Моменты инерции тела относительно параллельных осей. Теорема Гюйгенса
Моменты инерции тела относительно параллельных осей. Теорема Гюйгенса.
Моменты инерции данного тела относительно разных осей будут, вообще говоря, разными. Покажем, как зная момент инерции относительно какой-нибудь одной оси, проведенной в теле, найти момент инерции относительно любой другой оси, ей параллельной.
Рис.35
Проведем через центр масс С тела произвольные оси Cx'y'z', а через любую точку О на оси Сх' - оси Oxyz, такие, что Оy½½Сy', Oz½½Cz' (рис. 35). Расстояние между осями Cz' и Оzобозначим через d. Тогда
Бесплатная лекция: "1.3 Традиционная и современная культуры" также доступна.
но, как видно из рисунка, для любой точки тела или , а . Подставляя эти значения , в выражение для и вынося общие множители d2 и2d за скобки, получим
В правой части равенства первая сумма равна Icz', а вторая - массе тела М. Найдем значение третьей суммы. На основании формул для координат центра масс .Так как в нашем случае точка С является началом координат, то xC = 0 и, следовательно, . Окончательно получаем:
Формула выражает следующую теорему Гюйгенса:
Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями.