Ответы: Теория и практика по ТФКП

Распознанный текст из изображения:

Занятие 1О

ТФКП 4семестр

Применение вычетов к вычислению

онределенных и несобственных интегралов.

1. Интегралы вида

2т

~Л(яп х„соях)с7х о

заменой г = е'х преобразуются в контурный интеграл по единичной

окружности.

2. Интегралы вида

~ Р„(х)сй

(2)

Д (х) '

если т — и > 2, а подынтегральная функция регулярна в верхней

полуплоскости (1тг > о) за исключением конечного числа особых точек„

можно вычислить с помощью теоремы о вычетах:

1 = ) " = 2ге~,ген

г Р„(х)с3х, Р(г)

Д (х) Яг)

где сумма вычетов берется по всем особенностям, лежащим в верхней

полуплоскости.

3. Интегралы вида

) ~ л( )

(3)

О. (х)

если и1 > и, а > О, подынтегральная функция регулярна в верхней

полуплоскости кроме конечного числа особенностей, не имеет

особенностей на действительной оси, можно вычислить с помощью

теоремы о вычетах:

1= ) " =2т~~> гех

Р„(х)е' Ж Р(г)е'~

Д (х) Яг)

где сумма вычетов берется по всем особенностям, лежащим в верхней

полуплоскости.

Р„(х) саь хссах Е'„(х) яп ха!х

4. Интегралы вида 1, = ~ ", 1, = )

Д (х) ' ' Д (х)

являются соответственно действительной и мнимой частями

интеграла(3)

Распознанный текст из изображения:

ТФКП 4семестр

Вычислить интегралы;

+ 2д

х' — (2гх+ 3)

С помощью теоремы Руше найти число корней уранения в указанной

области:

4<)г)<б 1<и<3 1/2< 4<1

1. ~'+5~' — 4+2=о

2. г' — 2г — 5=0,

3 х' — 5г'+г'+1=0

ПОДГОТОВКА К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 2

1.Найти нули функции и установить их кратность:

Дг) = (сонг — 1)'

2. Найти все конечные полюса функции и установить их порядок:

Л~) =,

х (совх — 1)

3. Написать все возможные разложения функции в ряд по степеням л и

указать области сходимости этих рядов:

Лх) =

1

1х-г1)

4. Вычислить интегралы:

1

9

б) ~,,где С'. Я=А,А~67з в) ~ ~~~ ~ — х'ех сух

с+ )г)=1

Ж

а) ~

; (х'+1)'

Домашнее задание

1.Типовой расчет: задачи №№ 6,7, теоретические упражнения №№ 26, 27.

2.Ефимов, Поспелов, том 3, №№ 12.450 — 12.470, 12.476 — 12.477.

З.Подготовиться к контрольной работе №2 — повторить соответствующие

темы.

3.

(х — 1)е дх

х' — 2х+ 2

2х

5.

о

(4+Зсовх)'

+СО

2 ~ хоп 2х

о

(хг +16)

соя х~й

о

1 г 1)з

2т

сов х~й

6.

1 — яп х+ 0,25

о

Распознанный текст из изображения:

ТФКП 4семестр

Зинихию 2

Регулярные (аналитические) функции

Иеобходимые сведения

1. Формулы для вычисления значений функций:

е =е (соау+1япу)

егг +е 1г

(2) соаг =

2

п — гг

е — е

япг=

21

(3)

г — г ег+е

.Йг = (4) сЬг =

2 2

1пг =!пф+ 1Атуг =!п(г~+ 1(ага г+ 2~А),А я 2

2. Условия Коши — Римана для функции

1(г) =и(х,у)+ги(х,у) =и(гсоаГе,гя!пГе)+!и(гсоау,гяп1е): (7)

В полярных координатах

дп 1 ди

дг г дскб (9)

ди 1 дп

дг г дге

координатах

(8)

Задания для решении в аудитории

.,31

1.Вычислить: сов(1+ 1), хЬ( — 2+ 1), 1п 1, (яп(т+11п 3)), ага(яп(~г+11п 3)),2,( — 1)

х,г2 Г1+Р

~л~

2.Выделить действительную и мнимую части следующих функций: а) и = г, б) и = 2г, в) и = 1г, г) и = г', д) и = 2г', е) и = 1г', ж) и = 21г'

3, Выделить действительную и мнимую части следующих функций:

а) и = Еег, б) и = оп г, в) и = Ке1г, г) и = 1т1г, д) и = Кег', е) и' = 1т1г'

4. Выделить действительную и мнимую части следующих функций:

а) и = е, б) и = е г, в) и = е'г, г) и = е 'г, д) и = яп г, е) и = соаг, ж) ж = ейг

5.Доказать равенства:

а) соя г = соа( — г), б) яп' г + соя' г = 1, в) яп(ьг) = ЬЬг

6.Вычислить:

а) е, б) )соаг(, в) (х/и)

В декартовых

дп ди д ду дп ди ду дх

(5) ®

Распознанный текст из изображения:

ТФКП 4семестр

7.Найти все точки, в которых обращаются в нуль функции:

а) и = ег, б) и = яп г, в) м = соя г, г) м = еьг, д) м = с1и е) и = 1п(г — 1)

З.Найти все решения уравнений, изобразить решения на комплексной плоскости: а) е = — 1, б) е =1, в) япг = —, г) сти =—

г г . 41 1

9.Найти значение модуля и главное значение аргумента заданных функций в указанных точках

а) и =г е,г, = — ш' б) м =1+сь'г,г, =11п2

10,Проверить выполнение условий Коши — Римана:

а) и = -, б) и = 1г1тг, в)и = г', г) м = ег, д) и = япг, е) и = сЪ, ж) м =—

Домашнее задание

1.В тетради для Типового расчета выполнить задание ТР №1(а,б)

2.Ефимов-Поспелов, том 3: №№13.1 — 13.29

(Из них обязательно №№13.10,13.18, 13.23, 13.29),

№№13.35 — 13.41 (обязательно №№13.36, 13.39),

№№ 13.42 — 13.51 (обязательно №№13.44,.13.51)

2*.Выделить действительную и мнимую часть у гамма-функции:

+ бО

Х (2)= 1 ~ 1е тс11,ке >О

О

З.Доказать равенства

а) яп( — г) = — яп г, б) сЬ'г — й'г = 1, в) сонг) = сЬ, г) Яг) = ~йг, д) сф(1г) = — сйг

4.Вычислить:

а) Р(, б))б ), в))Ь)

5.Доказать неравенства:

а) )гну) < )яп г( <~сну~, б) (гну < (сонг) < (с1бу!

б. Найти все решения уравнений, изобразить решения на комплексной плоскости:

а) е =1,б) е = — 1,в) сонг= —,г) еЬг=—

г г

Зг' т'

7.Проверить выполнение условий Коши — Римана:

а) и = г, б) м = гкег, в)и = г', г) и = е 'г, д) м = сонг, е) м = юг, ж) и = 1п(г')

Распознанный текст из изображения:

ТФКП 4семестр

Занятие 3

Связь регулярных и гармонических функций.

Геометрический смысл модуля и аргумента производной регулярной

функции.

Необходимые сведения

1. Утв.1. Если функция т (е) регулярна, то ее действительная (не ~(е) = и) и

МНИМая (1п~1(е) = и) ЧаСтИ вЂ” фуНКцИИ ГарМОНИЧЕСКИЕ, т.Е. Ли = О, Л1 = О

Утв.2. Если две функции и(х,у); и(х,у) — гармонические и для них выполнены

условия Коши — Римана:

в декартовых координатах или в полярных координатах

ди д1т ди 1 др

дх оят

(1)

дг р дри

ди д1т д1' 1 ди

ду дх дг г дер

то эти две функции называются гармонически-сопряженными и они определяют

регулярную функцию 1(е) =и+гр с точностью до комплексной константы.

Таким образом, зная только действительную или только мнимую часть

регулярной функции, можно восстановить эту функцию.

(2),

11. Если функция Де) регулярна и т '(г) - ее производная в точке е, то

1р = 1'(е)( определяет коэффициент искажения длин в точке е, а ер = арп т (е)

определяет угол поворота векторов в этой точке.

Ееии я 1, то ороиеходит растяжение

Если ~ <1, то происходит сжатие

Если у>о,то повороти отивчасовойс елки

Если еи < О, то поворот по часовой с елке

Заданиядля решения в аудитории

1.Восстановить регулярную функцию по ее действительной части и(х, у) или по ее

мнимой части и(х,у):

1.) и =(х+1)' — ур

2.) 1 = е У е1п х

3.) и = х~ — у~ + 2х ~(т) = — 1+2т'

4.) р = е" е1пу+2ху+51.ЯО) =10

5.)и = х' — у'+ 5х+у —,, Я(1) = 6+1, (е > О

х'+у

6 ) 1 = х' + бх'у — эху' — 2у', Г(О) = О

7.) 1т = 1п(х' + у')+ х — 2у

Распознанный текст из изображения:

ТФКП 4семестр

У

2.Существует ли регулярная функция Я~) =и+л, для которой и=е" ?

З.Найти угол поворота лучей и коэффициент искажения длин

1.)в точке г, =1+ г под действием отображения м = ~'

2.) в точках г, = — 3 + 4г, ~, = 5, г, = — 1 — ю', г„= 2+ З~ под действием отображения в = г'.

4.Какая часть плоскости сжимается, а какая растягивается, если отображение

осуществляется функцией:

1.) и = — г + (к — 1)г + 5 ?

2

2

2,)и =г'?

3.)е = — г' ~-зг+8?

4.) и= — ?

5.)и = 1п(~ — 1)?

6.) м = е~~~ ?

(Изобразить на чертеже)

Домашнее задание

1.В тетради для Типового расчета выполнить задание ТР №2 (а,б) (Для групп

ЭИО-1-04 и ВД-1-04 в соответствии с табличкой)

2. В тетради для Типового расчета выполнить:Т.Р. Теоретические упражнения на

стр.З №№ 1 — 13.

З.Ефимов-Поспелов, том 3: №№13.131 — 13.137, 13.138-13.143, 13.144-13.147

(изобразить полученные множества на комплексной плоскости), 13.148-13. 155.

4.*По задачнику: Волковыский, Лунц, Араманович №№161, 162, 166,169-179.

Распознанный текст из изображения:

ТФКП 4семестр

Занитие 4

Конформные отображении.

Необходимые сведении

1.Отображение, осуществляемое линейной функцией я = ~(г) = ае+ Ь, представляет

собой композицию

е растяжения ( в а~ раз),

е поворота 1на угол агпа),

е сдвига 1параллельного преноса на Ь )

2.При отображении, осуществляемом степенной функцией я = ~(е) = Р,

е длины «возводятся в степень и»,

углы «раскрываются в и раз»

З.При отображении, осуществляемом показательной функцией и = ~(е) = е~

прямые, параллельные действительной оси (Ке е = с), переходят в лучи

1агцп = с)

отрезок прямой, параллельной мнимой оси 1 1гп г = с ), переходит в дугу

окружности радиуса 7г' = ес

Таким образом, прямоугольник переходит в сектор кольца.

4. При отображении, осуществляемом главным значением логарифмической

функции в = ~Де) = 1п г, происходит обратное, то есть

окружности с центром в нуле 1 и = с) переходят в прямые Кев = 1п с = сонг

лучи, выходящие из нуля 1 агп е = с), переходят в прямые 1гп е = с = сотг

Отображение, осуществляемое сложной функцией, удобно рассматривать как

композицию нескольких последовательных отображений.

па=(о ),( .Гг,

5т 7т)

12 12)

2) 17 = 10 < Ке г < 1п 2,0 < 1гп л < г1

3)В= О< Кем+со,о<1гпг < — ~

2)

(х 5х 1

4) уз=( —,— *~ 3)

~4 4 2

а) и'=г,

б)в =г'

в)» =11+!)г' ~-г' — 2

в)м=е

б)и=е

а)я =е а)п =е

б) ю = г1+1)е г, в) и = 2ге2г +1+1

б) я = г' 1п г,

в) и =1п(ге)

а) я =1пг,

Изобразить на комплексной плоскости множество гз . Определить множество

г7,на которое отобразится )7 под действием отображения и = ~(е). Изобразить на

комплексной плоскости множество 17, описать его с помощью неравенств:

Распознанный текст из изображения:

ТФКП 4семестр

Домашнее задание

1.В тетради для Типового расчета выполнить задание ТР № 9 (а,б)

(Для групп ЭИО-1-04 и ВД-1-04 в соответствии с табличкой)

2.Ефимов-Поспелов, том 3: №№13.211 — 13.220.

З.~По задачнику: Волковыский, Лунц, Араманович №№338,340.

4.Подготовиться к контрольной работе №1. Возможные постановки задач:

1)Изобразить ГМТ на плоскости.

2)Вычислить значение функции в данной точке.

'3)Решить уравнение и изобразить его решения на компл. плоскости.

4)Проверить условия Коши-Римана для данной функции.

5)Восстановить регулярную функцию по ее действ. или мним. части.

6)Найти образ данной области при заданном отображении

Распознанный текст из изображения:

ТФКП 4семестр

Занятие 5

Контрольнаи работа.

Необходимые сведении

Первая контрольная работа по ТФКП ориентирована на проверку

знаний по темам занятий №№ 1 — 4

Примерные задания контрольной работы:

1. Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции:

и~ = 1п(2ь ьх)

2. Вычислить Агс62ю'

3. Решить уравнение и изобразить решения на комплексной плоскости:

8 2 ° 4

4. Восстановить регулярную функцию по ее действительной части

КеДг) = х — у + 7х+у —, при условии: Д1) = 5+1

х +у

0 <х <+со

5. Найти образ множества В: г ~г при отображении ю = е~.

Сделать соответствующие чертежи.

Для подготовки к контрольной работе рекомендуется решать задачи

различных вариантов из Типового расчета (№№1,2,9), а также задачи,

указанные в листочках №№ 1 — 4

Результат контрольной работы (оценка) влияет на зачет по Типовому расчету, а он, в свою очередь, на допуск к экзамену.

Распознанный текст из изображения:

ТФКП 4семестр

Занятие 6

Комплексные ряды

Необходимые сведении

1. Функция, регулярная в круге ~г — г, ~ < Л, раскладывается в ряд Тейлора:

Дг) = ~ а„(г — г,)

=о

2. Функция, регулярная в кольце г < ~г — г, ~ < А, раскладывается в ряд Лорана:

Π— ! .! О

1(г) = ~~» а„ (г — г, ) = » а„ (г — г, ) + » а„ (г — г, )

Л= — О И=- О и=О

3. Для разложения функций в степенные ряды необходимо повторить

разложение основных элементарных функций и формулу суммы бесконечно

убывающей геометрической прогрессии (см. занятие 7 за 3 семестр)

г+1

1п(г +Зг+2); 1п(г+ »/1+ г') (г — 2)'

г

4,2 '

2.Разложить функции в ряд по степеням (г — г,), определить области сходимости

полученных рядов, изобразить их на плоскости С:

2

„г — 4г+1

о

1

= 31,

1 — г

1

,г„=1; г +1

г -2г -5г-2,г =-4'

2

! о !

З.Найти области сходимости рядов, изобразить их на плоскости С:

а — 1 2 (и+1) 3 (г+1)

Х

П П

4.Найти все разложения функций в ряды Лорана по степеням (г — г,), установить

области сходимости полученных разложений, сделать рисунок:

1

Л ) ( ~ 1)( ~ 4)» о

Дг) =,, г„= — 1

г +1

1.Разложить функции в ряд по степеням у, указать области сходимости полученных

рядов, изобразить их на плоскости С:

Распознанный текст из изображения:

ТФКП 4свместр

5.Найти разложение функции в ряд по степеням (г — ~,) в указанной области:

1

Домашнее задание

1.В тетради для Типового расчета выполнить задание ТР № 3,4

2.Ефимов-Поспелов, том 3:

№№13.226 — 13.229,

12.179, 12.181, 12.187 - 12.189.

12.217, 12.221, 12.226, 12.236, 12.241, 12.348, 12.350, 12.351.

12.352 — 12.375 (полезно сделать все, обязательно: любые 10 штук)

Распознанный текст из изображения:

ТФКП 4семестр

Занихие 7

Изолированные особые гочки

Необходимые сведении

1 Точка, называется мелем фумкпи УГ 1 клатности Я, если 1(г,) =дг,) = дг,) = ...=уо-о(г,) =О,уо'(г,) ~О

2. Точка г„является нулем функции г(г) кратности ~ с=>функция представима в виде дг) = (г — г,) гп(г), где фу(г,) ~ о

3. Точка, в которой функция не регулярна, называется особой точкой.

4. Если существует такая окрестность особой точки, в которой нет других особыя точек, тс зта особенность называется изолированной.

5. Изолированные особые точки можно разделить на три типа (см, таблицу)

Таблица: «Класификации особых точек»

Определение с помощью

предела

Определение с помощью

главной части ряда Лорана

Тип особой точки г,

Л 11п1 ~(~)=с=сопя~

Устранимая особая

точка

Главная часть ряда Лорана

отсутствует

+го

Полюс порядка Й

5 11П1 ~(~~=со

В главной части ряда

Лорана конечное число

слагаемых, максимальная

отрицательная степень =л.

+го

Существенная

особенность

6. Полюс первого порядка по-крутому называют посстьгм полюсом.

7. Связь между нулями и полюсами: если точка г, является нулем функции г (г)

1

кратности й., то эта точка является полюсом порядка 1 для функции

Лг)

3 11П1 Д~)

г-+гО

ни конечного, ни

бесконечного

В главной части ряда

Лорана бесконечное

число слагаемых

Распознанный текст из изображения:

ТФКП 4семестр

1. Определить все нули и их порядок для функций;

(а) сонг (б) у'г (в) (г'+1)' (г)

(г' + 1)(г' — Зг+ 2)"

г+1

2. Найти все конечные особые точки, указать их характер, в случае полюса — его

порядок, для функций:

Йпг

1

(г) Е1 ' (д) (е)

г(1 — е )

(а) , (б)

(в)

з(гг + 4)~

3. Определить характер особенности в точке г, = о, разложив функцию ~(г) в ряд

Лорана в окрестности этой точки и выделив главную часть полученного ряда:

р 'г ~5Е,'г

Ег Ег 1 Ег

(а) —;

г ' 2'

г

5

(в) — — — ~З СОЯ вЂ” СОЯ2~ СОЫ; ~ СО8—

г 2 г 22

4. Исследовать поведение функции на бесконечности:

1

~З

(а) яппи (б) г~+2г~ (в) е'+

3+2г+~ +~'

Домашнее задание

~ . 'В тетради для Типового расчета выполнить задание ТР: Теоретические

упражнения №№ 14 — 20

2. Определить все нули и их порядок для функций: (а) СОЯ2г (б) Сф г (в) (г2+2г+1)З (г) 8111 Зг

4~. Боярчук (Антидемидович, том 4): стр.230 упражнения для самостоятельной работы №№ 18, 19, 20.

5*.Волковыский, Лунц, Араманович, стр.7б, №№ 5б5 — б00.

(б) 8Щ(~). 8Щ(г2). г 8111 1 . Я~ ~.

3. Ефимов-Поспелов, том 3: № № 12.382 — 12.407

— г

4

8Щ ~2

2

Распознанный текст из изображения:

Математический анализ 2 курс 3-ий семестр.

Разложение функций в степенные ряды.

Необходимые сведения.

Таблица разложений в ряд Маклорена некоторых элементарных функций

и

х х х

1 е =1+ — + — + „+ +„., х е ( — со,+со)

1г 2! и!

х Е ( — со,+со)

Задачи для решения в аудитории.

№1.Разложить функцию в ряд Маклорена, используя стандартные разложения:

2

1) у (х) = хе 2) у (х) = х'е 3) г(х) =е

6) у'(х) = хяп —.

4

5) ~(х) = сов'2х,

4) у (х) = яп х сов х,

№2.Разло>!сить функцию в ряд Маклорена, используя формулу суммы геометрической прогрессии: 1) г (х) = 2) ~(х) = 2, 3) г (х) =

4) г'(~) = 5) гг(х) = 6) у'(х) =

1+ х' 3+х (х — 1)(х+ 2)

3 5 245!

2. в!их= х — — + — —...+( — 1)л +, хе( — со,+со)

3! 5! (2и+ 1)!

х' хз Х2л

3. СОБХ= 1 — — + — —...+( — 1) +, ХЕ( — сО,+со)

2! 4! (2п)!

2 3 „п~-1

1п(1+х) = х — — + — —...+( — 1)л +..., хе( — о,+ о) х е( — 1,+1)

2 3 п+1

тх т(т — 1)х' пг(т — 1)(т — 2)х' т(пг — 1)(т — 2)(т — 3)...(пг — и -ь1)хи

5. (1+х)"' =1+ + + +...+ +...,

1! 2! 3! и!

х е ( — 1,+1)

6 =1+х+х'+...+ха+..., Ха( — 1+1); 6*. =1 — х+х' —...+( — 1)лхл+..., Х~( — 1+1)

1 — х 1+х

3 5 2ло

х х

7. сггегях=х — — + — —...+( — 1)л +..., хе~ — 1,+1~

3 5 2гг+1

1 х' 13 х' 135 х' 13 5 ... (2п — 1) х'л"

8. агсыпх — х+ + + +...+ . +..., Ха~ — 1,+11

2 3 24 5 24 6 7 246... (2и) 2п-ь1

3 5 244!

9.,йх = х + — + — + ... + +

3! 5! (2и + 1)!

Х2 Хл 3,2л

10. сЬХ =1+ — + — +...+ +..., х е ( — ао,+со)

2! 4! (2и)!

Распознанный текст из изображения:

ТФКП 4семестр Занятие 8

Вычеты

Необходимые сведении 1. Определение вычета: у~~ ~(~) = ~~(~)й,у,~г — ~. = р

1

оп' о

у 2. Отыскание вычета по ряду Лорана: у ~~ Д~) = С, — коэффициент ряда

~0

Лорана в окрестности особой точки ~, 3. Вычисление вычета в простом полюсе: (а) уурД2) = 1цц ~(г)(г — г~)1

г, ~ +~о (б) Если Дг) = ', р(г,) ~ Оу(л,) = О р(г,) ~ О, тогда у Е~Дг) = ~Р(2 ) ~(,) ~//(2~ ) г, ~у'(г,) 4. Вычисление вычета в кратном полюсе: уе~1Ю = 1цц ~Л')('-")'1

г„(~ — 1)~ г — м, 6. Вторая теорема о вычетах: сумма вычетов по всем особым точкам,

считая бесконечно удаленную, равна нулю. 7. Алгоритм вычисления интеграла по замкнутому контуру с помощью вычетов: е Контур интегрирования изобразить на плоскости е Найти все особые точки подынтегральной функции (изобразить

на плоскости) е Отметить те, которые попадают внутрь контура интегрирования е Определить их тип и найти вычеты в этих точках Просуммировать полученные вычеты и воспользоваться основной тафемой о вычетах

Распознанный текст из изображения:

ТФКП 4семестр Задачи для решения в аудитории

1.Найти вычеты функций в особых конечных точках:

'+г +3

2г

у(г) = —; Дг) =,; Дг) =

г — 1 ~' (г — 2) г'(г+ 5)

3

у(г) = ~ я1п — „: ~(г) =г 1 — соя —; 1(~) =~ 8~; дг) = гсоз—

3 2 з( 11 4, . 3

г г

2.Определить характер бесконечно удаленной точки и найти вычет:

у (г) =,; у (г) = сок — + 5я', у (г) =

2г'

3 1

у(г) = К~ 2; 1"(г) = сов5г, у(г) = Е3

6 ' 3 5' — 4'+1

1 1

Д~)=Б!п3~ Д~)=8 +32 Де)=, Де)=2 8~.

г

З.Вычислить интеграл:

,~ е'ь

яп ясов~ г'+9

у:(г( = 3 у:Я=4

Й

г

д), е) (~ (яо —, +е соз2~)сЕ

,1 (г +1)(г — 5) 1 г

у :(г — 1= 1!

сХг

(2 — 1) (2+2)

у: )~ — 1(=1

у:Я=2

у:И=1

Домашнее задание

1. Ефимов, Поспелов, т.З, №№ 12.408 — 12.449

2. Т.Р. №№ 3,4 — доделать (найти вычеты), № 5 (сделать свой вариант в

тетради для Т.Р., быть готовыми решить аналогичную задачу любого

варианта)

3. Т.Р. Теоретические упражнения №№ 22, 24. В № 23 допущены

опечатки, найдите их и исправьте, сделайте это задание с

исправленным условием.

Распознанный текст из изображения:

Занитие 9

ТФКП 4семестр

Интегрирование функций комплекеного переменного

Необходимые сведения

Для вычисления интеграла от функции г(г) по кривой у необходимо

выбрать параметризацию кривой г = ст(1) = Д~)+!и(~), а <1 < Ь, после чего

криволинейный интеграл сводится к определенному интегралу в

соответствии с формулой:

Ь

~~(г)йг = ~ЯстЯ)п'Яй

а

е Интегральная формула Коши для функции:

у( ) ! ~ Лг)~~г

у'

е Интегральная формула Коши для производной:

(и) и) ( Дг)аг

2л ( )и+1

+

При интегрировании многозначной функции необходимо выделять ее

однозначную ветвь.

Задачи для решения в аудитории

1.Вычислить интеграл от функции 1"(г) =1 по кривой у.

2.Вычислить интеграл от функции 1 (г) = г по кривой у.

З.Вычислить интеграл от функции Дг) = (г — а)", и ~ У

по окружности С: ~г — а = р,р > О~, ориентированной положительно.

4.Вычислить интеграл от функции 1"(г) = г+1 по следующим кривым:

а) у . ')г( = 1 б) у: )г! = 1,Кег > О в) у . '(г! =1, 1тг < О

г) у: отрезок, соединяющий начало координат с точкой 1+1

5.Вычислить интеграл по кривой у: Ц = А,А > О от следующих функций;

а) Кег б) 1тг в) г г) е

6.С помощью интегральной формулы Коши вычислить интегралы (все

окружности обходятся против часовой стрелки);

а) ) -' — «г б) ~ — «й в)

!г+1)=3 ф=2 )г — 1(=1/2

Распознанный текст из изображения:

ТФКП 4семестр

2

ф=1/2 )г — рг(=1 )г(=3

Какой другой способ решения Задания 6 можно предложить?

7.С помощью интегральной формулы Коши для производной вычислить

интегралы (все окружности обходятся против часовой стрелки):

з з

(г+/)=3 ~ ) )г)=2

(г)=3

)г)=1/2 ф=4 ф=3

Какой другой способ решения Задания 7 можно предложить?

8.Вычислить интегралы по заданным контурам (обратить внимание на

многозначность подынтегральной функции):

а) 1; у: Ц = 1,0 < агу г < рг /1 = 1 б) ~; у: И = 1,0 < ага г < гг /2; ь21 = 22а

р Жг

.3

г

у у

В) ~г 1.пгс3г;/.и( — 1) = ра

(г =1

Домашнее задание

< ) Я(г)(ф;

~./'( ) / - <~~/(у);

1 /(г)й

у

Здесь д =,/Ж' + и' — эдемене ддиим кривои, дв = яс*а~ на конвои,

1(у) — длина кривой .

З*.Доказать теорему. (№13.272): Пусть функция /'(г) дифференцируема в

круге )г — г,) < Л и непрерывна в замкнутом круге (г — г,( < А . Тогда значение

этой функции в центре круга равно среднсму арифметическому ее значений

на окружности, то есть

22г

У(го) = ~ /'(го+Ке 4 )о/р

22г,

4*.С помощьвэ теоремы вычислйть интегралы

22г 22г

а) ~ ац2(/+ е''/')йр б) ~ соа(/+ е' /')йр'

0 0

1.Ефимов-Поспелов, том 3, №№ 13.230-13.242, 13.243, 13.245, 13.247, 13.248,

13.249-13.256, двумя способами №№13.257-13.271

2*.Доказать следующие оценки для интегралов от функции, непрерывной на

кривой у: