Задача: Решённый вариант 9 (из Чудесенко)

Распознанный текст из изображения:

/ 1 « ~ р и я вероятностей/ 2003

)~;ии~ий материал подготовлен на принципах информационно- и ультационного материала с целью закрепления у школьников и длп ов навыков практической реализации знаний, приобретенных ~п,армс курса по теме «Теория вероятностей». Настоящий материал дуем атривает широкую вариативность приемов и методов рсплспйя полного курса в объеме семестра по разделу «Теория и» пюстей» в «Высшей математике». Рекомендуется изучение шого материала в сопоставлении всего объема предложенных исциЙ.

Задача 1

Бросаются две игральные кости. Определить вероятность

того, что:

а) сумма числа очков не превосходит 3,

б) произведение числа очков не превосходит 3;

в) произведение числа очков делится на 3.

тавим две таблицы — сумм и произведений числа очков:

В серии представлены консультационные ~юсобия ~ ~о

следующим темам:

Интегральное исчисление

Дифференциальные уравнения

° Кратные интегралы

Ряды

е Теория вероятностей

° Пределы

ТФКП

Аналитическая геометрия

Линейная алгебра

Поскольку выпадение на игральной кости любой цифры, от

единицы до шестерки, является равновероятным событием,

то также равновероятным событием является выпадение

любой комбинации из двух цифр на двух игральных

костях. Тогда становится возможным применение

классического определения вероятности, как отношения

числа благоприятных исходов к числу возможных. Исходя

из этого, определим искомые вероятности:

а) вероятностью того, что сумма числа очков не

превосходит 3, является отношение числа ячеек, число в

которых не превышает 3, к общему числу ячеек в таблице

сумм., равному 36:

3 1

РА

36 12

Аналогичным образом определяем остальные вероятности:

б)Р, =—

5

20 5

в) Рв = — = —.

36 9

Распознанный текст из изображения:

Задача 10 Два игрока А и В поочередно бросают монету. Выигравшим считается тот, у кого раньше выпадает герб. Первый бросок делает игрок А, второй — В, третий — А и т.д, а) найти вероятность победы А не позднее 1-го броска; б) каковы вероятности выигрыша для каждого игрока при сколь угодно длительной игре?

(1=4) Вероятности выпадения герба и цифры для монеты являются одинаковыми и равными Й. Тогда вероятность того, что А выиграл на первом броске, равна!4. Если после этого В проиграет (вероятность Ы), то с вероятностью Х А может выиграть на втором своем броске„т.е. вероятность победы А на втором броске равна (Ы) . Т, о. вероятность победы А на 1с-м броске находится по формуле (Ы)~~'. Чтобы найти вероятность победы не позднее 4-го броска, необходимо сложить вероятности победы на 1-м, 2-м, ..., 4-м броске, т,е.: « =2.,„, -0,664 Чтобы найти вероятность победы А при сколь угодно длительной игре, следует положить 1с — > о. Тогда вероятность можно вычислить по правилу нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

гО ~=~«ч" =—

1-Ч В нашем случае: и=! и=!

2 3 3 Соответственно. вероятность победы игрока В: Р,=1 Р,=1 2„=1. Ответ: Р = 0,664; Рд = 2/3; Рв = 1/3;

Задача 11

Урна содержит М занумерованных шаров с номерами от 1 до М. Шары

извлекаются по одному без возвращения, ( М = 3 )

Рассматриваются следующие события:

А — номера извлекаемых шаров образуют последовательность 1,2,,М;

 — хотя бы раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения;

С вЂ” нет совпадений номера шара и порядкового номера извлечения.

Определить вероятности событий А,В,С,Найти вероятности при М вЂ” +"-о.

Для того, чтобы номера всех шаров совпали с порядковыми номерами

извлечения, требуется каждый раз вытаскивать строго определенный

шар. Вероятность этого при наличии и шаров в урне рав««а 1/п. Тогда:

1 ! 1 ! 1 !

Р(~) = — — — "

Так как совпадения номеров являются совместными событиями, то

Р(В) вычисляется по теореме сложения вероятностей (В; — событие

совпадения «-го шара с «-и нол«ером):

м л! м !3-! «2-!

Р(В) = ~ Р(В,.) — ~ ~ Р(В! В! )+ ~ ,'» ~~» Р(Б, В! В! ) †...

!=! !!=21!=! ~.,=з !, =3 ч =!

Рассмотрим слагаемые этой формулы поподробнее:

М М-1 М вЂ” «+2 М вЂ” «+1 М,=! ' М

М вЂ” 2М вЂ” ЗМ вЂ” «,1М вЂ” «,— 1М вЂ” «,— 2

Р(ВВ ), ',

М М вЂ” 1 М вЂ” «+2 М вЂ” !+1 М вЂ” ! М вЂ” «,— !

! !«и — !)

М «! +! ! ! (М 2)! '~ ! л! С (М вЂ” 2)!

М вЂ” 1,— 1,+2 М вЂ” «,— «,+1 М(М вЂ” 1) М! ~,~ ' ' М!

Остальные слагаемые рассматриваются аналогично, Запишем

исходную формулу в более простом виде и подставим числа:

р!в! 2 м

м ( — 1)мс'м(М вЂ” 1)! м ( — 1)м с' ( — 1)! ~ 2

!=!

События В и С являются несовместными событиями, из чего следует

формула для вероятности события С:

Р(С) = 1 — Р(В) = 1 — 2/3 = 1/3

Найдем предельные значения вероятностей при М -+ ~о:

1 м(1)н!

1««п Р(А) = 1ип — = 0; 1пп Р(В) = 1пп ~ = 1 — 1/е;

М-+сс ' М-+са М! М вЂ” ка м — >ж

1пп Р(С) = 1- 1пп Р(В) = 1/е;

м-+со М вЂ” ~со

Ответ: Р(Л) = 1/б; Р(И) = 2/3; Р(С) = 1/3.

10

Распознанный текст из изображения:

Ответ: Р=0,0549

Ответ: Р=0,34

Задача 12

Из 1000 ламп и; принадлежат 1-й партии, 1 = 1, 2, 3, ~ и, = ) 000 В первой партии б%, ао второй 5%, а третьев

~=!

40~о бракованных ламп Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа— бракованная.

Выразим через п1 и п2 число ламп в третьей партии, зная,

что общее число ламп равняется 1000:

и, =1000 — и, - и, = 1000-630 — 230 = 140

Определим вероятности того, что взятая наугад лампа

принадлежит к первой (событие А1), второй (событие А2)

или третьей (событие Аз) партии:

Р(А,) =

1000 100

Р(А )=

1000 100

Р(А,) =

1000 50

Зная вероятность выбора бракованной лампы в каждой из

партий, можно, применив формулу полной вероятности,

определить вероятность выбора бракованной лампы в

целом:

Р = 0,06-Р(А,)+0,05.Р(А,)+0,04 Р(А,) =

= 0,06. + 0е05 + 0,04 = 0,0549 63 23 7 100 ' 100 50

Задача 13

В первой урке М) белых и М черных шаров во второй

белых и Мр черных. Из первой во вторую переложено К

шаров, затем из второй урны извлечен один шар.

Определить вероятность того, что выбранный из второй

урны шар — белый.

Для решения этой задачи следует воспользоваться

формулой полной вероятности. Нам придется рассмотреть

полную группу попарно несовместных событий,

представляющих собой случаи разного количества белых

шаров, перемещаемых из первой урны во вторую. Будем

обозначать их Х=п, где и — количество белых шаров среди

К перемещаемых.

К

Р = ~~~ Р(Х = и) Р(Аи„) = ~Р(Ы = п)Р(А „)

0=0 . 0=0

Рассмотрим каждый из множителей:

Р(Хе и) — вероятность в числе 4 шаров из первой урны

набрать и белых. Ее легко определить, используя понятие

сочетания из х элементов по у:

Си «~4 — и

Р(М=п) =

с~о

Р(А„) — вероятность взять из второй урны белый шар, если

в нее добавили и белых и К-и черных шаров;

Р(Аи) = „

3+и 3+ в

3+3+4 10

Тогда;

1 Си С4-и

Р = ~~~ Р~М = 1т)Р(А „) = ~~>

0=0 и=О )О

Распознанный текст из изображения:

Задача 14

В альбоме 1с чистых и 1 гашеных марок. Из них наудачу

извлекаются ш марок (среди которых могут быть и чистые

и гашеные), подвергаются спецгашению и возвращаются в

альбом. После этого вновь наудачу извлекается п марок.

Определить вероятность того„что все и марок чистые.

10 Для решения этой задачи также следует использовать формулу полной вероятности. Случаи, когда среди 4 извлеченных марок оказывается от 0 до 4 негашеных, образуют полную группу попарно несовместных событий. Назовем их событиями А;, где 1 — это количество извлеченных негашеных марок. Вероятность извлечения 1 негашеных марок среди 4 случайно извлеченных определяетея с помощью уже знакомых формул комбинаторики:

С', С, '' 1017!4!13!

(А) С", Ы(10 — 1)1(4 — )!(3+ 1),171 Так как все извлеченные чистые марки подвергаются спецгашению, то для каждого случая А; меняется ' вероятность извлечения чистой марки, После гашения в альбоме оказывается (10-1) чистых марок и (7+1) гашеных. Вероятность извлечения чистой марки при 1 погашенных в первый раз (событие В;) определяется несложно; Р(В, Применим формулу полной вероятности: Р=~Р~А,)цв,) =~ ~=0

ж 11(10 — 1)! (4 — 1)1(3+1) 1171 (1 0 — 1) 116! (9 — Ц 11 71

Задача 15

В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов., при ~ем 1-Й завод поставляет ш,% изделий (1 = 1, 2, 3). Среди изделий 1-го завода п;% первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено 1-м заводом,

п2

ш2 п13 п1

90

30 30 80

80

40

Рассмотрим вероятности, входящие в эту формулу.

Р(Нз) представляет собой вероятность того, что купленное

изделие выпущено 3-м заводом и равна 30%,

Р(А/Нз) — это вероятность того, что изделие является

первосортным, при условии, что произведено 3-м заводом.

Тогда легко заметить, что эта вероятность равна 90%,

Таким образом, формулу для искомой вероятности можно

записать в следующем виде:

тп,п„ 30.90

Р(Н,/А) =, ' ' = = ОД25

4О.КО + ~0 80 ~-30 90

п~,п,

Для решения этой задачи следует применить формулы Байеса. Обозначим покупку первосортного изделия, как событие А, а событиями Н~ — то, что купленное изделие выпущено 1с-м заводом. События Н~ образуют полную группу попарно несовместных событий. То~да ф~р~у~ы Байеса дают следующее выражение:

Р(Н,. /А) =

Р(Н, ) Р(А / Н.„)

* ,'„Г~Н,~Р~А~я,~

Ответ. Р=О,45

Ответ: Р(Н, /А) = 0,325

Распознанный текст из изображения:

Задача 16 Монета бросается до тех пор, пака герб не выпадает и раз. Определить вероятность того, что цифра выпадет ги раз. Вероятности выпадения герба и цифры равны ',4. и-й герб должен завершать последовательность, значит, нужно найти вероятность, что в серии из (и+т — 1) бросков выпадет ги цифр и (и — 1) гербов и умножить ее на !У2 (вероятность выпадения и-го герба). Используем для этого формулу Вернулли:

1,,; 1 9! 1 63 1 Р (4) = — С'р'Ч' = — — = — (р=Ч=-)

2 2 4!5! 2 512 2

Ответ: Р9(4)с 63/512. Задача 17 Вероятность выигрыша в лотерее на один билет равна р. Куплено и билетов, Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность. :: При биномиальном распределении вероятностей, имеющем здесь место„наивероятнейшее число успехов определяется следукнцим образом:

(и+1) р — 1=5 (и+1) р =15 0,4=6 — целое число== т, =

(и+1) р = 6 Найдем вероятность выпадения то успехов, т.е. покупки наивероятнейшего числа выигравших билетов (не играет роли, которое из полученных то будет взято):

14!

Ры(1п,)=Р„(5) = С',,)р е1 = С)',р (1 — р) = .0,4'.0,6' = = Ос207

Ответ: 1П)) = 5 или 6; Р„(1ио) = 0,207.

Задача 18

На каждый лотерейный билет с вероятностью р) может

выпасть крупный выигрыш, с вероятностью р2 — мелкий

выигрыш и с вероятностью рз билет может оказаться без

3

лыигрыта,~~ р, =\. Куплено п билетол. Определить

~=1

вероятность получения и1 крупных выигрышей и и2

мелких.

и) Р1 рр

И1

15 2 1 0,14 0,16

Для того, чтобы решить эту задачу, следует применить

формулу для полиномиального распределения

вероятностей. Требуется найти вероятность того, что в и

испытаниях и) исходов будет благоприятны для события с

вероятностью р1, и) — для события с вероятностью р), а (и—

и1 — и,) — для события с вероятностью (1 — р) — р2):

Ри(2,1,12) = ' -0,14 .0,16' 0,71 =0„059

151

2!Р12!

Ответ: Р15(2,1,12)=0,059

Задача 19

Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при

каждом вызове равна р. Поступило и вызовов. Определить

вероятность ш «сбоев».

0,01

1000

Так как и велико, то для биномиального распределения

следует применять приближенную формулу следующего

вида;

,т

1 пт — пр 1

Р, 1ш) ~р1л), где л =, фл) = е ',ц =1 — р

прс) (прг) я лп

Подставив а зту фориулу значения т. и и р, численно

определим искомую вероятность:

Р„(ги) = 0,0805

Ответ. Р„(т) — 0,0805

Распознанный текст из изображения:

Задача 20

Вероятность наступления некоторого события в каждом из п независимых испытаний равна р. Определить вероятность того, что число т наступлений события удовлетворяет следующему неравенству: ~) < 1п < 1~~

и

100 0,75 65 80

Для такого биномиального распределения следует

применять приближенные формулы. Поскольку прц>9, то

будем использовать асимптотику Муавра-Лапласа:

ш — пр

Р (х, « х,) = Ф(х,) — Ф(х,)

,„,/прс1

х

Ф(х) = — /е ' й1

Л,

Свяжем, используя эту формулу, х) и хг с 15.) и 1~~.

Р„(х, /прц ~- пр < т < х„г/прп ~- пр) ~ Ф(х,) — Ф(х )

.Выразим х~ и х2 через Е) и 1с2,.

)~, -пр 65-75 — 10

„/1Р8+пр=8, х, = ' = = -2,51

/щ ) 18,75 /) 8,75

К,— пр 80 — 75 5

~/Ори 18,75 18,75

Задача 21 Дана плотность распределения р(х) случайной величины Найти параметр у, математическое ожидание М... дисперсию функцию распределения случайной величины ~, вероятность выполнения равенства х1<Ц<х,.

а, х~ ~у,Ь], р(х) =

О, х ~ ~у,Ь1. Случайная величина Ц распределена непрерывно. Зная, что интеграл от плотности распределения по всей оси х равен единице, найдем параметр у: л ь ь

1

х р(х)йх = „8ас1х = ах = а(Ь вЂ” у) = 1 ==> ) = Ь вЂ” — = 1,8 — 1 = 0„8

а

у у Математическое ожидание нелрерывнои случаинои величины можно определить следующим образом:

ах а(Ь вЂ” ) ') 1 (3,24 — 0,64) 8ц= 1х р(х)йх= 1ахйх= — = = ' ' =1,1

2

-Ж у 'у Для непрерывной случайной величины дисперсия вычисляется по следующей формуле;

оЭ О1 = ((х — Ми' р(х)йх = ((х ' — 2ХМ1 ~ М' ир(х) йх = 1з з

(Ь у7)М~+(Ь вЂ” )')М ~

5,832 — 0,-512 (3 24 0 64).13+(1 Я 0 Я) 1,69 = 0,083

Запишем приближенную формулу в виде,

удовлетворяющем условию задачи:

Р оо(65 < п1 < 80) = Ф(1,1 5) — Ф( — 2.31) = 0,37~ + 0,49 = 0,865

Ответ: Роо(65 < 1п <80) = 0,865

. у О 8. М~ = 1 3 1)~ = 0,()83„. Р(х) <(,<х2) — О ~

Найдем функцию распределения случайной величины ~:

х х

Р( (у Ю = )р(х)й = ) й =и( — 7);Р( < у) = 8;Р(х ~ Ь) = 1

— Ж у

Определим вероятность выполнения равенства х1<~<х:

Р(х( < ~ < х,) = Е(х,) — Е(х) ) = а(х „— х, ) =. 1 (1,6 — 1,3) = 0,3

Распознанный текст из изображения:

3Щ!.8!.4!

С'„2!-1!.6! 3! 12!

Ответ: Р = 0,509

Ответ: 1~ = О,1 56

Задача 2 Име1огся изделия четырех сорто!1„!!1)!!~!см ~!!!! !!!! !! !!!! !!!!!! 1-го сорта равно п;, 1=1,2,3,4. Для контроля !!!!уд!! !у !!сру рея ш изделий. Определить вероятность того, что среди ннх н1! первосортных, 1т12, п1з,пц второго, третьего и чс!!!ср!!!! !> сорта соответственно ~т, = т,~н,. = и

ПЗ П ! Ш ! П12 П1З 1т14

Существует С,'; способов выбрать произвольное 1~- элементное неупорядоченное подмножество из неупорядоченного и-элементного множества, следовательно, существует всего С,",' способов выбрать т из и изделий, не учитывая порядок, в котором они будут выбираться.

Согласно основному принципу комбинаторики, существует

С, С!, - С., - С!, способов составить требуемую в условии

выборку.

Тогда, используя классическое определение вероятности, приходим к выводу, что искомая вероятность Р определяется по следующей формуле..

С' - С'„- С. - С', Сб 2!.2!-1! 1! 2! 11-1!.1!.11!

Задача 3

Среди и лотерейных билетов Е выигрышных. Наудачу

взяли т билетов. Определить вероятность того, что среди

них 1 выигрышных.

Существует С',; способов выбрать произвольное 1сэлементное неупорядоченное подмножество из неупорядоченного и-элементного множества, следовательно, существует всего С'„" способов выбрать п1 из и билетов, не учитывая порядок, в котором они будут выбираться.

Согласно основному принципу комбинаторики, существует

С, . Сб способов составить требуемую в условии выборку.

Тогда, используя классическое определение вероятности, приходим к выводу, что искомая вероятность Р определяется по следующей формуле:

Распознанный текст из изображения:

Задача 22

Плотность распределения вероятностей случайной

1

величины ц имеет вид р(х) = уе" '~х" . Найти: у,

математическое ожидание М~, дисперсию Вс;, функцию

распределения случайной величины ~е вероятность

выполнения неравенства х) <с<х2.

Ь с х( х2

— 2 — 4/3 2/3 — 1/3 2/3

Для начала произведем следующее преобразование р(х);

р(х) = уе= = уе

— 2х — 4х/3+2/3 — 2(х5-1/3) +8Л

Следует заметить, что выражение для р(х) напоминает

плотность вероятности нормального распределения.

Подберем соответствующий параметр у:

(к+1/3)2

/2л»т 2о''

— Я/Я

у= ' =0328

~/2ла

Так как мы пришли к нормальному закону распределения,

то можем установить его параметры из формулы для р(х):

1, 1

Мс = — —;В~ = »т

3 4

Функцию распределения случайной величины с можно

найти следующим образом:

х у (х+1/ 3)

Е(х) = )р(х)ох = ) — е ' Лх = (у = 2(х + 1/5)) =

2х

2

2(хе) '.П )

е - '0у = 05 + Ф(у) = 05 + Ф(2(х + ! /5))

Л

Теперь найти вероятность выполнения неравенства х(<с<х2

несложно:

Р(х, < Ц = х,) = Ф», ) — 1'(х ! ) = Ф(2) — Ф(0) = 05477

Ответ: у = 0,328; М(',= — 1/3, '1/(',= 1/4; Р(х) <~<х2) = 0,477;

1. (х)= 055+ Ф~2(х+1/3)1,

20

Задача 23 По данному закону распределения случайной величины найти характеристическую функцию»р(1)„математическое ожидание Мс, дисперсию Б~ случайной величины Р,

0,25 Закон распределения: Р«с = 1») = С,'; р' (1 — р) и ", 0 < р < 1; Е = 0,1,..., и. Так как с0 — случайная величина, распределенная дискретно„то найдем характеристическую функцию через формулу для дискретной случайной величины:

П П р(!) =Хе"'Р =К '~;РУ(1-Р)п "=

П = ~ее ру(! — Р)" Р = (используем формулу

1»1(и — 1»)1 бинома Ньютона) = (е" р+1 — р)п = «0,25е" + 0,75)4 Математическое ожидание дискретной случайной величины определяется следующим образом: и и

и' М1=ХХ,Р,=а!с ' Р"(1 — Р)'" =и Р=4 025=!

1»! (и — 1»)( Дисперсия дискретной случайной величины определяется через математическое ожидание этой величины:

П П ()с = ~(х, — М~)'Р„. = ~(1с — ер)'С,",р" (1 — р)"" =

);=о ):=!) П

и! =К((с- Р) р"У(! — Р)' "=(! — Р) р=

1»1(и — р)! = 0,75 4 0,25=0575 Ответ: (рф = (0,25е "+0,75) Мс =1 0~ = 0,75

Распознанный текст из изображения:

Задачи 24 Зная закон распределения случайной величины с, найти характеристическую функцию (~) «т), математическое ожидание Мс и дисперсию 0~ случайной величины Ц. Случайная величина с распределена равномерно на отрезке ~а,Ь~. Тогда плотность вероятности описывается следующим образом:

— х е(а,Ь1 р«х) =

О, х~ ~а,Ь~ Характеристическая функция непрерывно распределенной случайной величины находится с помощью прямого преобразования Фурье:

ь ~рф= )е"'р(Х)ЙХ = )ех" — ЙХ = еех'

Ь вЂ” а 1««Ь — а)

1««Ь- а) 311 Для равномерного распределения математическое ожидание найти несложно:

х х' Ь вЂ” а а+Ь м( = )х . р(х)йх = 1 — Йх =

, Ь-а 2«Ь-а) 2«Ь-а) 2 4+7 11

2 2 Теперь найдем дисперсию случайной величины с:

а+Ь 1 х' О( = )(х — ме)'р(х)йх = 1 х — — Йх =

2 Ь вЂ” а 3«Ь — а) «а+ Ь)х'- «а+ Ь)' х Ь' — а' «а+ Ь)' «а+ Ь)

+ — +

2«() -а) 4«Ь-а) 3«Ь-а) 2 343 — 64 «7+ 4) «7+ 4)' 3 3«7-4) 2 4 4

1 Ответ: «р®= — «е'" — е'" ); МЦ=11/2. 0~=3/4.

31«

Задача 25

Дана плотность распределения рДх) случайной величины

Най

айти плотность распределения р„«у)е математическое ожидание

Мт~ и дисперсию Эт~ случайной величины п, которая

представляет собой площадь круга радиуса

р,.«х) =

1Я«Ь а), х е ~а,Ь1,

О, х ~ ~а,Ь~.

Для начала следует выразить т1 через с и наоборот;

Найдем плотность распределения р„«у):

е < х(~~ х < )» ~ ее'х < (у < )е<х ~ рх < у < 2 хе

р (у) р [~р( ))/~р ( ) 1~4хху,у б ~9х;25х1

О, у ~ ~9„;25,1

Наидем математическое Ожидание МЧ

25х 5/2

м)= 1у р„(у))у= 1у )у=у

„4 Б 6,/л,

Найдем дисперсию Вт1;

25х

()ч= )(у™)) 'ря„(у))у= 1 у ')) е)у=

25х

4~т~ 9„

— у — 2у~ ~Мт1+у и М'т1

25х

у 2у'"Мт1

9б4

= — х

45

) ~4Я, у е (ее;еех)

От~ет Р «У) = Мт1 49т«,«5 ~), ~б4т«2Д

у а [9)т;2~)т~

Распознанный текст из изображения:

(э(Р) ОсР( ОУ( . дУ, О(Р (АР ОУ[ Ь2

ау

— — Б1п 2у 2

Ьу,

— соя2у 2 2

а соз2у,

= 2аЬу соя' 2у, +

Ь Б1п 2у,

+2аЬу,ятп 2у, =2аЬу,

Т,к. а>О«Ь>О и п>0, то )1~ = 2аЬ)у[ .

Рассмотрим функцию р, [ср, (у,, у, ) (р, (у, у, )~:

р [(Р 1 ( г 1 «у 2 ) «ср 2 ( у 1 «у 1 ) 1

2ттаЬ

г /,2

1

У;/ 2 . 1 1 'у!

— (соя нуг+хш нух)

2тсвЬ 2ттаЬ

Подставим в исходную формулу найденные значения; р„(у,у,) = е - '2аЬ)у[(= — 'е '- 2т(аЬ тс

1~! -='

Ответ р„(у[, у,) = — е

те

Задача 29 По заданной плотности распределения рр(х[,х2) двумерной случайной величины (~[,с2) найти плотность распределения р„(х),х2) двумерной случайной величины (т1 [,т12), связанной взаимно однозначно с (Г [Д2) указанными ниже соотношениями,

,4--"~

2т~аЬ ~1 = ат11 соя пт1 „~ „= Ьт1 Йп гп1 „О < т11 < о;0 < т1, < 2т~ / и. Плотности вероятностей двумерных случайных величин связаны следующим соотношением: р„(у„у,) = р,[гр,(у,,у,),гр«(у„у,Я [1~, где1 — яхебнен (р «у„у,) ау, соз2у„ср„(у„у,) Ьу, яп2~ „ Вычислим якобиан, присутствующий в этом выражении:

Задача ЗО Двумерная случайная величина Д(„т1) имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области АВС.«т.е.

1/Я (х,у) ~ АВС р( у) = Я вЂ” площадь ЛАВС

0 (х,у) ~ АВС Определить маргинальные плотности распределения р„-(х) и р„(у), мат. ожидания М~, Мт1, дисперсии ЙР, 1.)т~, коэф. корреляции 1. Являютс5! Ли ~ и )1 независимыми? х ~ (01);у ~ ( — х;х) у н ( — 1;1);х н (0;[у) 2 Маргинальные плотности распределения найти несложно:

ее х р,(х) = )р(х,у)йу = )г(у =2х для х е(01)

ее [у[ р„(у) = )р(х,у)г(х = 1г(х =[у[ для у е ( — 1;1) Мат. ожидания и дисперсии также находятся легко:

ге з ' Мг,= 1х р (х)г(х=)2х'дх=—

3 3

1 О , 1 О мн= )у р (у)ну= 1у'г(у+ 1( — у')г(у=— Ч

3 3

— ге о -1 о — 1 Э~= 1(х — Мг)' р (х)дх= 1(2х( — дхгМ~-г2хМ'д)дх=

18 18

гг« о о11 = )(у — мн) р„(у)1у = 1у'0у — ) у'пу =—

4, 4, 2 Коэффициент корреляции определяется следующим образом

яр е« 1 х г = ) ) (х — Мг)(у — Мг))р(х, у)йхе(у = ) ) (х — 2) 2)уг(уйх = 0

-х — ее о -х Определим, являются ли ~ и 11 независимыми: р (х)р „(у) = 2х~у~ ~ 1 = р(х, у) ~ (, и т1 — зависимы

Ответ: р;(х) = 2х; р„(у) =[у1; М~ = 2/3; Мт1 = О; ВР = У! 3; 0т~ = 1/2;

~ и т1 являются зависимыми величинами.

27

Распознанный текст из изображения:

Задача 34 Известно, что случайная величина ~ имеет распределение

ьп Пуассона Р(с = ги) = е ", неизвестным является параметр

и11 а, Используя метод моментов, найти по реализации выборки (х),х~„...,х8) значение оценки а" неизвестного параме а а. х) х2 хз х4 х хб х7 хз и 43 39 41 45 36 42 41 37 70 Для применения метода моментов нужно найти ма~емати~еское ожидание случайной вел~чи~ы с и выборочное среднее:

еп 1и 1 8 МС=~хьр„= ~ е '=а; Х= — ~х,. =40,5

)т в=0 тп ьт )'=1 Выборочное среднее принимает значение, близкое к Мс. Отсюда найдем оценку параметра а.. .Х = а" ~ а8' = 40,5 Ответ: а" = 40,5. Задача 35 Известно, что случайная величина с имеет биномиальное распределение Р(~ = тп) = С,';рпи (1 — р)" "', неизвестным является параметр р, Используя метод максимального правдоподобия, найти по реализации выборки (х1,х~,...,хз) значение оценки р' неизвестного параметра р. Построим функцию правдоподобия 1.(р) и найдем р"' такое, что Цр"е) — максимальна: 8 8

1 > х, 560-'> х1 (.,„Р) =ПР(с=х„.)=(700' П,, р" (1 — Р)

1-8' 8 (70 — х )1х 1 Ц ) х (1 )560-х, (Р) А х (1 )560-х ( Р) с1р р(1- р)

Х 1 ~ Х вЂ” 560р"' = О ==.> р~ = — — = — ~ х,. = 0,579

560 560(;=1 Отвег: р'8 = 0,579.

30

Задача 36

Случайная величина ~ имеет нормальное распределение с

неизвестным мат. ожиданием а и известной дисперсией (т~, По

выборке (х),х,...,хп) объема и вычислено выборочное среднее

д

— ~ х; = а е . Определить доверительный интервал Лдя параиетра а,

отвечающий заданной дов. вероятности Р.

110 150 100 0,95

Доверительный интервал для математического ожидания а

нормальной случайной величины при известной дисперсии о

имеет вид:

Х вЂ” п,~т/ /и < а < Х+и,(т/ /и

Здесь Х вЂ” выборочное среднее, т.е. Х=а". Параметр и„

определяется с помощью таблицы и для Р=0,95 равен =1,96.

Осталось определить доверительный интервал численно:

110 — 1,96 10/450 < а <110+1,96.10/5/150 =~108а4 < а <111,6

Ответ. доверительный интервал а(-:(108,4;111,6).

Задача 37

Случайная величина с имеет нормальное распределение с

неизвестными математическим ожиданием а и дисперсией (т.

По выборке (х),х>,...,хп) объема и вычислены оценки

а"= — ~х, и(а )" = ~(х, — а")

неизвестных

и — 1;,

параметров. Найти дов. интервал для математического ожидания

а, отвечающий дове ительной ве оятности Р.

а

0,5

31 0,9

31

Доверительный интервал для мат. ожидания а нормальной случ

величины при неизвестной дисперсии о имеет вид:

Х вЂ” 1,~/ /и а Х+1, / /и

Здесь Х вЂ” выборочное среднее, т.е. Х»а~. Параметр 1Р определяется с

помощью таблицы и для Р=0,9 и п=>1 равен =1,697. Ос)влось

определить доверительный ингервал численно:

21 — 1,697 т(05)л! е а <2141697,/05Л1» 1ве4 е а е 2,316

Ответ: доверительный интервал ае(1,834,2,316).

Распознанный текст из изображения:

2я,

о"

25

50

0,8

Доверительный интервал для дисперсии о нормальной

случайной величины имеет вид:

(и — 1)о", (и — 1)о '

<о <

Х(2) Х!!)

2

Здесь т !)), т !2) — это корни следующих уравнений:

1+Р

2

) р,,(х)йх =

) рн,(х)Г!х =

1 — Р

2

Х(2!

Здесь р„)(х) — плотность распределения хи-квадрат с и — 1

степенями свободы. Корни этих уравнений находятся с

помощью таблицы, входами в которую служат параметры

чик:

1+Р

=15,66

ч =и — 1=24; 2 ~ (~)

— =332

Оо = Р)

2

Теперь, зная все необходимые параметры, определить

доверительный интервал несложно:

24 50, 24.50

<ст' < — — — ~36в145 < о' < 76,628

33,2 15,66

Ответ: доверительный интервал — о~ е ~36,145;76,628).

32

Задача 38

В результате и опытов получена несмещенная оценка

и

(!т ) ' = ~ ~х, — а") для дисперсии нормальной

п — 1;,

случайной величины. Найти доверительный интервал для

дисперсии при доверительной вероятности Р.

Задача 39

В серии из и выстрелов по мишени наблюдалось пт попаданий. Найти доверительный интервал для вероятности р попадания в мишень при доверительной вероятности Р=0,95.

30

В данной ситуации каждый выстрел является независимым испытанием. Число попаданий существенно отличается от нуля и от числа выстрелов, значит р не близко к нулю или единице, а п достаточно велико, Тогда можно применить асимптотику Муавра-Лапласа и получить следующую формулу для доверительного интервала для р:

р, <рср,

18

р"' =

зо

30 ир

1;) ~ + +

В этой формуле пр определяется по заданной

доверительной вероятности Р=0,95 и составляет =1,96.

Подставив численные значения в эту формулу, получим:

0,504 < р < 0,673

Ответ: Доверительный интервал для р: 0,504 < р < 0,673

Задача 40

В серии из и опытов событие А не наступило ни разу,

Определить число опытов п, при котором верхняя

доверительная граница для вероятности Р(А) равна

заданному числу р). Доверительную вероятность принять

равной 0,95,

1р, = 0,09)

Для данного случая, когда в серии из п независимых

испытаний событие не произошло ни разу, верхняя

доверительная граница равна ! — '.)! — 0,95 . Тогда:

р, = ! — т)! — 0.95 « ",/0,05 = ! — р, = 0.05 = (1 — р,)о" «

==~ п = 1оу(! .. 0,05 = 31,765; ~п~ = 32

Ответ: Число опытов равно 32.

Распознанный текст из изображения:

0 1 2 3 4 5 6 7

п11 41 62 45 22 16 8 4 2 Всего 200

Согласуются ли полученные результаты с распределением

а'

Пуассона ( Р(с = 1) = — е, где ~ — случайное число

пропущенных операций) по критерию ~ при уровне значимости

и? Решить задачу для заданного значения параметра а и для

сл чая, когда параметр а оценивается по выбо ке.

1,78

0,01

Для использования критерия ~ разобьем числовую ось на г=7

2

промежутков, объединив случаи с=6 и с=7, чтобы в каждом

разряде было не менее 5 выборочных значений. Величина у

характеризует согласованность гипотезы с опытными данными:

— ' -р, =~ ' ' 17,084

' 200 гп, ' (т — 200р,)

; о р, 200 ' ,, 200р,

Здесь л~, берется из таблицы (кроме 1=6, когда 1пб — зто сумма

табличных значений ~п~ и рп7), а р;=Р(~=1) (кроме 1=6, когда

р~=Р(~=6)+ Р(~=7)). Крит. величину ~ ' найдем из таблицы,

входами в которую служат параметры ~2=1 — 1=6 и а:

~(2 =1б,~]

2 2

Так как ~„<~(, то на заданном уровне значимости гипотеза

отвергается.

Для распределения Пуассона а"' известна из задачи 34:

7

а'= Х = — 2 1 111,. =18

200 м8

Найдем для нее значение у:

Хг =~

6 (1п,- — 200р,-)

200р,

2 2

'1ак как ( )~, то на заданном уровне значимости гипотеза не

противоречит опытным данным для случая, когда параметр а

оценивается по выборке.

Задача 41

Для контроля взяты 200 узлов, собранных на ученическом

конвейере. Число узлов ш„при сборке которых пропущено 1

операций, сведено в таблицу:

ПРИЛОЖЕНИЕ

Основной комбинаторный принцип

Если некоторый первый выбор можно сделать 1 способами,

для каждого первого второй можно сделать 1 способами,

для

ля каждой пары третий можно сделать з способами и т.д.,

то число способов для последовательности таких выборов

равно11с з ...

Способы составления выборки

Повторный — выбранный элемент возвращается в

совокупность из и элементов и может быть выбран вновь.

В этом случае существует и' способов составить выборку

из г элементов.

Бесповторный — выбранный элемент не возвращается в

совокупность из и элементов. В этом случае существует

пУ(п — и)! способов составить выборку из г элементов.

Классическое определение вероятности

Если исходы опыта равновозможны, то вероятностью

события называется отношение числа исходов,

благоприятствующих событию к общему числу исходов

опыта.

Геометрическое определение вероятности

Пусть точку А бросают наугад в область С7, причем

равновозможно попадание в любую точку этой области.

Тогда вероятность попасть в область д:

Р(А я д) = и, где мера — длина, площадь, объем и т.д., в

ф

Й'

зависимости от характера области.

Основные определения

Если при каждом опыте событие происходит, то его

называют дос17гоберныз1 и обозначают Л.

Если при воспроизведении опыта сооытие произойти не

может, то его называют неаоз11оэ1сны11 и обозначают О.

Если при воспроизведении опьпа событие может

произойти, а может и нет, то это — слу~пйное событие,

э5

Распознанный текст из изображения:

3

Ответ: Р =—

4

Ответ. Р(А)=0,781

Р(в) =0,219

Задача 4

13 лифт 1~-этажного дома сели и пасс;оки1~ов (и. !'). !',эя~дь~й

независимо от других с одинаковой вс1эоятпостью может

выйти на любом (начиная со второго) этаже, Опрсдсл~п ь

«сроятность того, что:

а)все вышли на разных этажах «событие Л);

6)по крайней мере, двое сошли на одном этаже(событие В).

Рассмотрим случай а). Всего существует (1с-1)" способов

распределить пассажиров по этажам. Однако, чтобы все

пассажиры вышли на разных этажах, каждый

последующий пассажир должен выходить на этаже, на

который не выходил ни один из ранее вышедших. Таким

образом, каждый пассажир уменьшает число этажей,

«разрешенных» для следующего пассажира на единицу,

Согласно основному принципу комбинаторики, число

с1юсобов распределить и пассажиров по (1-1) этажам будет

вычисляться по следующей формуле:

(1» — 1)!

(!» — 1) (Š— 2).(1с — 3) ... (1с — и) = — — — - — =А,",

(К вЂ” 1 — и)!

'!'аким образом, вероятность того, что все пассажиры

выйдут на разных этажах, равна:

А 3

Р(Л) = — ~„'~ =, Ф0,781

13' 13'101

Глу ии, когда хотя бы два пассажира выходят на одном

иаже и когда все пассажиры выходят на разных этажах

явля|отся несовместными событиями, а в сумме образуют

достоверное с0бытие Таким образом:

1'(В) = ! — Р(А) = 0,219

Задача 5

В отрезке единичной длины наудачу появляется точка.

Определить вероятность того, что расстояние от точки до

обоих концов отрезка превосходит величину 1й.

1=8

Схематично покажем единичный отрезок и точки,

отстоящие от его концов на 1/8:

Отрезок, заключенный между этими точками„ характеризуется тем, что любая его точка отстоит от обоих концов единичного отрезка более чем на 1/8. Таким образом, вероятность того, что расстояние от точки, появляющейся наугад на единичном отрезке, до обоих концов отрезка превосходит величину 1/8 равна вероятности того, что эта точка появляется в пределах центрального отрезка, длина которого составляет 3/4,

Используем геометрическое определение вероятности. Поскольку мы рассматриваем отрезки, т.е. одномерный случай, то примем за меру длину отрезка. Тогда вероятность того, что точка, появляющаяся наудачу на единичном отрезке, попадет в центральный отрезок, равна отношению длин центрального и единичн0го отрезка, т.е.:

Распознанный текст из изображения:

Т,

10

10

П остроим область, точки которой будут соответствовать

всем возможным комбинациям моментов начал событий. Горизонтальная ось будет соответствовать началу первого события, а вертикальная — второго.

12 Закрашенная область соответ-

М

ствует таким сочетаниям моментов начал событий, при которых сами события будут «перекрываться» по времени,

3 у'~

так как признаком «перекрытия» является то, что

д ~ моменты начала событий

отстоят друг от друга менее,

Т1 10,„,„-~""-"'- - ~~ чем на длительность события,

размещающего с я на оси

времени первым,

Применив геометрическое определение вероятности и взяв

в качестве меры площадь, можно прийти к выводу, что

вероятность отсутствия «перекрытия» по времени равна

отношению суммы площадей треугольников Л1 и Л2 к

общей плотцади построенной области:

Яя + Ям (103' — 10ю — Ощ)2 +(103' — 10<6 — 1)'-

Соответственно, вероятность «перекрытия» определяется,

как вероятность противоположного события:

Р(А) = Р(Б) =1 — Р(В) = 0,347

Ответ: Р(А) = 0,347; Р(В) = 0,653.

Зядячя 6

Моменты начала двух событий наудачу р; сирсдслспы в

промежутке времени от Т~ до Т2. Одно из событий длится

10 мин, другое — 1 мин. Определить вероятнос и, того, и о:

а) события «перекрываются» по времени (событие Л);

б) события с<не перекрываются» по времени (событие В).

Задача 7 В круге радиуса К. наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадает в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны Я1 и Я2,

2,29 Будем считать„что фигуры полностью принадлежат кругу. Назовем попадание точки в фигуру площадью Я1 событием А, в фигуру площадью Я2 — событием В, а в любую из фигур — событием С. С = А + В. Поскольку фигуры не пересекаются, то попадания точки в первую и во вторую являются несовместными собьпиями. Тогда по формуле сложения вероятностей: Р(С) = Р(А) + Р(В) Используем геометрическое определение вероятности, Так как мы рассматриваем двумерный случай, то в качестве меры следует взять площадь. Тогда вероятность попадания точки в каждую из фигур будет равна отношению площади фигуры к площади круга, в котором появляется точка: Р(А) =

~тК-' Р.С ~~ + Б, 2,29+ 3,52 Р(В) -' лК-

лК. Ответ: Р(С) = 0,015

Распознанный текст из изображения:

р1

с1, = 1 — р = 1 — 0,69 = 0,31 Ч, = 1 — р, = 1 — 0,46 =- 0,54

Р, =Ч" =0,31'- =0,096

Р, = с~,"' = 0,54' = 0,157

Ответ; Р = 0,0151

Задача 8

В двух партиях 1~~ и Е~% доброкачественных изделий

соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из

каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:

а)хотя бы одно бракованное (событие А) „.

б)два бракованных (событие В);

в)одно доброкачественное и одно бракованное(событие С);

По сути, процент доброкачественных изделий в партии—

это вероятность того, что одно наугад взятое из этой

партии изделие окажется доброкачественным. Найдем

вероятность того, что оба взятых изделия являются

доброкачественными, т.е. вероятность события А:

Р(А) = — '- — '= —. = 02805

~~! 1 2

100 100 100 100

Отсюда легко найти вероятность события А:

Р(А) = 1 — Р(А) = 1 — 0,2805 = 0„7195

Зная вероятность того, что взятое наугад изделие будет

доброкачественным, легко определить вероятность того,

что оно будет бракованным — 15% и 67;4 для первой и

.-второй партий соответственно.

Тогда вероятность того, что оба изделия являются

бракованными, находится по следующей формуле:

Р(В) = — = 0,1005

15 67

100 100

Чтобы определить вероятность события С можно

воспользовагься взаимосвязью между событиями А, В и С,

а также тем, что Р(А) и Р(В) уже известны. Из условия

видно, что верна следующая формула:

Р(А) = РР)+ Р(С)

Отсюда;

Р(с) = Р(А) — Р(В) = 0,7195 — 0,1005 = 0,619

Ответ: Р(Л) = 0,7195; Р(В) = 0,1005; Р(С) = 0,619;

Задача 9

Вероятность того, что цель была поражена при одном

выстреле первым стрелком р|, вторым — р2. Первый сделал

п1, второй — п2 выстрелов. Определить вероятность того,

что цель не поражена.

Для того, чтобы цель после всех выстрелов не была поражена, требуется, чтобы оба стрелка при каждом выстреле промахнулись. Чтобы вычислить вероятность этого события, нужно найти вероятность промаха. Зная вероятность попадания, это несложно:

Теперь, применяя теорему об умножении вероятностей,

найдем для каждого стрелка вероятность промаха при

каждом выстреле:

Чтобы определить вероятность того, что цель осталась не пораженной после всех выстрелов, в силу теоремы об умножении вероятностей, требуется перемножить . вероятности того. что цель осталась не пораженной после выстрелов первого и второго стрелков:

Р = Р~ Р„= 0,096- 0,157 = 0,0151