутанных состояний равна нулю. Это представляется очевидным, поскольку речь идет о чистых состояний. Как показано на рис. 6 процедура discillation лишь увеличивает степень перепутывания, сохраняя энтропию (т.е. чистоту состояния0.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Ch.Bennett, H.Bernstein, S.Popescu, B.Shumacher. Concentration partial entanglement by local operations. Phys.Rev.A, 53, 2046 (1996).

2. Ch.Bennett, D.DiVincenzo, J.Smolin, W.Wooters. Mixed-State entanglement and quantum error correction. Phys.Rev. A,54, 3824 (1996).

4.3. Энергия магнитного поля - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.

3. A.Peres. Separability Cryterion for Density Matrices. Phys.Rev.Lett. 77, 1413 (1996).

Michal Horodecki, Pavel Horodecki, Ryszard Horodecki. Separability of mixed states: necessary and sufficient conditions. Ph/9605038.

4. Michal Horodecki, Pavel Horodecki, Ryszard Horodecki. Mixed-state entanglement and distillation: is there a “bound” entanglement in nature?

5. R.T.Thew, W.Munro. Entanglement manipulation and concentration. Phys.Rev.A, 63, 030302 (2001).

6. A.G.White, D.F.V.James, P.H.Eberhard, and P.G.Kwiat, Non-maximally Entangled States: Production, Characterization and Utilization. LANL e-print quant-ph 99088081.

---

[1] Например, преобразование, в котором между x- и y-компонентами вносится задержка. Формально, такая процедура описывается матрицей D, у которой , где .