Случайная величина, случайные и псевдослучайные числа, случайное блуждание

1. Случайная величина, случайные и псевдослучайные числа, случайное блуждание

Случайная величина это поддающаяся измерению скаляр­ная или векторная величина определённого физического смыс­ла, значения (компоненты) которой подвержены некоторому неконтролируемому разбросу при повторениях исследуемого эксперимента. Можно также сказать, что случайная величина  - это функция, определённая на множестве элементарных событий — , т. е. . Если случайная величина принимает конечное или счётное число по­парно различных значений х₁,х₂,...,х_п,... с вероятностями  то её называют дискретной. Случайная величина называется непре­рывной, если её функция распределения непрерывна.

В зависимости от своей природы, своего назначения одномер­ные дискретные величины подразделяются на количественные, ординальные (или порядковые) и номинальные (или классифи­кационные). Случайная количественная величина позволяет измерять степень проявления анализируемого свойства обследуемого объекта в определённой шкале. Случайная ординальная величина позволяет упорядочи­вать обследуемые в ходе случайных экспериментов объекты по степени проявления в них анализируемого свойства. Случайная номиналь­ная величина позволяет разбивать обследуемые в ходе случайных экспериментов объекты на не поддающиеся упорядочению одно­родные по анализируемому свойству классы. Примерами могут служить:

 - среднедушевой доход семьи (случайная количественная величина);

"2.0 Рождение Украинской металлургии" - тут тоже много полезного для Вас.

 - качество жилищных условий (например, с четырьмя града­циями - «плохое», «удовлетворительное», «хорошее» и «очень хорошее») - ординальная случайная величина;

 - профессия главы семьи - номинальная случайная величина.

Случайные числа могут рассматриваться как значения независимых одинаково распределённых случайных величин. Как правило, имеются в виду значения случайных вели­чин с равномерным распределением в промежутке (0, 1) или приближения к таким значениям, имеющие конечное число цифр в своём представлении. В таком узком смысле случайные числа (равномерно распределённые случайные числа) можно определить как числа, составленные из случайных цифр. Случайные цифры в m-ичной системе счис­ления являются результатами независимых испытаний с т равно­вероятными исходами (каждому исходу соответствует одна из т цифр и вероятность ). Для построения случайных чисел с некоторым за­данным распределением производится подходящее преобразова­ние равномерно распределённых случайных чисел.

Использование случайных чисел было связано с техникой случайного выбора в математической статистике и теории игр. Роль случайных чисел значительно возросла в связи с возникновением метода статистических испытаний. Источником случайных чисел первоначально служили результаты пере­писи населения, тиражные таблицы и другие таблицы чисел, полу­ченные экспериментальным путём (например, с помощью рулетки). Первые специальные таблицы случайных чисел были составлены в 1927 для процедуры случайного выбора при планировании эксперимента. Самая большая опубликованная таблица случайных чисел (1987) содержит 1 000 000 случайных цифр. В дальнейшем в связи с задачами моде­лирования на компьютере были созданы специальные экспериментальные устройства-датчики или генераторы случайных чисел. В настоящее время боль­шая часть расчётов по методу статистических испытаний на компью­тере производится с использованием так называемых псевдослучайных чисел - чисел, получаемых по какой-либо формуле (алгоритму) и имитирующих случайные числа в том смысле, что их свойства близки к свойствам случайных чисел. Последовательности псевдослучайных чисел  обычно получают на компьютере с помощью алгоритмов, среди которых наибольшее рас­пространение получил так называемый метод вычетов, например, в таком виде: , , . Получаемые последова­тельности псевдослучайных чисел имеют период, что существенно отличает их от пос­ледовательностей случайных чисел. Алгоритмы получения псевдослучайных чисел ещё недостаточ­но исследованы, но при расчётах на компьютере метод псевдослучайных чисел облада­ет рядом преимуществ, в частности свойства последовательности псевдослучайных чисел можно исследовать путём пробных вычислений, а все другие способы приводят каждый раз к новым последовательностям случайных чисел.

Случайное блуждание является математической моделью перемещения частицы в некотором пространстве под воздействием слу­чайных факторов. Чаше всего рассматривают случайное блуждание на прямой, порождённое суммированием независимых случайных величин  . При этом частица осуществляет скачки только в мо­менты времени п = 1,2,..., и положение частицы в момент  определяется величиной , , s_o=0. В простей­шем случае, когда , , s_n может интерпретироваться как суммарный выигрыш одного из игро­ков в п партиях, если каждая партия завершается выигрышем единицы с вероятностью р и проигрышем единицы с вероятнос­тью 1-р. Положение блуждающей частицы в момент п при боль­ших значениях п описывается законом больших чисел, централь­ной предельной теоремой.

При соединении отрезками прямых на координатной плоскости точек с координатами (n,s_n), , получается траектория случайного блуждания. Ряд задач математической статистики (последовательный анализ, критерии согласия Колмогорова, Колмогорова — Смирнова, задача о разладке), те­ории массового обслуживания, теории страхования, теории хранения запасов и др. приводят к изучению характеристик случайного блуждания, связанных с возможностью достижения траекторий границы некоторого множества (так называемые задачи для случайных блужданий). Примером такой задачи служит вычисление вероятности того, что до момента п вся траектория случайного блуждания находится ниже фиксированного уровня. Решение граничных задач, как правило, сопряжено со значительными трудностями. Среди других типов случайного блуждания — многомерные случайные блуждания, цепи Маркова.