Геометрические характеристики плоских сечений

1.2 Геометрические характеристики плоских сечений

Геометрические характеристики – числовые величины (параметры), определяющие размеры, форму, расположение поперечного сечения однородного по упругим свойствам деформируемого элемента конструкции (и, как следствие,

характеризующие сопротивление элемента различным видам деформации).

Площадь поперечного сечения

 - площадь поперечного сечения. Размерность  м².

Статические моменты

 - статический момент относительно оси х,

 - статический момент относительно оси y.

Рекомендуемые материалы

Статический момент относительно данной оси – сумма произведений элементарных площадей dA на их расстояние до данной оси, взятая по всей площади сечения А.

На основании теоремы Вариньяна (из курса теоретической механики) следует, что

,      ,                 (1.4)

а для сложного сечения (состоящего из нескольких простых, каждое из которых имеет площадь А_i и координаты собственного центра тяжести y_ci , x_ci)

, .                               (1.5)

Статический момент относительно какой-либо оси равен произведению всей площади фигуры на расстояние от ее центра тяжести до этой оси.

Размерность статических моментов площади  м³. Статические моменты площади могут быть положительны, отрицательны  и равные нулю. Оси, относительно которых статические моменты площади равны нулю, называются центральными осями (это две взаимноперпендику-лярные оси, проходящие через центр тяжести поперечного сечения).

         Осевые моменты инерции

 - осевой момент инерции относительно оси х,

 - осевой момент инерции относительно оси y.

Осевой момент инерции относительно рассматриваемой оси – сумма произведений элементарных площадей dA на квадрат их расстояний до этой оси, взятая по всей площади сечения А.

Осевые моменты инерции имеют размерность  м⁴ и всегда положительны

Центробежный момент инерции

 - центробежный момент инерции.

Центробежный момент инерции относительно осей координат – сумма произведений элементарных площадей dA на их расстояния до этих осей, взятая по всей площади сечения А.

Центробежный момент инерции имеют размерность  м⁴ и  может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными центральными осями.

Главные центральные оси  – это оси, осевые моменты инерции относительно которых принимают свои экстремальные значения (максимум и минимум).

Полярный момент инерции

                                                                                    (1.6)

.                   (1.7)

Полярный момент инерции относительно данной точки – сумма произведений элементарных площадей dA на квадраты их расстояний () до этой точки, взятая по всей площади сечения А.

Моменты сопротивления

Осевой момент сопротивления относительно рассматриваемой оси – величина равная моменту инерции относительно той же оси отнесенному к расстоянию до наиболее удаленной от этой оси точки

; .                                  (1.8)

Полярный момент сопротивления

                                                    (1.9)

Осевой и полярный моменты инерции имеют размерность м³.

Радиус инерции

Радиусом инерции сечения относительно некоторой оси, называется величина, определяемая из соотношения:

; .                                   (1.10)

Вычисление геометрических характеристик простых фигур

Прямоугольное сечение.

Определим осевой момент инерции прямоугольника относительно оси х.

Разобьем площадь прямоугольника на элементарные площадки с размерами b (ширина) и dy (высота). Тогда площадь такого элементарного прямоугольника (заштрихована)  равна . Подставляя значение dA в формулу для определения осевого момента инерции, получим:      

   (1.11)                                                                                                            

По аналогии запишем

.                                                (1.12)

Рекомендация для Вас - Выбор экономического критерия.

Круглое сечение

Сначала удобно найти полярный момент инерции. Затем, учитывая, что для круга , а , найдем .

Разобьем круг на бесконечно малые кольца толщиной d и радиусом ; площадь такого кольца . Подставляя выражение для площади кольца в выражение для  и интегрируя, получим:   Тогда

                                  (1.13)