Шум от квантования сигнала
Лекция 13. Шум от квантования сигнала.
Multiresolution - переменная разрешающая способность
Пусть справедливо дополнительное предположение: . Из включения
вытекает представление
, где
- ортогональное дополнение пространства
до пространства
. При сделанных предположениях пространство
,и любая функция
, где
. Последнее разложение интерпретируется как представление функции с нарастающей степенью детализации, которое и получило название Multiresolution. Если в качестве материнской функции выбрана функция
, базис пространства
составляют функции, полученные сдвигом из
Дискретный сигнал
Начиная с этого момента дальнейшее изложение ориентируется на компьютерную обработку сигнала. Основное отличие состоит в отсутствии понятия непрерывности, на котором базировался предыдущий материал.
Шум от дискретизации
|
В результате перехода от непрерывного сигнала к дискретному возникает искажение. Реальный сигнал . Здесь первое слагаемое - дискретный сигнал, а второе - ошибка. Пусть
- длина интервала между соседними дискретными значениями. Предположим, что для представления сигнала используются
битов, а весь интервал возможных значений входного сигнала это
. Тогда имеет место равенство
. В процессе дискретизации вместо самого сигнала берется ближайшее возможное дискретное значение. В силу этого,
. Согласно простейшей модели,
имеет равномерное распределение на интервале изменения, поэтому дисперсия
. Качество процедуры дискретизации определяется величиной
, где в числителе стоит дисперсия исходного сигнала. Заменяя
, получим
. На практике используется величина
и получается результат в децибелах. В нашем случае это
. Хороший уровень качества равен 90дБ, который достигается при B=16.
Дискретное преобразование Фурье
При машинной обработке вместо интеграла Фурье приходится пользоваться его приближением, подсчитанным с помощью конечной суммы. В результате возникают дополнительные эффекты, а теория дискретного преобразования Фурье становится самостоятельной дисциплиной.
Рассмотрим мерное пространство последовательностей длины
. Каждый элемент этого пространства имеет вид
где
- некоторая функция, принимающая комплексные значения. В этом пространстве рассмотрим набор векторов, составленный из последовательностей
, построенных по функциям
,
. В пространстве определено скалярное произведение:
. Имеет место равенство
. Это означает, что последовательности
составляют базис пространства. При этом для произвольной функции
, где
. Эти две формулы обычно записывают в виде
,
(1)
и называют дискретным преобразованием Фурье. Из последней формулы следует, что есть аналог значения преобразования Фурье исходной функции, вычисленного в точке
.
Связь ряда Фурье и дискретного преобразования Фурье
Рекомендуемые материалы
Пусть периодическая на функция задана формулой
Ещё посмотрите лекцию "Введение" по этой теме.
. Выберем
и найдем дискретное преобразование, используя значения функции в точках
. Легко видеть, что
равно
если
и 0 в противном случае. Отсюда следует, что коэффициент
в формуле (1), найденный по последовательности
, равен
. Этот эффект называют эффектом подмены частот, поскольку вместе с ожидаемой частотой в этот коэффициент вносят вклад и другие частоты
Преобразование вещественных последовательностей.
Если исходная последовательность вещественная, то в дискретном преобразовании Фурье присутствует избыточность, так как из вещественных чисел получается
вещественных чисел. Из определения следует, что
В этой связи рассматривают только коэффициенты (целая часть
).
В качестве примера рассмотрим . У нее два обычных коэффициента:
. Учитывая эффект подмены, получим, что дискретные коэффициенты это
. Согласно принятому соглашению, будет найден коэффициент с наименьшим индексом. Для того, чтобы с помощью дискретного преобразования найти истинную частоту
надо выбирать
. Поскольку значения истинных частот заранее не известны, сигнал нужно пропустить через фильтр низких частот, оставив лишь частоты из нужного диапазона.