Материал для студентов по предмету Кузнецов (Высшая математика) Готовый вариант 5

Готовый вариант 5

Описание

Описание файла отсутствует
Картинка-подпись

Список файлов в архиве

1

Распознанный текст из изображения:

м1„ача

(» - -»- 3)'

=- (« —: 31' ' = Л(,2 —",

»! .»«! В! !'»В«к*,Ь1~!и '.— ' п(»»»гг1»к»л

с га! и а.

5!Н111Ферегнг!!г!.Ниыс ура!»пения'ЗПВЗ

Дагчг11яй к!Втсрг1гк! ног!го!Огк!сн на пргппгипак информацишшок»»нсулкгапиониО! 0 к1В1с»тиала 1.' п»!лью зак)зепления *»' 1икольн иков и 01«ьсп10В нав!»!кт»н«1!Ракгв1»гсской 1«егпиг1»аг1ии' з15аниЙ. Нриоо!Ке!»НИ!як в г»»б1ьсч«!0» курса иб тема «'Дифферснцг!г!Иьпые уравнения»:. 1«ас!к»яг!(ий магериап предусматривает широкулг» вариативность приемов и и !ОЛОВ закреплен!151 нс1лн010 кг)зеа в Объеме семес!)за ио раздел!' »»Лиг(11150)зенпггаг!ьп1ие «)ВВВнени51И В 1(Высптей магемгпике». Рекомендуется изучение;ганного материала в сопостыкении всего объема предло»жепных решений.

! 01й 1 и ОО!'н!Й»н!!с! (»11.! Иг»г(»1(»с(«снииг»л! Н»»~ » у(»»ии!Он»!5!

(()1ВСГ ИР» ДС!,НИ !!. В ИИД»

бтй — 0»й = 2» ! й — Зт» й

Д11инос '1«ВВИС1Н1с 51В.!5»е гся урависч1ис»!». 'Рггзз10.15Н»и!15!«1и''5»

нсрсмс»н!ь!м1», 1!(»0»к»»»;!И«см е! 0 к слс,1«и»И!ем«Вид«:

6.Ыл+Ззт (« =- 2.г» (; — 01й

йн!НН1 м,ги11К(1е)т иииа:!ы. Ьппг ооип1»." »ногкич»'.!и!

Зятек 2«:»!ъ

З.т(2 ь у' ]1!« = 2у(з — . '3)й: =-

(х +3) 25 у'

Г!роиите! рируем лев«и» и правую час ги вы(зазксния:

3»й - 2уй ~1.55(( « -ь 3) р((1 + 2)

(К, 3) 2-", !' " К -ЬЗ 0+1*

Взяв эти иитсгра.1ы, мгя получим общий интеграл Ванно!»»

уравнения. т. с. Совокушюсть рсгпеиий в неявном виде:

1.5! и к —,'-3: '= (п 2+ у' ,- С'

1!ривсг1см решение к требуемому ви,:г;:

1. 51п'к + 3' = 1п 2 —; -'- С' ~

11

Распознанный текст из изображения:

—:.,'1лып -'- «

1пдпча !1

1ййти реп«ение !«с; Р!и*.!'.с«и[и,

= 32совуспп' «

у!!) =: и '2

р'р = 32совуап' у

Ответ: у = агссГп14 — 4х)

рд!з = 32 сов увш ' ус1у

4~иГн)«спи$Н1ы,1впшс «!«««пп.зйо«. Ваппапз 3«.

у'11) = 4

11ронзвсдем сиедуюшую гамену пере«пенной:

бр с)р бу

." = р«у)

пх ««ъ' бх

Залише«п уравнение в новых переменных:

Перейдем к уравнешпо с раздепягоши«вися переменными,

Йр

учитывая. по р'= —:

бу

Прс«инте«ппп«см и'в«ю и лпав«н: «а; "и «равнения. 1!м)р =- ~. сов уч и «г!у =Вв!и у — (. ="

. !п4««!««««спи«««п «нные «йтп«п««п«п пи. 11а)л)а«яз х

асио и.'«««и вече« вч «[1! =:, *' 2 ',''1! «

4 =-:16епл"; — ! — С' =. С' = П =' у' — 4в!и у: —.

«1«1

=. — ----- = т)х ==> х + В =- — — с!' «: 4ып

Определим значение константы В;

уП) =- и'2 =.->1+В = — — с!п~ — !=-~ В = — !

4 "1,2)

Таким образом:

у = агсс1й~4 — 4х)

12-13

Распознанный текст из изображения:

— Р х — !'х

б!дхе ' — 6'!с

Гттв«!:

1"

,, "!! !1!21! 1 !Ь и! - г *' ! ~*'. ! ! н ! ы «' " и го ! ! с ~ ! ! ! н . 1!я !2 н ~ ! н !

1 !!!и!! н обн!«'.' р 'н! 'н1!с д!!'!!'!!«ренн!!! !ьно!" ! ! ршн!с!1! !я

д! о н«о,н!огк!,шо« . !н!лс!!г!о«' д!н!нЬсрсвн!!ан нос «!лани«ни«' 4-!о,'ь!ря;н'я. ! !о !хн!снн«явдяс!ся «зимой об!г!с!О !'е~!ения о,н!о!гк),н!о!» уран!н:ння и часпнн!' рсн!сник нео ш«ро.наго, ! 1айдем мошес решение. ддя чс! о «остшним характсри«!нчсскос ург!ннснис:

а' — а ' =- 0 = и, ! = !'!. а = 1

Тогда г!Йн!сс решение пуде! вь!гт!ги!егь так: у = Л - Вх -.- С'х -ь ГЗс'

Геперь нам нужно найти частное рсшеш!с неоднопо !ного

уравне! н!я. Буг!ех! искать его в сдедугощсх! виде:

у= х'!ах л- Ьх '-с)

По !став!лв д!о выра!к«н!ис в исходное уравнение. и!!:!5 нля!

следу!о!цне значения козффиние!пов а. Ь и с:

5 25

12 4 3

10!,!!и поднос 1)сшс нис .!н!/!.".)соснин!лы!о! !1 5рн!в!'«н!ля

огдет ! а!«н1!.

у = А Н х . ! 'х ' «н !З«о—

3

,г!!.,~!!нч)ен2!!нь !ьб!2 !с !'о;!и!!ения. !На!н!т!г!

Иа!!л -"'' сс1"'ис 'и'Ффс!"-' !н.''««у!'» '«-'.

у"' — Зу" -; 4у -- !1кх — 21)с

'Эт!! нес;цюро нн!«" дипсйш!с диф!рср«гни!аньнос л равнапш

по1зя,!ка. 1-! о р«н!ение яв!!ясгся сЗммой обн!с!и

решения одн !родни!о уравнения и частного рс!н«ння

н!.'о;!породного:

У = У, -!- 1 ~

Найдем о!би!сс решение, ддя че! о со!с ! авнм

хггра!«те!з!!с.! !л«!еское !равнение:

). — Зл. л- 4 = Н

1корни харвктерисгг! !ескгтго уравн«ния:

!и =-1 х! =' !.! =2

Тогда общее решение однородного дифференциег!ьного

уравнения будет вьггпядеть сне!гунн!ш!и образом:

у„, =С, с'+С, с-' л-С.'., х е!и

Найдем !нотное р«шение неоднородного уравнения. Ьудем

искать его в ст!еду!ошсы виде:

у,„= х(!л+ Ьхл!е '

Заашшем первые гри производные зтгн о решения;

у „= — атас -- сс — Ьх е ~- Ьхе

=,гкс ' — 2ас - Ьх с ' - !Ьхе

," = -ахе ' -- ас ' — 2;!е " - Ьх е'" — Збхе ' — 4Ьх«

14

Распознанный текст из изображения:

1" + 2хи-г5я =- — а!и 2х

) 8Ь:=- !Х

; ра — 12Ь = -21

Р!2) =-л +2л+5= О

)а =-! !Ь=1

~. = — 1 21 А, == — 1-, '21

у „, =- х)х — !)е

1нф(Ьсиси ива. гг огас '1 1!'~и~1сиин. 11а)и!*1.' '

! )и '; ~ гаи: ~ "!,!с; и~к.' ', и'~си~и' х исто инге ' сини и

иай.) 'и и!' я)'~Ь1~ч~ич! ~1~ '. и

.— их: ' —, зас -- Ьх ' ' — г11~хс ' — о!м ' и ахи — 2ас

— Ь: с"' — 4Ьхс ' - 1с ')-ах)а -, 'Ьх)с =-110х --21)с '

х ! -Ь -- 1Ь вЂ”: 4Ь !с ' — х ! — а —: ЬЬ вЂ” За -- ! 2Ь вЂ” 4а 1е

!Ла — ЬЬ-. Ьа — ЬЬ)с ' =- !1Зх --21)е

('осгаии1хг сне~ему ия двух урависнигп

Решением отой системы с1удут следугопцге чна гения а и Ь:

Подставим ати «начення в фо)амутг1 ддя частного решения

исо.шороднсп о уравнения н наг1лем сто:

1о, 'ли видное рси~-:.пне сигффсрс.шиа.ниии и уравне~ вя

0~лет так1гм:

— с -С с ' — ( х с'' — 'х!х-1!е

1ийчЬсогчниис гвири' '. Ра1виснин. 1>'байи н~ г

11айтн гипсе регпснис диг)1г',~ерсиииааьного уравнения:

3~о иеоднорсшнос ни~с!)иос днффсргиигнаиьное урлшсине и 0 ггорядка. ЬЬ 0 ргяиеиис ягс~яе1ся стммо!! оошсго решения однородного уравнения и гасгпо1 о решсшся неоднородного:

Найдем оогцее решение. ддя чего составим

характерно гнческос уравнение.

Корни харак ~ ернстнческого уравнения:

Тогда оои!ее пеи1ение однородного днфференннадыии.о

у)~авпсния оудеа выгнядети сдеду1оитнм обрааом:

11аг1дсга часнше рс!исги1е неодио)ягдиси о «раннеин»:

15

Распознанный текст из изображения:

7«псачн

! «.Ов 2х — 1Я1и .:;

— !и

: !«1«?Я2х - ! Ян!",хИ1-4!) '

1П!

1 — !4сО:2х- м!«2х)

17

у = у,, -!- м„„

Р!Х) = ).' -? 4 =- 0

)м = +21

у „=-С ООЯ2х '-1,«нп2х

«

. ! 121!!н!1«**!сч1«11«.!««! .'«, 1.* «нан пеннн. 11Я121010 !

«". 2 '-.Я« =

, !'!21!

! Огда !!бн1ее !?«пнсн нс «! удст '1«н«н?1:

1

Я =-т«, +:, = С'««'. "сов2х+ С",«'. ' яп2к -'- !4сов2х — в1!?2х)

17

!

Ответ: у =С с ' сов2х+ С:.е ' Я!П2х-? — - !4сов2к — Я!п2х)

17

,.«*1ф«',««'П~;.Н1«НЯ.1ВНЬН«««ННЯВН«?НП«1. !!!«РН!!1!1 ."'.

1)а!«1?! «««и!!!се !«сипение Гнн!«фс)«сип11:«Г«!.«!««1«« ' ра!«Пения'

т"-: 4«„=- НЯ1«1 к — !'?совх — '4с '

:)т0 нс0,1н««!?Одно«! *!Ннснн««е д!!фферс!?п!1а:1ы!«1с «р«!Ннсн!1«".

-10 н««рЯ;«ка. !!1«! ре1ненис Яв.!Яется сух!«!ОЙ ««Синс!'О !Яенгення 0 н101«к!дно!0 у!Яавнения и ч«!с!но!0 р«ч1гсння н еодн««!тпдн01 0:

Найдея! !1б!Нес решнени. Для него составим

хара!«те!тпс! н чсскос уравнение:

Корни характеристического уравнения:

'!2!Гд«а ОСнпес !те!Пе?!Не О.!Нородно!о д1?!11!Не)те?!1Т?н!Нино«с«

у)зав??ения Омд ет вьп:1ялеть спед' 101пим Ооразом.

11 ?1.?с«н ««ас1!Пт«реп!ен?!е нес.!!ПородиОГО «р«!Нн п?11«.

11пименнн «1рннп!н! с'««пе!Опав ««и!?!. Г!Нй) ?с«! ' !«стн!1с !Яе!Не«н«я 'П1я к!?!«?01с! '.н!Гас«1«н«11 01«Г«!н !я1««пн«х 1„д н«,!«д

« "«'*

16

Распознанный текст из изображения:

Е, =- ЬХ)П ) .-1П

р )

ЬХ!СОВ Х вЂ” )МЛ .Х!

рс"

) "— 9''' -~-1 Ям-- 1 — , 'с

уЕ')О)= О

у )0) = О

4е' е '

у" +4у=4е"; у =

Р!З 2

2 — 02 -?18 = 0

~,) =6 Р =3

= 2ХСОВ=Х вЂ” «ГИП ° Х +- —- )

..) Иб)1~и о) Пипа.н,пь)с ) ннн)0 )~ОН. ?2)1)рня)1) б,

— ОХС' !

у" — 4у = -бсоз2х: у = Ес

Р'Е2!!

— Е)хЕсоя2х --1Я!и 2х') ', .3

р.с, '- — — -'- --- — - ' — ! = — х Вп! 2х

4!

О 01т!ясно )!!з?1)!?пн1у с) нерпе)з!1!Н)н. '!астнос реп!е!1?)е неол!Ороднсн'о уравнения будет равно сумме частных ]зеп!с?!?! ?! д.'!я ка)кдо? О Гх!ВГаемо! О.

'1 о)д?! обп!ее реп)Е)ГИС Оуд.'1 )ЫИЯ);

) = у, — я ='1, Озя х -' !2. ВП1 х — х соя 'х — х!1п

.. ?1!Вне) )! оси )е н а, 1?* н) ) е ) и я р и с и и я ..! 5;и) п))п 01 '),

),)'1„!

~ 0112)и реп)сннс за та1п Ко))н):

)то нсодноро5!нос )п!не!т!Н))е,!Нфферен!Н)ВЕН,НС)е уравнение 2-1 о порядка. !.'Го правая -!)с!ь !Икона. '!го Гас! Пос решение )'Го)0 уравнени51 нельзя !Та!!ти мсг?з„'еом нодб)о)ра. 1!а!Едем Оошес !з пеепие. для ч!".ГО сост?)Виъ) ха1)аес!ариев.!еское уравнение)

Кори)! характеристического уравне?!ия:

10Гда с)бпеее р!."шее1и) Однооо'!?!010 диффеезенп!1)п)ь!)ого

'раВпення бхг!е'Г ВЕЯГГ151дет) с'Ес'!у!0)пих! Г)б)рс130хп

!1ж1дсх' час!?!о' решенно псоте)е))рот!Пе)!'О у)х)зне?п)5) )зспо!ьз' я д:1я ВГОГО ые;От В)рнапи11 поопзводьпьь'

17

Распознанный текст из изображения:

Г (':.'.: С. (х .

С, (х)с ' — (' (х)с ' ==.]]

= ]п(с ! — ]]и 1 — е ' ) - Л

С, (х)с"'+С, (х)с ' =О

С,, (х) = -е "С. (х)

]]

с

!1]] ]]оянх],(гни] нги ]с.н,н]]с те ]о;.]и,"

Вместе с т!та]]пениса]. почт'"]]]алн]]]]ся после нодсиа]оияи ]1]ы]ч]т]н]н! ]Ф) в исхо и ]с .нн(] )]с!зен](и]].(ьно]е у!Жвнснпс. мы поду гас]и следуьсннук снег м] уравнений с .изумя нензвссп]ы]ии:

Ое" 6С'] (х)е"'+ЗС, (х)е'" = —--- 1-' с' '

Выразиги С]'(х) через С» (х) с погиощыо первого уравнения

атой сне']вы] и

Иснодь швав вто1тое уравнение свете" ]ьь нол)еники

сл е,.() ы]ш ]» выражения:

В о,ги выражении В з]о я]]нег]н]га, 1сг]ерь н]](]дсх] С,(хй

,)н]йй]~ пенни!].]ь(ОО]]2 ] и ](]Ос]!)]я] Ья]п]ан г .

!

\ ]

Л вЂ” зто ]аяя]е яонстап]а. 1!оде]анни С,(х] н С.(х)

выражеш]е ддя у:

у =- !Зх — 1п(1ч-е') -:- Л)с"] —; ! — !и(! —,е"))з"

1!]тйдееи первого и!зоизводн)зо о] нодучеши]го выражения:

у' = Зе'(бхе" — 2е ' 1п(1 + с" ) ]2Ле" +  — 1п(1 --е" ))

Исходя из на ]альных условий. пай (ем константы А и В:

у'(О) = О ~ — 2 1и 2 ч- Л+ В = О =- Л+ В = 2 !и 2

у(0) = 0 ~ — с) 1п 2 + 6А + ЗВ = 0 = 3 А = 3 )п 2 ~ А = В = 1п 2

1огда решение задачи Коши 6]де] вь]гля]деть тик:

у = ~Зх — (]](1--е" ) — ', !п2~'" -'(1п2--1пД -; е")~

От нет: ' —:3 х — !л(1-ь е" ) -:- ]и 2 и" ' -' ()и 2 — й](1 — с" ) ь '

2-3

Распознанный текст из изображения:

1, ! а : !:.! '

!зып!я,ц.!Г! и'!к:

1

!' — и

и

3('!: .-11 — !! — 1 — 2 Зг — л

ГЛеласх! еще олн) замену:

л =и' — 'ц =-Г, !т

11олучим:

— з

1и!1!Фс~~~ ц! !и!, цьр! ц' "'пав!!ц!~и!! 1)апп!!!!!

1)а))! ! н ойцц!н цц !е! )1оз! льцффсрс!пи!альцо! о з ран!зец!!я

т

2! ' =-'-;.-- бх:-3

Зчо .!!и)!Фс)зс!и!ц;!.п,цое сравнение наЗьзвастся ~!лцор!цц!ь!з!

о!носнтслыц х и у. Ре!т!а!ь сцо с!!с,)мс! с помо!цыо

"-!елу!"~пец '!!"!сн!" !'ерсх!снн""':

!:=хя !' =:-'. т =='. 2(=+х )==. +б: —;3

па

Преобразуем ланнос уравнение. учитывая что = = —;

!!х

2хйс = (: ч-аа-~- зфт

У нас !ю!!у'и!лось уравнение с разде.!якпт!имися

пс)земец!1ым!ьь ! е!1!нм еГО!

!!х 2!(с с(х 2бя

х =- 4с+3 х (я+2) — 1

Проинтегр!!)зуеы левую и правукз части:

!й е !!'(я ч- 2) ! 2 а+ 2 — 1,'

-'- = 21-- — — — —. =~ 1п~х! = — 1и: — -',+ Г

х (=-:2)' -1 ' 2 ',ач2ч1;

Мы пол) ппи о!бцпий ин !еграл дифференциально! о

уравнения. 1)рслставим спо в вп,)е Ч'(хцу) = С':

2 '~- ' — 1,:=-'1' и+1

)их~= л)!з — -,'-: С вЂ” 1п.п=)!т::+ (3=-~ х =- А '

2,! —, 2-! 1

у

3

я —:!

-1

13 а!Ом выражении Л вЂ” ц)з!ц!!во.!ыц!я !пп; !ац!а.

. (ц!1:."ч!с!!с!и!3! !,!ьцыс з и!!кп!'цпч. )зй)п!:!и !

11!!и "ц о. ц~!ц! циз с! па! !!з!(и!!срсцц!!а.ц ьц'! !1 ) паицсцця.

1)а()лб~! з~, !я! !юрессчсц!!я прями!х ~ —, — '. — !: и Зт —; — ' = П..)зо зочка с ко рл!ц!д!тцц! )1.') 1)срсцссех!

на !а;ц! !зоор:цц!,и в з!! пьч!;~. т.с. сч«.!доз! !,!ме!и и = !, — 1.г =-,! — 1. 13 новых цср.мсш!ых ра!и!сц!ю б! !и!

)ч~, 1-2!-'!' (~-1)

) + !я = — .— -'Ф т!

3 — ! 3 — ! 3 — !

с!!

11рсобразусм лацное уравнение,; цтвывая что !' =

1(!*

(3 — ))с1! ь ь

(! — 1') !

1)райн'!с! рцруем ле!зу!о и правую -!асти;

— — 1 ' =-~;3 — !. = 2 — (! — 1) ', = )п Ч' =- 2 1 — ' — — '—

(! -1!

д(! — !

— — ==- — — — — !!ы 1 -:- !3 =:=' 1йт ! ! — 1) -:-- Г =

— ! — 1

2х — 2

1п,'и — с) —: = (.' =.' 1!ь! ч — я)' - — -- —.=. !

ц

1) эьох! и! "!х!",!сл!!ц! Л прои.! ! ь;"ч!я!ц)цсыц !и.

4-5

Распознанный текст из изображения:

":Агапа .'

Рс!и!! Гь за ш гг 1;оши

!адана 4

1',ай~и решение за снш Коши;

т впт 1 сов г

В = ! —. ' = !0.5х- -! 1И х - . ';

г

— — — — + 2.т. 1 1-1):= 3 ' '

Л

7

'/мо линейное ди~!)ферсппиадвнос .11авпснис. 1:го )гашение

наход?пся с помоинио !Решения соответствую!~[их

однородного и неоднородного )равнений. Сначала р шим

1

агшоролное уравнение ~ ' — = 0

г/1 '

1!реоо!зазуем данное у!зависпие., учигывая чго у = — '

г/т

аг с/т

): х-г2

Проинтегрируем левую и правую части:

г/!а —; 2) гг/у

— — = 1 — ' =~ 1 ~. + 2.', = 1 У -'; А =~ У =- а. ' ' 2)

х+2 У

Решим неоднородное уравнение методом вариации. Для

этого произведем подстановку;

У = Г!л)(х+ 2)

Тогда:

у' == С.'!х) — '1х+ 2)Г(х) ~

=--' С! х) —,'- ! х -' 2)Г(х) — С! х) = х- — 2х -'; х/х —; 2) =

=> '.'"!х) — -л =' С'!х) =-0.5.» -' /3 у = !О 5х —: В)!х--21

Я зпз,,„щцзаиснтги Я 1шоп. во шпая ~ и от*.цца

1

!н:!и! ~:Осмюлй.п пиг ~ и:.:.п~:, ~п,и !)а:чшпт ..

(сов2~ сов У вЂ”.т)У' =- и!и ~ сов;

Пресв раз) ем данное уравпглшс.

1 сов 2усо: '

,/г 1 ! х 'х

в~п усов г саа ''

(/х рт .т'

х!н/3) =1: 4

ф'

Зз о .панс!)пое дифференпиалз нос «равнение. 1:! о !аешсние

находится с помошвю )зсшения соотвсгсзвую1пих

одаоро цюго и неоднородного уршвнений. С'иа гаага решим

сделуюшес однородное уравнение:

1

т'+х — =О

в!и гсов г

аг Преобразуем данное уравнение.;чнтмвая чго 1' =- /г'

П!зоиптс~ рнруем левую и правую части:

6

Распознанный текст из изображения:

1'сн!ни, )а ))! н !.Оп)н

— ()п з —. ) ) 1п з Г(1) .= 1

,т! 1

— = — (п.)((п !. —:2)

)'

и =1) у ~ = ---'-= з(1) =1

1 огда

=Ф Г).т =- Р' Г)! = " + " = ! (! '

-ып' сояя я)п з с!!Нс ':!и Ясов'

Г1(соя' у) Г, 1 1

. И.5 ~ — —,— ' ' — " ' Г).5)! — —. — —,-- И((со: ))—

'(1 — сов у)Соь у (1 - сов )) соз' у

= 051п(сов' у) — 05(п((- соа у) Я В = )па = 05ш(соь! у)—

соа у

— 0,5 1п(1 — сов' у) л- В х = à — '-

ВН1 У

Решим неоднородное уравнение:

Используем я!Стоп вариации и произведем следу)ошуго

подстановку:

соа ):

япу

1, С'(у) сов у 1 С'(у) сов у

х' = — . С(у) н- -' — — я — — —,— С(у)+ я1п) у Б)п у в1п у а!и у

( (У) сов2усовтв

+ . -- — = — - — ("(у) = сов2у =О ' яп) у япу

сову

= С(у) = 0.5$тп2у ~  — х = (0.5в)п2у-- В)

.1П „':

Изгоя выражении В - произвольная )ГО)лс)ан)а.

5нлитн,ваЛ). нто х(п,'3) ==1,'4 по:)ун))см

Р— =-- х = (О 5 в!и 2:, ) — -"- -' = 0 5 . 2 Я(п у со: у -' -'-'= =- сов

а)п я

.': = сов 1. !.) н!ОСГн)СГ Гакгке Ге!Пс! Ис сов т =!!.

)СОНИЯ)ОС НР)Л:)Е))СН

)нн))л))с!)спн;).~.)д))ь)! Хпяп)н н(н;

1 *)).)с'п)1! Оос '!а~."1 и ) рав)н ния нй

111)н)звсг!сх! с.,!с;)т)о))))го заме)г Персис))нон:

Занин)ск! ) )рав))сш!с в е)оных персыенных:

,т —: = — 1п т((п т -.' 2) — .Г=' -Г з = 1п т(1п х + 2 )

1(роизвсдем епге о)ц)у замену перса)с)п)ой:

()10 неодноро'ы)ос .Тине!)ПОс д)л)рГ!)с(зсн)л)нз.)ьп))е уран)Ление 1-го пора:па). Рслназь его придетсЯ мего,)ом нроизвсльнон вгознацни нос!Ояннь!х. с)-1ь к01оро)О ак и и)асгся и )О:»„ 'Г)о) цсп)аеГся О"!но! О'нн)с с))авпснпс з зйт*'и )Гоне)11)Г)*.'. )!Оявивн'аяся:: .'0л па)с 1шге!; .')! !!Нн)ия. ~я ы;.:ляс)с) ;1)знкцнеи(: н р шас!Оя нсо:.ННРГ)гн)ОС !11)нн!Сян)с.

1) а)1(дохл с))5П)сг Гс))н:нн! ОГИ)Г!Полн!!, О ! р;)впс!ЦЛЯ:

7

Распознанный текст из изображения:

—, все х)!Ст; [2»п — 'ят)й:= и

0)с)о гя )п))),пея! С)() ):

6'(у) = О =~ 6(у) =- сопя

=)п х — В) х

6 гне

.(НП)~:,'.Кп! Н))пп)п;п)пс ) р;)!)и! Нпя. 1з,!')1В))! ) 1».

11срсй.)сп к»т)пннеяпп») с 1)ппп".Н)нппн)вися )!» реисппыян!.

,)я

У»)ИТЬ)В:П!. ')ТО

с)»

11роинтсг)»ирус)и лев) )О и прывуи) нв!.ти урвв))ен)п):

.! — — —.

--- =: — 1!)! =. )п,': = — ! — ' И) = = = С с '

Ре)пн)п )гсо,.пн)ро,:п)ос ) рпвнение:

Ис)п) )ьзуе»и я)е)т) т вг)ри)ппии произвопьпых постоянных \

произведя)и с )едун)тпун) ! !Оя!стяиовку:

= = С(!)е-'

'! огди:

я'= — Г(!)с''+Г(1)е ' =~

— С'(!)е ' + Су(!)е' ' + С(т)е' = т(!-н 2) -=> С'(т) =)(т+ 2)с' =~

С(!) = ~(()+ 2)е'й = ~т(1+ 2)с((с') = 1(1+ 2)е'—

— 2 1(! -,1)е'Й = )(1-н2)е' — 2(1н-1)е' + 2е' '- В =~

' Я = (1()+ 2)с' — 2(! +1)с н- 2е' +В)е ' = ! -; Ве

В зтоя! Вв)р)!)!»епии В -- произво.)вя)йя консты!тЯ.

Унп! ! ывпя. Ито:(1) = 1 ио.!» Ни)ет!

»)п)1)»1))»нс((пил. и)) )нп ) рхппсп!) я. Вп ))п)В;

11)й ! и Рд)пий нп !» г!»!))! Нп)!Н))с1)сп))п))п п»п о» р )Вн» пня:

'))и )рпнпеннс В по.п)),с» д))ФФерспп)п) )пх. ):)о рсшсппс спе;)ус! ))с!»Н)т), в вппс 1)(';,у) — 6(» ! — 6, Рпсс)п))рп»! !1)с)нкпи)о 1"!

7 = 1Г('г — 'увес п)пх = у)л." ):С.с) -';С"(п)

Г; = 2х) -'; )ит -!- 6'( ! ) == ).)з -)- щ =~

'1 огдв оС)п)ий интегр)!)! оудет выгля )етъ следунчпим

ооразояп

Б '))и)! Выр))жс)!и!! С .- Нрпизво.'и няя коне!пи п),

!)гн)*! ! —,, ))Ит = С

8-9

Распознанный текст из изображения:

За ю«[а Х

с[х) =-1[х) - — -[х - !

1 '1х)

1),—, [х):

11

.Л1!!5?:!Ви!?О? о,[?1ФФерсн!!!!1??и.и??? О, 1?аьи ген их мсз О [051 изок ?и!1 и!»с1»зонть Н1пс! ра. П*и» !О к)знвхю. Г1!Вохоляспхю

«!С)зс? !Т?«?кх:»«1:

! ' = ?м — 1)х. хг1[').Э! 2)

Воспользус='»!С5! ?см. 'Гп! " =1'-'! И?. Глс О у1од !как«п?на каса?сзн»!!ОЙ к н!!ГСГ)за)?ь?1«!Й криВОЙ В з?1!ГВ?НОЙ ?о»!к!.. !5арь!!)зуя ' ГО[1 [!.. мь! можсы 1?ос ц»опть посс наГЙ!ВВл!.ннй» а затем Г!)?свести через '!«!панн*»1О то'1км ннтсГ)зсо?ьну!О кривую. Формула лля ПГ!с!роения поля направлений дуле! выглядеть след) юп[нх! образом:

У == 1+ [а1?х)! х

На приведенном ниже рисунке построена искомая

?!Г!ТЕГ$И:?!»На?1 КРИВВЯ Н ЧВСТЬ В«.'К'10РОВ ПОЛЯ ПВПРВВЛСНИН

.'.[ля Г1?ех зна«1ений[ УГла Гх[Г л!4, 1), л'4):

,:,?1?1»',1!««Рс??1!Пй,?1»1?? !с» !?а?«ис??и?1. !».'?и1«и''1

! 1; Й О! .?ю)?и ',. Пр!Чи?»яис ь» ч? Поз 1?и?к» ' 1, и иб ?,'»,1!?!1»)??'. !«? 1сч сн~»йс1[?«зм '! и' ь ис»б[»Й с\." 1О'?к«М г!«~р!!«!.)ы! ь!Й В«'."к ГОГ М' с к»?ю«м ?а Осл)б)1 ??»!Сс?'.Ь??!Н1. !х?В)? И1«и»)образ!с[ ОС1;?ь!Н); ! О.) с ИО:1сжи)с.1ьиь[м ?1[?ир[?В«)си[?с»1 ?си [)1,

; )л«1ВП?Синс каса!с 1?ии'Й к функнни р[х ! В 1О'[к«.' хз:

у --= 1[к „) -ь ! [ х, )1 х — х „)

1 асс?И?!р[!ы и!зонин?:Иную то«!к) М». Прн1ГВ !!!сжаинсю

искомой линии:

М,[х»![х))

У)завиен!?е кас'пельной в ?очке М,:

уся) =-11') !'1 )! -- )

» равнение иормальнОЙ и)зямОЙ В 'зтОЙ жс точке:

) ь)а?)лс»? ! 1?1!Г» Г«с![то)»и

х

1

9-10

Распознанный текст из изображения:

.1,и5(и!!с!;-. и:ии!льиь!е ! 5!5(иие15ии. 1)я зи55и ! 5.

1)озис !Ох! !Я(!с !ас! и '1и чив!и ! Рс5:, ! о!ии5е!и.я Б кяа !Иа

,Х Х

и — х =--------;. =-' 1'(х) =---.—.— — 1. !лс!= 1 (! (х))

Исхог(5! Из т!З55й В5,!!Зазкс5и55!, Иайлех! !15уикцию 1! Х).

1 х г05!!(а —; )

Г(х) = ~ ..—.— т: — --=-). =-11"--з -::--==- =-1; -'-.'-' -С

х! а — х 'Ч' '! — Х

1ак как Мх! !з!З(зазует осг!зый угол с по.5озк!г!сльным

направлением оси Оу. то!

Г(х) =;!'и — х + С

Найпем С из услови55, иго 1(х) прохолит через заданную

точку М5!.'

М „(3,5) ! (3) = 5 — я 25 — 9 -я С = 4 + С = 5 = С =- 1

Таким ооразом, искомая линия описывается слелуюгцим

уравг!еи!!сх!:

1'(х) = х '5 — х — 1

От!хе !х,'; х ': -.-;, 25 — х-' — 1

! (!З(1З и !Ои!Зс си!сине хи!1!фсрсшиальик! ., равнения:

! !х!з ' —;' -', я!и

.у!х! гни|~фере!.Ииильиос ! равнение -!о !ю(зя !к:!. ! и!о и '

со !О(!Зк5г! и явном ниле з . яких! Оопп 50!!..5аи!им

,, и ~ффс(зси !зиа. !Ииос ' (гавиен ие 'ю и)скас ! !н!и5!И!К!и!е

с !еис!и! е и~ о!Оии ! 1 с !сл) к!ИхЙ зях!сяи ! и!и!емсЯиюй;

л= — м —. ' =З

'] о!Иа уран!иенце б) ле! Иыглялсть !х!к:

1~~(х(х' —; — 1 я!и '. = П

Ъо .шнс11иое уравнение. ре!пим с!ци!5!.н! ООО5веяст!зу!ощс

оппорояиос )ривиеиие:

г' — хс(о х == О

11)теоораз) см пивное) 15!г!знсиие. учитыва5! что х' = ~!х.'Я(х:

!)я

— = с(ях !)х

Мы получили 'рввиснис с разлелякипимися переменными.

Проинтегрируем левую н правую !асти:

~ х 'с(я = ) с!я х с1Х = 1п!х' = 1п!Я(5З х, ,'- А =~ я = С в(п х

11рименим мс !ол вариации произвольных постояши ии

и = С(х)я(!з х =- ("(х)я(пх !ах+ С(х)в!и х — С(х)я!!з(х ! ==

1 .„, Оозх, -!.Овх

— — ---.' Г'(х) =- -- — . — С(Х ! = — ! ---,— !)х =—

а!и х в!и х ' я5и' х ' я!!

,|'

В::я 7= — "-Вя|их: '';*= !! -' 'ВвиЗх (1

2в!и.;

1

з,и .',

1 — соя х '

Комментарии

Сопутствующие материалы
Дата публикации 18 августа 2013 в 16:15
Рейтинг -
0
0
0
0
0
Автор zzyxel (4,54 из 5)
Цена Бесплатно
Качество Качество не указано
Просмотры 289
Скачивания 106
Размер 4,83 Mb
Жалобы Не было ни одной удовлетворённой жалобы на этот файл.
Безопасность Файл был вручную проверен администрацией в том числе и на вирусы
Поделитесь ссылкой:
Свежие статьи
Популярно сейчас