- Кинематика течений жидкости
Тема 3
КИНЕМАТИКА ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ
1. Два подхода к описанию движения сплошной среды.
Переменные Эйлера и Лагранжа.
2. Траектория. Линия (поверхность) тока.
3. Кинематика вихрей. Циркуляция скорости.
Кинематикой называется раздел механики, изучающий движение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения без выяснения причин его возникновения. Все кинематические величины, характеризующие движение твёрдого тела и движение отдельных точек (расстояния, скорости, ускорения и т.д.), рассматриваются как функции времени.
3.1. Два подхода к описанию движения сплошной среды.
Переменные Эйлера и Лагранжа
Рекомендуемые материалы
Для описания движения сплошной среды возможны два подхода. Один из них называется лагранжевым, другой - эйлеровым.
Лагранжев метод описания движения относится к типу отсчётных. В некоторый (начальный) момент времени t0 каждая из жидких частиц маркируется путём присвоения ей значения координат в данный момент времени.
В трёхмерном пространстве введём обозначения
.
В дальнейшем прослеживается движение каждой частицы индивидуально. При таком подходе положение частицы в каждый момент времени 
будет зависеть от параметров a, b, c и t, которые называются переменными Лагранжа. Можно записать, что вектор положения жидкой частицы равен
.
Скорость жидкой частицы выразится через производную радиус-вектора
,
а ускорение через производную скорости
.
В последних двух формулах при дифференцировании параметры a, b, c являются постоянными, 
и 
являются только функционалами времени и в этом случае энергии дифференцирования 
и 
тождественны.
Эйлеров метод описания движения относится к типу пространственных. В каждой точке пространства с координатами x,y,z изучаются параметры движения в различные моменты времени t. Таким образом, скорость жидкости в различных точках пространства должна быть функцией четырёх переменных x, y, z, t , называемых переменными Эйлера,
,
а её дифференциал
.
В движущейся среде приращения 
не являются независимыми, а соответственно равны
.
Поэтому справедливо равенство
,
где 
.
Это означает, что полное ускорение 
индивидуальной жидкой частицы, находящейся в момент времени t в точке пространства с координатами x,y,z, состоит из двух частей: локального ускорения 
, обусловленного изменением скорости во времени в данной точке, и конвективного ускорения
, обусловленного неоднородностью поля скоростей в окрестности данной точки и связанного с этим обстоятельством конвективного переноса.
Производная носит название индивидуальной или субстанциональной производной.
Если =0, поле скоростей стационарно, однако это ещё не означает, что в жидкости отсутствуют ускорения. Стационарность или нестационарность поля скоростей зависит от выбора системы координат.
Если = 0, то поле скоростей однородно.
3.2. Траектория. Линия (поверхность) тока
Траекторией жидкой частицы называется геометрическое место точек пространства, через которое частица последовательно проходит во времени.
В переменных Лагранжа траекторию определяет уравнение
.
Если задача решена в переменных Эйлера, то известно поле скоростей 
и траекторию следует находить путём решения дифференциального уравнения
,
с начальным условием: при 
.
Линией тока называется линия, в каждой точке которой в каждый момент времени скорость направлена по касательной к этой линии.
В векторной форме условие тангенциальности можно записать в виде
.
В проекциях на оси координат получим систему уравнений
,
которую можно переписать также в виде
.
Время здесь является фиксированным параметром.
В стационарном случае траектория и линия тока совпадают. В нестационарных течениях траектории отличаются от линий тока.
Поверхность тока определяется как поверхность, в каждой точке которой в фиксированный момент времени вектор скорости лежит в касательной плоскости. Такую поверхность можно образовать, например, путём проведения через замкнутую кривую непрерывной совокупности линий тока. В этом случае говорят о трубке тока.
3.3. Кинематика вихрей
|
| Рассмотрим вектор вихря скорости, который определяется соотношением
называемый иногда вектором завихренности. Линии в потоке жидкости, в каждой точке которой вектор вихря скорости является касательным к данной линии, называются вихревыми линиями. Обобщение данного понятия на поверхность (вектор вихря в каждой точке поверхности должен лежать в касательной плоскости) даёт понятие вихревой поверхности или вихревого слоя. |
Рис. 10
Совокупность вихревых линий, проведенных через замкнутый контур, образует вихревую поверхность, а жидкость, заключённая внутри вихревой поверхности, - вихревую трубку.
Люди также интересуются этой лекцией: 37. Законы поглощения электромагнитного излучения.
Интенсивность вихревой трубки удобнее выразить через циркуляцию вектора скорости 
.
В общем случае Г определяется как
,
где 
- вектор перемещения вдоль произвольного контура, соединяющего точки А и В.
Если контур замкнут, то
.
