Система сходящихся сил. Способы нахождения равнодействующей системы сходящихся сил
§ 3. Система сходящихся сил. Способы нахождения равнодействующей системы сходящихся сил
Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называется системой сходящихся сил.
Система сходящихся сил либо приводится к равнодействующей, либо находится в равновесии.
Теорема. Равнодействующая системы сходящихся сил равна векторной сумме этих сил.
Действительно, пусть к абсолютно твердому телу приложена система сил F1, F2, ..., Fn, линии действия которых пересекаются в некоторой точке О (рис. 9). Мы могли бы складывать последовательно эти силы по аксиоме о параллелограмме сил. Однако этот путь очень длинен. Пользуясь правилом геометрического сложения векторов, сразу построим многоугольник сил F1, F2, ...,Fn, замыкающая сторона которого и будет равнодействующей силой R.
Изложенный способ определения равнодействующей является геометрическим. Однако равнодействующую силу R можно определить и аналитически, по проекциям на неподвижные оси декартовой системы координат, выбрав за начало координат точку О пересечения линий действия системы сходящихся сил.
Равновесие системы сходящихся сил.
Рекомендуемые материалы
Условия равновесия системы сходящихся сил
Если система сходящихся сил находится в равновесии, механическим условием равновесия является равенство нулю равнодействующей силы. Получим
или R = 0
Так как векторная сумма сил равна нулю, то многоугольник сил является замкнутым (начало первого вектора силы и конец последнего совпадают).
Таким образом, при равновесии системы сходящихся сил многоугольник сил является замкнутым (условие равновесия в геометрической или графической форме).
В аналитической форме условия равновесия системы сходящихся сил заключаются в следующем.
Если пространственная система сходящихся сил находится в равновесии, то алгебраическая сумма проекций этих сил на каждую из трех координатных осей должна равняться нулю (на две оси, если система сходящихся сил расположена на плоскости).
Поскольку в случае равновесия указанной системы сил их равнодействующая равна нулю (R = 0), то равны нулю и ее проекции на оси координат, т. е. Rх = 0, Rу = 0, Rг = 0. На основании (1.10) получим
Для плоской сходящейся системы сил имеем
Условия (1.13) и (1.14) в аналитической форме называются также уравнениями равновесия. Для статической определенности задачи число неизвестных не должно превышать числа уравнений равновесия.
|
Момент силы относительно точки и оси. Главный вектор и главный момент. Пара сил. Момент силы относительно точки
Моментом силы относительно точки называется векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на силу. Итак, по определению (рис. 12),
Обозначая длину перпендикуляра, опущенного из центра момента на линию действия силы, через h (величину h в дальнейшем будем называть плечом), можно модуль вектора Мо (F) представить в виде произведения Fh, т. е.
|М0(F)| =М0(F) = Fh.
Таким образом, момент силы относительно точки — это вектор, направленный перпендикулярно к плоскости, содержащей силу и точку, в ту часть пространства,.
Для аналитического определения момента силы относительно точки выберем произвольную систему координат Оxyz с началом в точке О (рис. 13) и обозначим проекции радиуса-вектора г и силы F на координатные оси Оx, ОY, Оz, соответственно через х, у, z и X, У, Z. Заметим, что проекции х, у, z радиуса-вектора г точки приложения силы одновременно означают координаты этой точки. Тогда, спроектировав обе части векторного равенства (1.15) на оси координат, получим выражение момента силы относительно точки в аналитической форме в виде трех его проекций на координатные оси:
,
.
Теорема о моменте равнодействующей системы
сходящихся сил (теорема Вариньона)
Момент силы относительно оси
Моментом силы относительно оси называется проекция на ату ось момента силы относительно произвольной точки на оси. Момент силы F относительно оси Оz обозначается через Мz (F). Таким образом,
М
Момент силы относительно оси, как будет показано в динамике, является физической величиной, характеризующей вращательное движение твердого тела.
Согласно определению, моменты силы относительно координатных осей выражаются величинами (1.18), т. е. соответственно равны проекциям
М МУ(F) = zХ -хZ; М
Укажем практический способ определения момента силы относительно оси.
Главный вектор и главный момент системы сил
Главным вектором R системы сил F1,F2 … , Fn называется векторная сумма этих сил, т. е.
R=
Таким образом, главный вектор системы сил можно определить геометрически с помощью многоугольника сил.
Аналитически главный вектор определяется тремя своими проекциями на координатные оси;
R
R
R
Главным моментом Мо системы сил F1: F2, ..., Fn относительно точки называется векторная сумма моментов этих сил относительно этой точки, т. е
M
Таким образом, главный момент системы сил относительно точки можно определить геометрически с помощью многоугольника моментов этих сил относительно данной точки.
Аналитически главный момент относительно точки определяется тремя своими проекциями на координатные оси:
M
M
M
или
; ;
Заметим, что понятия главного вектора и равнодействующей системы сил не тождественны. Как мы увидим в следующей главе, не всякая система сил имеет равнодействующую. Если же система сил и приводится к равнодействующей, то последняя, хотя геометрически и равна главному вектору, но имеет вполне определенную линию действия, в то время как главный вектор (также и главный момент) является свободным вектором.
В лекции "3. Архитектура операционной системы" также много полезной информации.
Пара сил
Парой сил называется система двух параллельных сил, равных по величине, направленных в противоположные стороны и приложенных к твердому телу.
Пара сил может быть ориентирована положительно (против часовой стрелки в правой системе координат) и отрицательно (по часовой стрелке в левой системе координат). Очевидно, что с переходом от правой системы координат к левой ориентация пары сил изменяется на противоположную. Кратчайшее расстояние Н между линиями действия сил пары называется ее плечом.
Главный вектор пары сил равен нулю. Пусть силы F и —F пары приложены соответственно в точках А и В. Определим главный момент пары сил относительно какой-либо точки О. Главный момент пары сил не зависит от выбора центра моментов; он обозначается М и называется моментом пары сил:
1 М0 = М = В А х F.
Итак, момент пары сил — это свободный вектор, по модулю равный М = Fh и направленный перпендикулярно плоскости ее действия так, чтобы с вершины этого вектора пара сил была ориентирована положительно.