Лекция 10. Вероятностно-статические методы оценки

Вопросы лекции:

1. Сущность данных методов и область применения.

2. Регрессионный, корреляционный, дисперсионный, ковариационный анализ.

3. Метод применения временных рядов

Необходимо выделить следующие основные этапы построения вероятностно-статистической модели:

1) Постановочный этап. Он должен включать конечные прикладные цели моделирования, набор факторов, переменных, описание взаимосвязей между ними, роль этих факторов. Вообще эти факторы могут быть входными – то есть такие, которые легко поддаются регистрации и прогнозу; а также выходными – они обычно трудно поддаются непосредственному прогнозу, их значения формируются непосредственно в процессе функционирования моделируемой системы.

2) Априорный, предмодельный – он заключается в анализе сущности моделируемого явления, формировании и формализации имеющейся исходной информации об этом явлении, представлении её в виде гипотез и исходных допущений. Гипотезы должны быть подтверждены теоретическими рассуждениями о механизме изучаемого явления.

3) Информационно-статистический – здесь производится сбор необходимой информации о моделируемом явлении, представление её в удобном для использования виде.

Рекомендуемые материалы

4) Спецификация модели – включает в себя непосредственный вывод общего вида модельных отношений, которые связывают между собой входные и выходные переменные. Следует отметить, что на этом этапе будет определена лишь структура модели, её аналитическая запись.

5) Идентифицируемость и идентификация модели – здесь происходит статистический анализ модели с целью правильного внедрения в неё исходных статистических данных, которыми мы располагаем. Важно ответить на такой вопрос: «Возможно ли получить значения неизвестных параметров модели при имеющимся исходным статистическим данным, которые были получены на 4-ом этапе?» Это составляет так называемую проблему идентифицируемости модели. Если удаётся дать положительный ответ на поставленный вопрос, то необходимо уже решать проблему идентификации модели, то есть предложить и реализовать математически правильную процедуру оценивания неизвестных значений параметров модели по имеющимся статистическим данным. Если же проблема идентифицируемости модели не решается, то возвращаются к 4-му этапу и вносят необходимые коррективы в решение задачи спецификации модели.

6) Верификация модели – на этом этапе производится статистический анализ точности и адекватности модели. Для этого используются различные процедуры сопоставления модельных заключений, оценок, следствий и выводов с реально наблюдаемой действительностью. При неудачном характере этих экспериментов возвращаются к 4-ому этапу, а иногда и к 1-му.

Построение и анализ модели могут быть основаны только на априорной информации и не предусматривать проведение 3-его и 5-ого этапов. Тогда полученная модель не будет являться вероятностно-статистической (или эконометрической, если речь идёт о моделировании экономических закономерностей).

Адекватность и эффективность модели будут очень сильно зависеть от того, насколько глубоко и профессионально был проведён анализ реальной сущности изучаемого явления при формировании исходной информации. Дело в том, что при вероятностно-статистическом моделировании и, особенно, на этапе формирования априорной информации о физической природе реального механизма преобразования входных показателей в выходные кое-какая часть этого механизма остаётся скрытой от исследователя. Обычно эта часть в кибернетической терминологии носит название «чёрного ящика». Чем точнее исследовано реальное явление, тем меньше будет доля «чёрного ящика» в общей логической схеме моделирования и тем работоспособнее и точнее будет построена модель. «Вероятностно-статистическое моделирование, полностью основанное на логике “чёрного ящика”, позволяет получить исследователю лишь как бы мгновенную «статистическую фотографию» анализируемого явления, в общем случае непригодную, например, для целей прогнозирования».

Напротив, моделирование, которое опирается на глубокий анализ природы изучаемого явления, позволяет очень хорошо теоретически обосновать общий вид конструируемой модели, что позволяет производить по ней правомерные прогнозные расчёты. Модель, полученная таким образом, как правило, несколько хуже, чем предыдущая, аппроксимирует эмпирическую плотность, построенную по данной конкретной выборке. Однако в отличие от предыдущей модели, она одинаково хорошо может описывать характер распределения, наблюдаемого в различных выборках в одной и той же совокупности.

Может случиться так, что моделируемые значения выходных параметров будут сильно отличаться от тех, что получены в действительности, хотя 3-ий и 4-ый этапы проведены грамотно и аккуратно. Тогда причина плохих результатов может лежать в плохом соблюдении всех (или части) принятых при моделировании в качестве априорных допущений исходных предпосылок. Для решения нужно пересмотреть функционирование всех зависимостей, которые использовались при построении модели. Так же ошибка может быть результатом вынужденного упрощения плохо различимого механизма моделируемого явления. В этом случае следует усовершенствовать модельные допущения, что приведёт, естественно, к изменению модели.

Случайные процессы

Определение случайных процессов

«Случайным процессом называется семейство случайных величин  , заданных на вероятностном пространстве , где T – некоторое множество значений параметра».

Параметр t обычно обозначает время. Если этот параметр принимает дискретные значения (например, е=0,2,…), то X(t) – процесс с дискретным временем (случайная последовательность), если же t изменятся на некотором интервале, то X(t) - процесс с непрерывным временем. Таким образом, если случайные величины семейства принимают дискретные значения, то имеет место процесс с дискретными значениями, если же непрерывные – то с непрерывными значениями.

Пусть существует какая-либо физическая система S, которая с течением времени меняет своё состояние случайным образом. Тогда мы можем говорить, что в системе S протекает случайный процесс. Под «физической системой» можно понимать, например, какое-либо техническое устройство, целую группу таких устройств, отрасль промышленности, уровень инфляции и тому подобное. Большинству процессов, протекающих в окружающей нас жизни, свойственны, в той или иной мере, черты случайности, неопределённости.

Гораздо труднее будет придумать такой процесс, который полностью лишён случайностей. Даже такой процесс, как ход часов, не является неслучайным, так как возможны, например, уход их вперёд, отставание, остановка.

Таким образом, можно сделать вывод, что всем процессам в природе присущи случайные возмущения. На некоторые процесс она оказывают столь малое влияние, что ими можно пренебречь. Необходимость учёта случайностей возникает тогда, когда они прямо касаются нашей заинтересованности.

Марковские случайные процессы

«Случайный процесс, протекающий в системе, называется Марковским, если для любого момента времени t₀ вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент времени t₀ и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние».

На практике часто встречаются процессы, которые не совсем Марковские, но могут быть в каком-то приближении рассмотрены как Марковские. В сущности, любой процесс можно рассматривать, как Марковский, если все его параметры из «прошлого», от которых зависит «будущее», перенести в «настоящее». Марковские процессы в чистом виде обычно не встречаются, однако очень часто можно встретить процессы, «предысторией» которых вполне можно пренебречь.

В исследовании операций также большое значение имеют Марковские случайные процессы с дискретным состоянием и непрерывным временем. При этом его элементы могут принимать различные состояния S₁,S₂,…,S_m, и переход системы из одного состояния в другое происходит «скачком», практически мгновенно, а моменты возможных переходов этих состояний случайны, так что переход может осуществиться в любой момент времени.

Рассмотрим теперь случайный процесс с дискретным временем и дискретными значениями S₁,S₂,…,S_m, в которых находится элемент процесса. Например, каждый работник предприятия может находиться в одном из следующих состояний: S₁ – работает, S₂ – в командировке, S₃ – в отпуске, S₄ – болен.

В данном случае можно говорить о случайном процессе X(t), в котором X(t) принимает значения того состояния, в котором элемент процесса находится в момент времени t. Рассмотрим моменты t₁,t₂,…t_i,…; X_i=X(t_i) и X_i принимает значения S₁,S₂,…,S_m.

«Простейшим обобщением этого процесса с независимыми значениями является Марковский процесс, для которого

то есть вероятность попасть в состояние  в момент  зависит не от всего прошлого, а лишь от состояния  в котором процесс был в предыдущий момент времени ». Мы также можем получить матрицу P с элементами p_ij, которые являются вероятностями перехода из состояния i в состояние j.

Для современной экономики математическое моделирование, как дисциплина, очень популярна. Например, используя математическое моделирование можно осуществить проектирование, внедрение и сопровождение финансовых инноваций: новых финансовых стратегий, инструментов и процессов. Так, путём применяя математического аппарата исследования операций, разработана технология управления портфелем ценных бумаг в динамике в предположении, что изменение цен на бумаги от сессии к сессии описывается в виде Марковского процесса с дискретным временем и заданной глубиной памяти.

Что касается возможности применения данной конструкции на других рынках, то все определяется конкретной спецификой того или иного сегмента рынка. Впрочем, нет сомнений, что теория принятия решений всегда в состоянии предложить эффективные решения адекватно экономическому объекту, ставшему предметом ее изучения.

Регрессионный анализ

В исследовании экономических явлений очень часто имеющиеся данные могут быть как случайными, так и полностью известными, или если регрессия явно не прямая и тому подобное. В этих случаях всегда необходимо определять кривую, которая даёт наилучшее приближения к исходным данным, используя метод наименьших квадратов. Соответствующие методы приближения получили название регрессионного анализа.

Задачами регрессионного анализа являются установление форм зависимости между переменными, оценка функции регрессии, оценка неизвестных значений (прогноз значений) зависимой переменной.

Парная регрессионная модель

В регрессионном анализе  используются разные подходы анализа, оценок. Вначале рассмотрим парную регрессионную модель. В её основе рассматривается односторонняя зависимость случайной зависимой переменной Y от одной (или нескольких) неслучайной независимой переменной X, называемой часто объясняющей переменной. Такая зависимость может быть представлена в виде модельного уравнения регрессии. Также на парную регрессионную модель могут оказывать воздействие некоторые неучтённые случайные факторы. Из-за этого отдельные наблюдения y будут в большей или меньшей степени отклонятся от функции регрессии . В этом случае уравнение взаимосвязи двух переменных может быть представлено в таком виде:

,

где  – случайная переменная, которая характеризует отклонение функции от регрессии. Эту переменную также принято называть возмущением.

Таким образом, в регрессионной модели зависимая переменная Y есть некоторая функция  с точностью до случайного возмущения .

Нелинейная регрессия

Рассмотреть все соотношения и связи между социально-экономическими явлениями и процессами далеко не всегда удаётся выразить только линейными функциями из-за того, что могут возникать неоправданно грубые ошибки.

Очень важный этап анализа – это выбор вида уравнения регрессии, он носит название спецификации или этапом параметризации модели. Выбор производится на основании опыта предыдущих исследований, литературных источников, других соображений профессионально-теоретического характера, а также визуального наблюдения расположения точек корреляционного поля. Наиболее распространёнными считаются следующие виды уравнений нелинейной регрессии:

полиномиальные: ,

степенные: ,

гиперболические: .

Каждый из них имеет свои границы применения. Например, если исследуется какой-либо экономический показатель y, который зависит от объема продаваемых товаров x. У x есть  также два показателя: первый не зависит от x, а второй уменьшается с ростом x. Тогда зависимость y от x можно представить в виде гиперболы . Полиномы же используются, например, если экономический процесс имеет тенденции к постоянному ускорению или замедлению.

В ряде случаев для адекватного описания экономических процессов используются более сложные функции. Например, в начале процесс может развиваться очень быстро, а затем, по достижении определённого уровня, затухает и приближается к некоторому пределу. В этом случае полезными могут оказаться логистические функции, например .

Очень часто нелинейные связи возникают из-за объединения в одну совокупность объектов, разного качественного уровня. Например, объединение в одну совокупность предприятий различных отраслей, или же очень сильно отличающихся друг от друга, например по природным условиям. Здесь нелинейные зависимости возникают вследствие объединения разнородных единиц. Понятно. Что регрессионный анализ таких процессов не может быть эффективным. Поэтому любая нелинейность связей должна критически анализироваться.

Расположение точек корреляционного поля очень важно, но по нему далеко не всегда модно принять окончательное решение о виде уравнения регрессии. В этом случае бывает полезно сделать расчёты по двум или нескольким уравнениям. Предпочтение отдаётся уравнению, для которого меньше величина остаточной дисперсии. Однако при небольшом расхождении в остаточных дисперсиях следует выбирать более простые уравнения.

Весьма интересный приём заключается в использовании полинома для идеального приближения к функции. Можно подобрать полином таким образом, что он пройдёт через все вершины регрессии. Однако это может привести к неоправданному усложнению вида искомой функции регрессии, «когда случайные отклонения осреднённых точек неправильно истолковываются как определённые закономерности в поведении кривой регрессии». В связи с этим в практике регрессионного очень редко используются полиномы выше третьей степени.

Множественный регрессионный анализ

Экономические явления очень часто определяются большим числом одновременно и совокупно действующих факторов. В связи с этим возникает задача исследования зависимости зависимой переменной Y от нескольких переменных X₁,X₂,…,X_n. Эта задача решается с помощью множественного регрессионного анализа.

Для составления модели множественной регрессии необходимо обозначить i-е наблюдение переменной y_i, а объясняющих переменных – x_i1,x_i2,…,x_ip. Тогда модель можно представить в таком виде:

где i=1,2,…,n, а  является случайным возмущением.

Если в модель включается много объясняющих переменных, это сильно усложняет получаемые формулы и вычисления. Поэтому целесообразным является использование матричных обозначений. Это облегчает как теоретические концепции анализа, так и необходимые расчётные процедуры.

В случае применения в экономике подобных моделей всегда необходимо учитывать, что все входящие в модель факторы по-разному влияют на результат. Некоторые из них оказывают весьма существенное влияние, другие весьма незначительное. «К числу основных факторов при изучении экономического объекта относят обычно настоящий труд (или трудовые ресурсы в той или иной мере), прошлый труд (энергия, сырьё, материалы, оборудование, здания, сооружения и так далее)». Вместе с тем на экономические системы не могут не влиять и природные условия, поэтому в модели должны быть адекватно отражены и эти факторы.

Анализ временных рядов

Под временным рядом в экономике понимается последовательность наблюдений некоторой случайной величины X в одинаковые промежутки времени. Отдельные наблюдения называются уровнями ряда, которые обозначаются x_t (t=1,2,…,n), где n – число уровней.

Обычно при исследовании экономического временного ряда x_t выделяют несколько составляющих:

Рассмотрим все составляющие:

· u_t – тренд, плавно меняющаяся компонента, которая описывает влияние долговременных факторов. Например, экономическое развитие, изменение структуры потребления и тому подобное;

· v_t – сезонная компонента. Она показывает повторяемость экономических процессов в течении не очень длительного промежутка времени. Например, объём продаж товаров в различное время года;

· c_t – циклическая компонента. Она отражает повторяемость экономических процессов в течении длительных периодов времени. Например, влияние волн экономической активности Кондратьева;

· – случайная компонента, отражающая влияние не поддающихся учёту и регистрации случайных факторов.

Необходимо отметить, что в этой модели случайной является только компонента , в то время как другие являются закономерными, неслучайными.

Важнейшей классической задачей при исследовании экономических временных рядов является выявление и статистическая оценка основной тенденции развитии изучаемого процесса.

Основные этапы анализа временных рядов

· Графическое представление временного ряда, описание его поведения;

· выделение и удаление закономерных составляющих временного ряда (тренда, сезонных и циклических составляющих);

· сглаживание ряда, то есть удаление низко- или высокочастотных составляющих;

· исследование случайной составляющей временного ряда, построение математической модели для её описания, проверка адекватности;

· прогнозирование развития изучаемого процесса на основе имеющегося временного ряда;

· исследование взаимосвязей между различными временными рядами.

Наиболее часто применяемые методы анализа временных рядов: корреляционный и спектральный анализ, модели авторегрессии и скользящей средней.

Стационарные временные ряды

Отличие этих рядов заключается в том, что с течением времени, их вероятностные свойства не изменяются. Эти ряды применяются, например, при описании случайных составляющих анализируемых рядов.

Аналитическое выравнивание временного ряда

Очень важной задачей при исследовании экономического временного ряда является выделение основной тенденции изучаемого процесса. Эта тенденция выражается неслучайной составляющей f(t). Для решения этой задачи прежде всего необходимо правильно выбрать функцию f(t).

Некоторые виды:             линейная:

полиномиальная:

экспоненциальная:

логистическая:

Гомперца:

Выбор подходящей функции – это очень ответственный этап анализа. Нужно правильно установить характер динамики процесса, использовать визуальные наблюдения.

Для выявления основной тенденции чаще всего используется метод наименьших квадратов. Однако применение этого метода для оценки параметров экспоненциальной, логистической функций или функции Гомперца вызывает сложности, связанные с решением получаемой системы нормальных уравнений. Поэтому ещё до получения соответствующей системы, проводят преобразование функций, например, логарифмирование.

Другим методом выравнивания временного ряда является метод скользящих средних. В его основе лежит переход от начальных значений членов ряда к их среднем значении на определённом интервале времени. При этом сам выбранный интервал времени «скользит» вдоль ряда. Таким образом получается новый ряд скользящих средних, поведение которого более гладко, чем у исходного ряда. Для усреднения могут быть использованы средняя арифметическая, как простая, так и с некоторыми весами, медиана и другие методы.

Временные ряды и прогнозирование. Автокорреляция возмущений

Прогнозирование поведения временного ряда является очень важной задачей. Задача прогнозирования ставится следующим образом: имеется временной ряд y_t (t=1,2,…,n) и необходимо получить прогноз уровня этого ряда на момент . Временной ряд можно рассматривать как регрессионную модель изучаемого признака по переменной «время». Соответственно, к такой модели можно применять все те методы, которые используются при регрессионном анализе. Необходимо также отметить, что возмущения  (t=1,2,…,n) в регрессионном анализе есть независимые случайные величины с математическим ожиданием, равным нулю. А при работе с временными рядами такое допущение очень часто оказывается неверным.

Метод наименьших квадратов также даёт состоятельные оценки параметров при автокорреляции возмущений, однако интервальные оценки могут содержать грубые ошибки. Если автокорреляцию возмущений удаётся выявить, то следует выбрать более удачную функцию тренда, пересмотреть набор включённых в него переменных и тому подобное.

            Достаточно надёжным и простым критерием по определению автокорреляции возмущений является критерий Дарбина-Уотсона. С его помощью можно узнать о наличии или отсутствии автокорреляции между соседними остаточными членами ряда e_t и e_t-1, где  e_t выборочная оценка .

Временные ряды и оценка

Как уже говорилось временной ряд содержит как детерминированною, так и случайную составляющие. В оценке роль детерминированной составляющей играет, например, результирующий показатель, который может представлять собой объём производства, который обуславливается общей тенденцией экономического роста, научно-техническим прогрессом и затратами экономических ресурсов. На этот результат кроме экономических факторов могут оказывать влияние и природные, поддающиеся предсказанию, факторы. «Например, солнечная активность оказывает влияние на урожайность сельскохозяйственных культур с периодичностью 11,2 года».

Что касается случайной составляющей, то она аккумулирует влияние множества не включённых в детерминированную составляющую факторов, каждый из которых оказывает небольшое влияние на результат.

Основной задачей анализа временного ряда в оценке является выделение детерминированной и случайной составляющих, а также оценка их характеристик. Получив эти оценки, можно очень успешно решать задачи прогноза будущих значений как самого временного ряда так и его составляющих.

Таким образом можно сказать, что временные ряды в оценке очень успешно применяются, например, для прогнозирования экономических процессов (курсы валют, акций, экономического роста, долей спроса и предложения на различны товары и так далее).

Корреляционный анализ используется для определения сте­пени линейной взаимосвязи между случайными величинами (корреляция — зависимость между случайными величинами, выражающая тенденцию одной величины возрастать или убы­вать при возрастании или убывании другой).

Основными задачами корреляционного анализа являются оценка корреляционных характеристик и проверка статисти­ческих гипотез о степени (значимости) связи между случай­ными величинами.

Корреляционной характеристикой является коэффициент корреляции, равный математическому ожиданию произведе­ний отклонений случайных величин x_t и х_} от своих математи­ческих ожиданий и нормированный относительно среднеквад-ратических отклонений данных случайных величин.

Если число случайных величин больше двух (г > 2), то со­ставляется квадратная корреляционная матрица размером (г х г), элементами которой является коэффициенты корреляции kj , a диагональные элементы равны единице (т.е. кц = 1). Коэффици­енты корреляции изменяется от нуля до единицы, и чем больше его значение, тем теснее связь между случайными величинами.

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - Лекция 9.

Оценка коэффициентов корреляции рассчитываются по значениям оценок математических ожиданий и среднеквадратических отклонений, полученных путем статистической об­работки результатов реализаций случайных величин.

Дисперсионный анализ используется для проверки стати­стических гипотез о влиянии на показатели качественных факторов, т.е. факторов, не поддающихся количественному измерению (например, качественный фактор — организация производства, влияющий на количественный показатель — прибыль от производства). В этом заключается его отличие от регрессионного анализа, в котором факторы выступают как параметры, имеющие количественную меру (например, коли­чественный фактор — затраты на производство).

В дисперсионном анализе качественный фактор представляется j-ми возможностями состояниями (например, возможными схемами организации производства), для оценки

которых по каждому из них проводится n_j экспериментов.

Далее рассчитываются статистические оценки в каждой n_j группе экспериментов и в общей выборке N, а затем анализируется соотношение между ними. По этому соотноше­нию принимается или отвергается гипотеза о влиянии качест­венного фактора на показатель.

Ковариационный анализ используется для создания и изучения вероятностных моделей процессов, в которых присутствует одновременно как количественные, так и качественные факторы, т.е. он объединяет регрессионные и дисперсионные факторы, первые из которых служат для проверки гипотез о значимости количественных факторов, а вторые – качественных.