ДЗ: Готовый типарь (8 вариант)

Распознанный текст из изображения:

Ъалжча Л2я1. Вычислить значение функции и оценить абсолютную и относительную

='.-"грефузности результата, считая, что значения исходных данных получены в результате

ффУ-У ф У У ПЛУ У У ~фГ

:но: Х=1,128

У = -2,45

К = Оу7

, "-...,, -) = 3~8(у') — 1п(5х — з) = — 2,46225

.5Х = 0,0005

ЛУ = 0,005

ЛЛ = 0,05

— ~~ ~,2), 21 + Лу+ Л =0,00051-- 5 бу 1

5х — з соз2 у2 5х — з

'.:. 9609+ 0,010129 = 0,090236

у='.! х.у.=) =-2,46225

х. у. =) = 0,090236/2,46225 = 0,036648

-:::фуь-.т: Г = — 2,462+ 0,090 = — 2,462. (1+ 0,037)

ж 0 0005 О 000443

1,1 28

уЯ' = ' = Оу002041

2.45

Ж = ' = 0,071429

0,7

У;(х) = .~3~ Б(х) =8.0,000443=0,00' 5(З

8/

у2Г,(у) = ~5~ у2(у) = 5.0.002041= 0,010204

оР5(я) = . уу(г) = 0,4 0,071429 = 0,028571

г

(у) + БР;(з) = 0 ООуу3~5 ~- О 010204+ О 028571 = 0 ОФО фуМфу

.~(х) =~х

82 з Б(у) =у' гу(г) = Мг

-"=''<.х.у.з) = ог,(х)+ БР;

;-;. —.) = ~ — 0 03759~. 0 ОжОутУ) = О 0015сзд'

:-.==;: К = — О 03759+ О 0015027= — О 03759. (1 + О 04 2Ю~у)

3

У' УУ52.В фу «у и 5 у * у У +1

,::"" ретузности результата, считая, что значения исходных данных получены в результате

::":кр =.пения. Ответ записать с учетом погрешности. Подчеркнуть верные и сомнительные

=-: Х = 1,128 'ю ~1

'у' = -2,45

Л = 0,7

55у 2

:=ут, =) = — =-0,03759

5

Распознанный текст из изображения:

'с ~ Ф'»' щ: ~'у~,у 7,г

~'.' Задача 3(а): решить систему линейных алгебраических уравнений АХ = В методом 1'аусса .': с выбором ведущего элемента по столбцу.

О -2О8 40,8

-7 0 1 -41

-4 -08 84 -38

2 5 о -79

3

о

1О

Решение. Прямой ход

О -208

2 5

-7 О

О -20,8

о о

0 О

3 -2,4 40,8 -7 -2 1 -41 О 0 8,4 -38 -4

1О О -79

7 О -2 1 -41 О -20,8 3 -2,4 40,8 О -0,8 1,14286 7,82857 -14,5714 О 5 9,42857 0,28571 -90,7142

40,8

„7ч

-?9 +т а

-2 1 3 -2,4

1,02747 7,92088

16,57143 49,21429

-2 1 -41 3 -2,4 40,8

16,57143 49,21429 -181,7857 0 4,86947 -4,86949

О

-20,8

О

0

-'16, 14066

1в

Уса

181,78571 10

!." Обратный ход

~,1 4,.86947 х, = — 4,86949

16,57143 х, = — 181,78571+ 49,21429 ', ' — 20,8 х, =40,8+2,4 — 24

!:, — 7.х, = — 41+1 — 16

х,= — 3

Ответ:

Распознанный текст из изображения:

Задача 3 16) решить систему линейных алгебраических уравнений АХ = В методом

простых итераций с точностью 0.001 (с оценкой достаточного числа итераций).

7>2+1=3

208 > 3+24 = 54

10>2+5=7

8.4 > 4 + 0.8 = 4.8

Π— 20.8 3 — 2.4 40.8 2 5 10 Π!-79

— -08 Π84 ~38

— 7х, — 2х, +х, = — 41

— 20.8х2 + Зх) — 2.4х4 = 40.8

:Ф

2х, +5х, +10х, = — 79

! ' 2 ' 4

(2) )Ус)

= 5 85714-0 28571х! )+ О 14286хп)

— 7

4О8-3 ") 24 ")

196154 О)442" '") -011538-"'

— 20.8

44) ®

-79-2х, -5х,

10

! 2

— 38+4х'"'+О 8х"'

— 4 52381+ О 47619х'"'+ 0 09524х'"'

8.4

44!-!)

х

!2-~!)

"3

4ьи)

4

5,85714

-1,96154

— 0,28571 0,14286

0,14423 — 0,11538

О О

0 0

— 7,9

— 4,5238

-о,г

— 0,47619 — 0,09524

0,28571+ 0,14286

0,14423+ 0,11538

=07<1

0,2 4- 0,5

д = !)С)! = ш ах

0,47619 + 0,09524

Метод простых итераций сходится.

Достаточное число итераций при в = 0,001

1

1п- ——

0001 1 эо

+

1п ——

0,7

Критерий останова

~~х "' — х'" 1~ < 1 О'7.0,001= 0,000429

0,7

Решение. Необходимо привести систему к виду: Х'~+ ' = 4' 'Х'") + Х) . Для этого

меняем строки матрицы А так, чтобы выполнялось диагональное преобладание:

Распознанный текст из изображения:

х." = 5.85714 — 0,28571. ~ — 7.9 , х"" = — 1.96154+ 0,14423. 1 — 7,

,.!Ъ

х""' = — 7,9 — 0.2. 8.00002 — 0.5

ф' а', = — 4,52381+0,47619.8,00

~ 7,99996

- 3.00001 — 7,99998

Х

-1,00001

5,51. 10

.!.',*".,*,",', Х~и Х(71~~

Проверка

5,11.10

! 1.55.10'

0,000107

7,99996 0,80021 -3,00001 -40,9998 -7,99998 -37,9999 -1,00001 -78,9999

О -20,8 3 -2, -7 О -2 1 -4 -0,8 О 8,4 2 5 10 О

7,99996

001 Ответ: Х = + 0,001

998 001

ему линейных алгебраических уравнений АХ = В методом Зеиделя с

1.

Решение: аналогично методу простых итераций (методу Якоби)

=~,8571~ — 02Кп571~~'~+0,142Кб ~ '

— 7

3х'"'+2 4х'"'

= — 1,96154+ 0,14423х ~" — 0,11 5 3 8х~"

— 20.8

2х'"'" — 5х"'~

= -7,9 — 0,2х и'ц — 0,5х~"О

10

п.ю

= — 4,52381+ 0,47619х,'"' + 0,09524х,'""'

8.4

Берем то же начальное приближение, что и в предыдущем пункте.

3,00 — 7,99 — 1,00 1в1 решить сист '~ъ ' точностью 0.00

,„,и 40.8— 1' 2

и» Фф,:".::.. лй,.» — 38+

:;,х,"

9996)+0,14286 1 — 0.99990) = 7,99996

99996)-0,11538.1-0,99990) = -3,00001

( — 3,00006) = — 7.99998

002+ 0.09524.1 — 3,00006) = — 1.00001

Распознанный текст из изображения:

Задана 4. Решить еиетеы1' ли~еЙ~~~ алгеооаннеекнх уравнений ыетодоы прогонки.

— 4 х, -~-х, = — 17

2.х,-ь8 х,— х,=8

4 х,— 8.х,+3 х, =69

~ — б х,— 13 х,=9

С„

а„=—

а„.и,, +Ь„

п

— 1

2-0,25-ь 8

а„== — — = 0.398

4.0,1 18 — 8

.~ — 8~

::о8

Обратный ход:

11роверка:

~ — 1

Х =!

~ — 8

Диагональное преобладание выполнено — метод корректен.

Прямой ход ре1пения:

х. = а., х, + Р, = 0,398. 3 — 9,1 95 = — 8

х, = а.. х, + ф, = 0,1 18 ~ — 8) — 0.059 = — 1

:. =а,.х, +Р =0,25 1 — 1)+4,.25=4

' — 4.4 — 1 = — 17

: ' 4 -ь 8 . 1-1) — (-8) = 8

4 1-1) -8 1-8)+3 3=69

: — 6 1' — 8) — 13-3 =9

~ е„~ П

1<(~„Д 2+1=З<)Я 4 3 7<(Ь

Распознанный текст из изображения:

Задача Лаб. Найти корень нелинейного уравнения К(х) = 0 на отрезке 10,6;11. Построить

график функции у = Г(х).

1) Методом бисекции, в =0,01;

2) МПИ, в = 0,0001. Сделать оценку достаточного числа итерации;

3) Методом Ньютона, в =- 0,0001;

4) Методом секущих, а = 0,0001.

е = гв1нт

7'(х) = е ' — х в1н х = 0

1. Метод оисекцнн,

,Л- '.цлтерий Применимости: ~ ~ а:": ' г' ''в ' ~ '-'

Г: а-, = О 210025

г о- ~ = -0.47358

'г;рит рий останоаа, ~ Ь,, - а„~ < 2 0.01 = 0,02

ап сп а (ап) "(сп) ( „)

~5п ап~

Знаки

0,6

0,8

0,8

О? ' 075 07 ~ 0725

-0,03886 -0,12456

++- 005

0,003551 -О,ОЗ886

0,725 ~ 0,7375 0,725 0,?3125

+ -- 0025

°--

0,75 0,003551

0,7375 0,003551

-0,01?62 -О,ОЗ886

-0,00702 -0,01?62

Ответ: х = 0,?3125+ 0,01

Распознанный текст из изображения:

2. МБМ

Г,х) = — е ' — (я)пх+хсоях)

1!о трафпку определяем максимумы и минимумы Л7 = тпаху'~х) = Х'~0,6) = — 1.61

и = пт1п 7'(х) = 7"'(0,95) = — 1,75

Коптерий применимости: М т ) Оеыполнен.

о 2

0 505,

н~ + М 1,61+ 1,75 3.36

ЛХ вЂ” т ~ ~1,75 — 1,61

Лу — я 1,61+ 1,75

1 — 0.04'

Критерий останова: ~ х„— х,, ,'< ': 0.0001 = О.ОО" 3

0.04:

Распознанный текст из изображения:

3: =: . у!ля заданной таблицы функции Р(к) вычислить приближенно значение в точке я : .:Ооюпзью интерполяционнОГО многочлена первой и второй степени. Сделать априорную Щ<5 К' ПОГПЕЩНОСТИ. - СОЯГ

055

- 5 †!

Решение: : АПР55орная оценка погрешности

.Ио, < )(х х )(х х)! 2

!

( — (Го-1)з!п~ — сояГ1 ~ 170 = пик,о "(х)~= пик ~ !о м 6! !о 5 о 65( (у 1 10

( — я!п~ — (г+1)сояг — я!П~~г —;1) —; 2(5 ~1)ф -о1) я!и~+соя~) = гпах . .5.0.6! ( -1,'

~ — гя1п~ — я)пг + ( — ~соя5 + соя5)(5 ' 1) — ~ я!П5 — я!Пг ~ 2~я)п~+ 2я!П5' + 2 сои' = !пах: ~ 0.5.0.6 5~ (1 5-11

— Г' соя5+ Зсоы~ ',— Го + 3: = так ;< щах; '5:,<1

!05 061 (г+ 1)3 ~ !0506!, '0+ 1)' 5 < — ~(0,54 — 0,5)(0,54 — 0,6), '= 0,0012

Х вЂ” Х х — х Х вЂ” Хо Аппроксимирующая функция: Х.,(х) = ) у, — ' = ' у„+ ' у,

О 1 Х вЂ” Х Х вЂ” Х Х вЂ” Х

о

х — 0.6 х — 0.5 5 (х~= ' .0390416+ ' .0445432= — 390416.(х — Об)+445432 (х — 05)=

0.5 — 0.6 0.6 — 0.5 = ".342496 — 2,22716+ 0,55016 х = 0.115336+ 0,55016. х

11роверка: ' .1 ! 5336+ 0.55016.0.5 = 0,390416

.1!5336~-0,55016 0,6 = 0,445432 5 5 0.54) = 0,115336+ 0,55016 0,54 = 0.4124 2) Многочлен второй степени. Априорная оценка погрешности:

Мо < — '~( — хо)(х — х,)(. — хо)';

2

Распознанный текст из изображения:

Определить а и Ьметодом наименьшим квадратов. Вычислить величину .-,"=лнеквалратичной погрешности. Нарисовать графики заданной табличной функции и чепной функции.

н решение; Я1а,Ь) = '1 Гу — — — Ьх,) — ~ гн1п

О

а 1 — ' ~~ 1 К вЂ” — — Ьх, ) ' т — ) = 0

х, х, — х т, -ь11х+'У Ьх =0

104 ЮО 16') ( 1 — т — + — + — +и — -+ — + — + — ~-Ж~ = О 0 1 0,2 0,25 0,5~ 1,0,1 0,2 0,25 0.5) — 10.1 . 232+ 0 2 104+ 0 25. 80+ 0,5 16)+~а+ Ь10 01+ 0 04+ О 0625 + 0 25) = 0 : -'5л -4Ь = 3192 и: — 0.36 '5Ь = 72

решаем систему методом Гаусса

Распознанный текст из изображения:

1 '46 4 ~ 3192 - и — „4 0,38250 72 /... ~ ~ ~ч~

"-С ...,..~ ...)-

— 63.67179х

=, = . — 10.441714+ 4,48! 363+ 0,70044+ 0,0872521 = 1,19486!

Распознанный текст из изображения:

=::тпгшьнмк прямоугольников, сделать оценкт погрешности по правилу Рунге и

-", =и-ю оценку погрешности

:апеций. сделать оценку погрешности по правилу Рунге и априорную оценку

Е:*Но* ТИ

::1млсона сделать оценку погрешности по правилу Рунге

кв'-ратуры Гаусса с двумя и тремя узламп в шаблоне.

Р -снетная формула

= — 50~ =й = ~й Г~х1 + — ~

. =соаг ' 1' 11 )

1-.О

1

- а1ПГ,~И вЂ” — со.1

2а;гг-1 —,соя1

;Г

= — 0

Д1соаг ~ — а1п~) — в1пг) г — —., и в1пг 1

=.0

-, соа1)

соей 311г~ в1П1 3 ~~~ в1п1 ~11 соа1

50.

З

г сов1 — 61 я1п1 — — соа1

О

2~ сов г — б~ в1п1 — — соя,',

2 2Г сояг ',О1 Я1п1'

соац

-" 1 хя = ~50- — < 113д-; 50. ~ —,-:: —: — ~ (

' 16 — а)йс = — - (2 — 1)0.25' = 1,2369792

475

:1огрешность по Рунге. Кеобходимо найти Х,, '

;.: = У Ь.,4~ х + — = 0 25- ~ — 20.325856 — 8.295542 ~ 2,!25002+10,937417) = — 3,889745

1)ценим погрешность

'' (Ь-а)Ь1

4

. =1))аХК'М

Распознанный текст из изображения:

<

Ответ:

— -'.339745 —: ". 6Я "~

— — -~::"„.;:.~буо„'~, ъ2 7 = -3.95К$97

6 ~ Та5лица - гя расчета

Х1х1= —," 1М.„)+ ~7'О-Л-'. — '-' "- гз 25

( — 27,015! 15+21 — 14.1016ау — .-'.' '.: — — -, .- '=-- — - '.' ' - = — 'ь100866

Оценим погрешность

М,„, Г75

Е„";б < — '" ~Ь вЂ” а'1А' = — (2 — 1а: '=- = .—

кб 12 12

Погрешность по Рунге. К=-. =.:

ф .г бб~ и 4- ~ б"

б,~ббббб.~, .—.-

Уточним результат по Рунге: б = — б ~бббббббббЗТбб= ~б!ббб: - б бб~бб Ответ: Уб,б = —..й-74.Ф51й — Ч За 'ЬФ'

в Табтица для расчета

Расчетная формула

~'х! = — ' Их,)+4Ях,)+4 -,'11 —: 1.х-1—

Оценим погрешность

= —.1 — 27,015115+41' — 14,101645 — 6.: - !м4б —,: ч з54 —;: ':,::;"-.;, = =,6, ° 40

Распознанный текст из изображения:

Задача 1О. Численно решить задачу Коши на отрезке длиной 0,8 длл обыкновешгого

дифференциального уравнения первого порядка

у' = япх(у+ е"")

у61 =1

с шагом й = 0,2

а) Явным методом Эйлера с оценкой погрешности по правилу Рунге

51 одним из методов Рунге-Купы 2го порядка с оценкой погрешности по правилу Рунге

в ~ найти точное решение задачи

11остроить графики точного и приближенных решений.

з) Метод Эйлера. Расчетная формула

у; = у; ~ + и япх; . (у; + е"'~ )

уо+ 0,2 гйпхо ' (уо+ есосх„) 1+ О 2 гйп — 11+ е"'Т~ = 1+04 = 1,4

2

— + 0,2

з

-. = У. + 02 ° Япх ° (Уз + ессх) = 14+ 02 гйп~ — "+ 02~ ~14+ е'~с1г+~д)) = 1835114

— '+ 0,4

т~ + О 2. зшхв ~уз 1. е~~~~г) = 1 835114+ 0 2 - яп ~ — + О 4) ~ 1 835114+е Ь' ' )) = = 2,29796

т

= — + 0,6

гл

+ 0 2 з1пх (у + есосхз) 2 29796 1 0 2 з1п ~ 1 0 6) ~2 29796 + е~~~~з~ )~

= 2,771128

гп

= Уз + 0,2 Япхо . (У„+ есо'х ) = 2,771128+ 0,2 Яп1 — + 0,8) ~2,771128+ е"'~2+о'о,'~

= 3,225265

11огрешность по Рунге

= ус+ 04.япхо . ~ус+ есох) = 1+04 япн 11+е з~1= 18

Гп'~ г сас~~)1

/

Распознанный текст из изображения:

+ 04,61их . Гу + есосх) 18+ 04 ° 61и1-+ 04) ° 118+ в'~~Ь+ ' )~ =2 712753

Х2

ха = — +0,8

2

3, =ус+04 анх2 -Гу. +е""га = 2712753+04 61п(-+08~. ~2712753+

-~е ""'- ' ) =3.604759

* ' =0,058375

6 226265 — 3,606759

2 — 2

в) Точное решение

, 1 есохх)

— у61нх = 65ихе"'х

111 сть у = ии, тогда

= и'и+ни'

Г1одставим в уравнение:

61ИХ Есо5х

Г1хсты ' — 52 яых = 0

: 'Е сосх = 51ИХ Есо'х

61НХ Е2сосх

Х Е2сосх 1Х

!

' 1 — — е2' ' й(2соях)

1

е2сОХХ + 0"

2

2сО5х — сосх 1 0'е сО5х

1

2

1

сосх 0'е — со5х

2

Распознанный текст из изображения:

В °

Г1огрешность по Рунге Ь = 0,4

у = у + 2й . яп(х + п7 (у; + й . лпх . (у + е'о' '7 + е'~'(~'+~1)

и пГ

:.'- = 1+ 0,4 лп( — + 0,2) ° (1+ 0,2 ° ят — (1+ е' ' ) + е~~~Б ' )) =1,870229

= — + 0,4

у- = „870229 + 0 4 яп ~-+ 0 6) ~1870229 + 0 2 . лп (-"+ 0 4) (1 870229 + его'( "')) +

е " ': ' ') =2,543002

= 2 543002 + 04. яп (-+ 1~ . (2543002 + 02 я п (-+ 08~ (2543002 + е "~» о'~) +

-'- ''') =3,635075

1 874102 — 1 870229

71 = =0,003873

2-1

2,830088 — 2,829882

и 0,000206

2 — 1

3,267471 — 3,635075

72 — 0,35214

2 — 1

ох ~ оо

у~' ( у''

Е(х,у= у;—

1 Х,

1.419757; 0,000863

873 ; 1.877976 : 1,875458 ' -0 002518

2.35394? 0 000991

0206; 2.829882 ' 2,829493 ' -0.000389

Графики приблгокенных решений

у; = 2385414+ 0,2 ыЫ(-+ 09). (2,385414+ 0,1 пп~ — + 08)-(2385414+ е (3 ' ))+

е " - '' 1) — — 3,267471

Распознанный текст из изображения:

У~а Я-Ф .У '~ ~Й*.~ ~.сю Й~ с г ~к~'-~а~-Зм-с-сЛ З

Жй~'~м~~,~~~~с.Фж~с~- су~~."м г3а.е-т Я~,~'~а-г.~~

~"-.~е ~'- р =.м — з ~ - с-г-:~у

~г'- .",~ = о

~Г-~~ = ~

Р) ~ с~с.ж.мг с~ ~4 =а~ ~

д. = —,~г,г

Ф =-вяз~

/'г = РФ'Ф~

,Фу =-Р ФУЗ

,~~ = -Ф~~е

,Р~-. -~' ~з ~

"г= — ~г

ю а=-1

Я = — ~Ф+

ф

Х~- ~/~ ~

+-

— .— ~-4/

/р /= ~38~ ~,'Х

1,У

~ ~/=Фиг > ог

~~, ~ = Ф,У~- ~ ю г

~р,~ = ~;УБ') РЕ

~-' /= ~, ~г.) в,г

,'Д1=~Рг юг ~$~' р ~ ~ . у

.~ =l' ~ ~'-'~=" .~ =.~Г-~; -~=л

— ' ° '""' — ' 4-

~'-.~ е;~ ! ~, ' —.~ к' ~

,ы (.~'~ —.=~-.'.,~-