Параллельные соединения элементов r, L, C и мощность в цепи синусоидального тока

2.9 Параллельные соединения элементов r, L, C.

Для схемы рис. 2.11. составим уравнение по первому закону Кирхгофа для мгновенных значений:

                  (10)

Если  , то

(11)

Здесь

 - активная проводимость,

 - индуктивная проводимость.

Рекомендуемые материалы

Единица измерения проводимостей - сименс (Сим).

Векторная диаграмма токов приведена на рис. 2.12.

Уравнение (11) в комплексной форме:

         (12)

Здесь

 - комплексная проводимость или комплекс проводимости,

 - модуль комплекса проводимости

 - фаза комплекса проводимости.

Проводимости  образуют треугольник проводимости, рис. 2.13.

Комплексная векторная диаграмма токов для уравнения (12) приведена на рис. 2.14.

Пример 1.

Для схемы, приведенной на рис. 2.15.

Задано:

,

L=6,37  мГн, С=796  мкФ,    f=50 Гц,

, , 

Определить токи.

Решение.

Воспользуемся комплексным методом расчета. Запишем комплексы сопротивлений для каждой ветви:

,

.

Входное сопротивление цепи:

Входной ток:

Определим токи  и

Мгновенные значения токов запишем в виде:

Пример 2.

Для схемы рис. 2.11 определить сдвиг по фазе между входным током и напряжением, если  Ом, Ом,  Ом.

Решение:

комплекс тока:

Фаза напряжения принята за ноль, а фаза тока получилась равной . Сдвиг по фазе между током и напряжением .

2.9.1. Мощность в цепи синусоидального тока. Комплексная мощность.

Пусть в цепи рис. 2.7 ток равен  .Мгновенное напряжение будет сдвинуто по отношению к току на угол , отличный от 0 и .Мгновенная мощность для этой цепи примет вид:

(13)

Выразим сопротивления r  и  через модуль сопротивления Z :

,       ,             (14)

Подставим (14) в (13), получим

Временные диаграммы i(t), u(t), p(t) приведены на рис. 2.16.

Мощность p(t) имеет постоянную составляющую, т.е. среднюю мощность, или активную мощность:

и переменную составляющую. Амплитуда переменной составляющей  называется полной мощностью, измеряется в вольт-амперах, (ВА).

Мощности P и S связаны по закону треугольника мощностей, рис 2.17.

Третья составляющая в этом треугольнике – мощность реактивная .

Реактивная мощность измеряется в вольт-амперах реактивных,().Полезная мощность измеряется ваттметром.

Пример.

График мгновенной мощности p(t) приведен на рис. 2.19.

Максимальное и минимальное значения мощности соответственно равны 800 и 200 ВА. Определить полную активную и реактивную мощности цепи.

Решение:

Размах значений мощности 1000 ВА, амплитудное значение 500 ВА, это полная мощность S. Среднее значение мощности P=800-500=300 Вт. Реактивная мощность .

Отношение активной мощности к полной (рис. 2.17) равное косинусу угла сдвига фаз между напряжением и током, называется коэффициентом мощности

Для лучшего соотношения между мощностью электрической машины и других приборов и их габаритными размерами коэффициент мощности стремятся сделать максимально возможным.

Высокий коэффициент мощности желателен для уменьшения потерь при передаче энергии по линиям.

Рекомендуем посмотреть лекцию "Походы Святослава и геополитические задачи".

Чтобы выразить мощность через комплексы токов и напряжений воспользуемся следующим соображением.

Пусть заданы комплексы и  .

Активная мощность должна быть равна, где .

Отсюда следует, что при определении комплекса мощности фаза тока должна быть взята с обратным знаком, т.е. комплекс тока должен быть заменен на сопряженный.

Полная комплексная мощность