Преобразование Фурье и обобщенные функции

Лекция 2. Преобразование Фурье и обобщенные функции

Вспомогательные утверждения

Лемма. Справедлива формула

      (1)

Доказательство. Хотя формула (1) хорошо известна, мы приведем ее доказательство, поскольку она является основой многих дальнейших выкладок. Рассмотрим контур, изображенный на рис.1

и интеграл по контуру в указанном направлении от аналитической функции . Имеем  , поскольку у функции нет особенностей внутри  области интегрирования. Здесь контур  - дуга окружности радиуса , а контур  - дуга окружности радиуса . Обе дуги имеют центр в начале координат. За исключением крайних точек, на контуре  выполнено неравенство , поэтому с ростом  интеграл по этому контуру стремится к 0. Интегралы по контурам  в сумме дают  . Найдем теперь интеграл по контуру  . Сделаем замену . В результате интеграл по этому контуру примет вид . Последняя оценка получена в результате разложения подынтегральной функции в ряд. Устремляя   к 0, завершаем доказательство.

Следствие 1.

Рекомендуемые материалы

при любом .

Доказательство проводится путем замены переменной

Следствие 2

.

Для любого

Доказательство. . Второе слагаемое стремится к 0 когда .

Из соображений симметрии вытекает формула

        (2)

Пример отыскания обобщенных функций

Под обобщенной функцией понимается непрерывный функционал. Примером такой функции является -функция.

Предложение 1. .

Доказательство. Очевидно, что обычное преобразование Фурье от 1 не существует. Положим . Не существует обычного предела у этой функции при . Найдем функционал . Если 0 не попадает в интервал интегрирования, подынтегральная функция не имеет особенностей, и весь интеграл стремится к 0. В противном случае, интеграл стремится к , где  произвольное малое положительное число. Второе слагаемое исчезает в силу симметричности, и при  получаем, используя (2), конечный результат.

Следствие 3. . Доказательство. Формально утверждение есть следствие общего правила:, но фактически надо доказать, что это правило распространяется и на обобщенные функции. Проще всего, дать прямое доказательство.

Производные от обобщенных функций

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 7 Место и роль философии в современной культуре.

Производная определяется путем формального применения интегрирования по частям с учетом компактности носителя функций из : . В качестве примера рассмотрим обобщенную функцию , заданную равенством:  и найдем производную от нее. Имеем . Это означает, что .

Замечание. Следует быть очень осторожным применяя к обобщенным функциям формулы, связывающие производную от функции и ее преобразование Фурье. В качестве примера рассмотрим отыскание преобразование Фурье от . Действуя формально, можем получить: , откуда . Теперь, исходя из определения, найдем правильный ответ. Положим  и подсчитаем . Если точка 0 не входит в интервал интегрирования, то интеграл стремится к , то есть ожидаемый результат. Если же точка 0 принадлежит интервалу интегрирования, то наряду с указанным слагаемым появится еще одно.

Второе слагаемое исчезает в силу симметрии, а из третьего слагаемого получаем -функцию. Окончательный результат выглядит так: . Отметим, что отсюда получается правильный результат для преобразования Фурье от функции, поскольку .

Замечание. Интеграл  существует в смысле главного значения для функции из . Это означает существование соответствующего функционала.

Задача 2. Дать строгое доказательство утверждения