ДЗ 8: Векторный анализ (Кузнецов Л.А.) вариант 2

Распознанный текст из изображения:

Консультационное пособие для

школьников и студентов в решении

задач с примерами решенных задач

из задачника автора Кузнецова Л.А.

Вариант 2

Москва 2005

Распознанный текст из изображения:

~~1~» ~~» Й~~1

~1.ао1,.1 =

~ дх ау с'7. !

Р— 2 хг=.!

Ответ: Ц = О.

,-„д-'-Е,„1Е Кр;-1р-,-,:.:'а ~ 6~ ЛСТ ОПИСЫВа1Т С

~.О1-1Т; Р

слслу10цтим Образом:

1 ~пе зь наЙде~1 ц1111к~ 1яци1О Ве1"'Орнрго по 1я В 1О'ц

контура, ис11О. 1ьзов11В 111ормул Г1 11ксй:

~' — "-,~ — !

~„(;, . 1-11„,1,Р- ~ ~(:! ~ ! м .! 0)~Лги~=

о

~о=О г †-О

~нределенне."

Градиент скалярного поля (р — это вектор, задаваемый

с чедую1циы Оо разом.

Эти определение црелпола1ает использование некоторой

СИСТСМЫ КООРДИНат Т.Е. ЯВ;1ЯЕТСЯ 11Е11й6ЯЛйИ7ЛЧЬ1.Ч,

Свизь производной но н11прав;,1е11ию с гралнен гом:

Производная по напраы 1ению связанй с градиентом

скалярного поля следую1псй формулой:

— =- я1ао ф~' с = ~я1'йо ф ~ ~е~ сОБя

о~

'1

Где Мв — точкй. в котороЙ берется производнйя,

с -- елиничпый Вектор. параллельный Вектору /,

1х -- угол между вектором атйс1 1р~,. и вектором е,

~О

Отсюда усматривается, что — < ~ 1ас1 1~~ „~ ~„причем это

й

неравенстВО превра1пае1ся В равенство, если Вектор l

И11прйвлсн вдоль Отао 1Р

Следствнн:

1) ~1йоф~ зйдйег нйпрйв.1ение„вдоль которого производ-

" .1

11ая будет наиоольц1ей.

~Д1~

! 1а(5 1Р~ — П1йл --=- ~ '-':~~~ ( 1 -з

оз

Распознанный текст из изображения:

фй 11„))г = о!11„го1вф.

Ъ

ФО1зми!!! Ост1э!зградска!'О-1 а соса связываст инте!'ра ))л )тс» Объем~' с нове1эхнастными и нтсГ1»алами Г(0 замкнутым поверхностям. В декартовых 11 эар !Ннатах '.)та с1)ормула выглядит следующим с бразом:

фй 6„)ЛЯ= (( ~! — ': - '-+ ' (ЙУ.

Ч

Вывод:)гай фор')улы можно найти В различных учеоникйх по высшей математике, !!апр!»мер. В учебнике «Высшая матемсггика»> г)ал, рсдакнией !,)Вчлнников!1 11.Ф,

1~сть даны векторное г!оле а и замкну!ая поверхность )' заданная функ)!()ей! л =-" !!)!х.у!. на котараЙ действуе! Вектор а — — а11") = а1х.у.7), 11!)йде)! Нс»ток 11 Век!01эа а через э!у

Пусть этот поток есть количествс» жидкости нроходяп!ей

через поверхность ~ объема У.

011ределе11ие".

Ливе1эгепг!Ия (или !)йсат)с))!~..» '())(»1 Век)орногс) па')я й есть

преде,! отнс)шения потока вектора через бесконе )по малую

ПОВ~ РХНОСТЬ., ОкруЖа1с)гпу)а Дгн)Ну!О ТОЧКУ. К ЕДИНИПС

объема. В декартовых коорд)гнатах дивергснцию можно

найти па следу)ащей формуле:

са, с!), ба,

дх с»у ~сх

Учитывая. эта. мОжно записать формулу Ос ГРОГР1)дско!'О-

1 йусса В следу)с»щем Виде:

П = ф п,йБ =- (Цй~:асс»»~ду

Формула С!Оксг! связывает кри(зо;!Ид(е;. Пый интеграл па замкнутому контуру Г с интегралс»м по поверхности опирающейся на этот контур и заданной уравнением х=ср!Х,у). Пусть па поверхности Определена век горф" нкпия й = й,! + й, 1+й.,1 или а = Р! -. '!)!+И~.

Тогда

)(Рдх, Ж~-~йд7.) =~(ъ дх+а дч-'~ »-.(.=

Г"

Ж,1 с:-), !)а. '; ~ са,

)(сово~ ~— ' ~- — ' (-~саид — ' + '- (-,кнь»( — ' "; ' ( Б.

Вектор В, определенный равенствам

»Ъ, - да, да, ~(-, ! Га, д~,.

В =, — + )+ — — — -+ — — — (1+~ — ' + '- 1~ = !'о!а.

Ъ су ~сх ~'~ / ( с»у дх

))1!зывается Ротором 1или 6ихрел0 векто1энаго )!0)!я

1 1с

а!; =~" ,0'..-". =В.

Х

а, а а

У У

Введя рат013. можно заниса(ь формулу» ')т)кса и

С.»Е')У)ОЩЕМ ВИДЕ:

Распознанный текст из изображения:

Щ((х,у,к)йхйуйл = Щ Г(р,~р,т))(г,<р,у)йрй~й~.

Координатвк

'Х = РСОЯ(():

(

",' = ~) Я1И (.Р;

Якооиан:

О)1 Ре:1е:1е1111е:

Векторная линия для вектора а — это кривая. в ка'к:.(ОЙ тонке КОторОЙ вектор а является каса1е'1ы1ым к 11еЙ.

Я~ КТРРНВ1 у)Ц В т)аСТНОС~ и ЯВЛЯ111Т( Я СИ ~РВ1у)Е ЛИН(111 И(ИИИ

тока 11:(н поля скоростей.

ГИбы)ГЙ11е ЙЙРие .~01тлй иО л()8ф)хиОсли1 .к ДВОЙБО.и)'

14 Н 1И ИГРИЛ 1'

)Ъ(:1(1у 1'::1ее!СЯ 11екая ПоверХНОСТЬ ((: 7 =- 7) Х. ''') (:: ((Д 'ИК11':1я

1'(х.",.7). )"1Ри нем ( х.'~'.7) е,у.

Инте 1" ра 1 этОЙ Функции по поверхнОсти ~) м 07кно

пре'1ставить в следу1ОИ1см Виде;

(1'.'(х,У.с(Ю = 11((х.У.г(~,У)) ') «-(О~~ ) ~ ~';:~,1 дхйУ.

СХ

др

д~' 7'

др

д)7 '

/др

дх/ (

' д7,

для'

д7.,!

Распознанный текст из изображения:

йеиТО знтт)й, .'ато:..; аоиаи ~ т

Задача 1

Вскго1)н),))! аи!!.и)з '))(!5

Данный материал ио,))о ! т)в;)си )!'! ири! .! ' .' ! ') .

и. и)гах ии(1>с)рма!)и!)!))м': )тю ЗВК )СИ:)СИИЯ Х ИИИ) )ЬИИКт)в и КОНСУЛЬтаЦИОННОГО Мее!')С1З))(!')е! С !И.:! ( '.'. '1 С

И тп! "И! ИЙ. И 1И()О 1С !'~.'И И ЫХ

студент

нтов навыков ))ракт))носко)! 1зе,'! )из))иии «' ". 1 В ООЪС

объеме курса по теме . Вс)()О1)и)аи! )! г;

Ооъс'. ур ' ' ' иг!.и! '» . 11 )с )ояи)ий .')))))Сриал предусматривает )и))1)()к~ ю !)()1 и;! ! ! ! И!)!)С ! ! ! ! >ИС))!))! И '))С !()ДОВ

т т ~)сс! );! и)) 1.);)),.)с.! .. Йс)()!)1)и!.т)Й закрепления полно! о к~рс;! В ! б)),сч~ с 1..., .. *'

1'т ),~)~)СИ )~С!),я и))')С))))С,.'!а)ИИ)))()т анализ» В ((Высшеи м)! !'Сч,'! ! и !'с»

материала а соиоетаал~еиии аг)~ ~ 1~иь,

), '));.! И )С !'!)) )(С))!!)а)Х Г)С)))ЕИИЙ.

В С~' РИИ ))РСДС! 'И),:)СИ! ! К())КСУ.'Иа ! )И)И!)И)))*!С И!)С!)!)))Я )КО

следующим гсч))м:

Ф Интег1за,'и иос исти)с')си))с

Дифферсни)вильи),)с у1)))!)))с)мя

Кратныс )))г!'с! 1'.)))„'))~!

е Ряды

Теория вс1)!)))т))ос'гей

° Преде,) ! ы

ГФКП

АНВЛИ'ГИ))ЕСКВЯ ГЕОМЕТРИЯ

Линейная алгебра

° Векторный анализ

Найти производную скалярного поля ц(х,у,к) в точке М по направлению нормали к поверхности Я, образукццей острый угол с положительн.ым направлением оси 07.

и = х /у + ух! к., Я: 47+ 2х - -- у = От М(2,4т4).

Найдем нормаль к поверхности Я. Для этого введем

функцию Г(х,уак)а исходя из уравнения поверхности Я;

)1тобы найти нормаль. требуется найти вектор Й а НорМаЛЬНЫЙ К ПОВЕрХНОСтн ')а ВЫЧИСЛИВ ГраДИЕНт ФУНКЦИИ

Г(Хту,К):

1х, = дга(1Г(х у — '~~" ут'.~- ~Их,уа~) —. аР(х у ~)

- ту ~l — — "— )+

1+

Ь 02

Подставим координаты точки М в полученное выражение:

1х1,„=4.2 1 — 2 4. 1+4 1( =-8 1 — 8 1+4 1(.

Найдем нормаль, произведя нормировку вектора Х:

Х~ 8!.-81+41 2-. 2-, 1

й = — = — = — -1 — — 1+ —.~.

я 12 3 3 ' 3

Распознанный текст из изображения:

СЬЗЛЯРНЫХ НОЛЕЙ ц(Х «?) И

градиентов да»»ных нам

дц

— = — 1х «) У + У «» ?. ~!

с'Х ~ „,~ СХ

дц 2 5 2 =2 — + — —: +1 — =О.

дц

Ответ: — — = О.

дп

Ответ: а =90'.

ьаы~ -: ---.

Отс»ода несложно найти косинусвх углов 'й, 1) и «', которые

нормаль образует с ося«»и Ох. Оу и О?. соответственно:

2 1

сояи = —;соя~3 = — —,со~) = — „

3

у = аг сок — = 7О,53'(острый угол)

Найдем искомук) производи«к) скаля1)ного ноля ц»х,у,х):

дц дц дц.

— — СОЬО. +- — ' СРЕ»« -) -, С»)В ~„ дп дх м

— = — ~.,~у.уй)' = ~ --- + ~~,',

') ~у

дуем

дц

— = — ~Х,~«'+У 7),

С:7. м ОХ ~,, '~ ~7„

Найти угол между градиентами

«:»х.у,?) в точке М.

4«»Уб «/б 3

Ъ' = — — + — „Ц=Х У?,

Х 9У 7У

11айдем»'раДиенты и МОДули

скзлярных пОлей в тОчке М:

~~Ф-..',7) —, де»(х, у. 7) —. де»~ху у,?)—

огас1ц1Х «у) =

дх ду

= 2хул' »+ х'х .1+ 3х у?.

дгаби(х„у,.к,) = ~чб,З;~6,61,даби»хм,у,,д„); = 4~~6:

д«'~х у,4 -. д«~х,у,7.) -. ду1х,у,~) »угас1 «у(х„у,?.) =

ду д? 4«/б —. Д

2 — .1+ — „1+

Х 9у ~»( ~"~б~Е"м Ум ~м)=( — Уб,'Убу.— ~1 РычЕх,„,У,„,т.

Используем формулу косинуса угла между двумя

векторами:

~рае1 ц(х у ? ) агаев «у(х «, 7 ))

СОУСУ =

~ДГж1 ц» хм у' м х~ » )~ ' ~ЯГас1 «у(х ум ? ) )~

4Ь ~-Я)+ХМ Д+б 1 — 2) ®.

4Л 4

Распознанный текст из изображения:

~1ерез т1асть поверхнос-1 и Я Р., «нормаль внешняя к образуемой данными

Р,:~=0. Р.,;7=4

йх с1у

— = — =Ф зхйх = 2уф;

2у 3х

2

у= — х +С,

Ответ: П,.«:,'1 = Ятг

Найти векторные линии в векторном поле а.

Чтобы найти векторные ли1п1и в векторном поле, нужно составить их диффере1щиальные уравнения:

дх с1у с1х

2у 1Х 0

Реп1им зти дифферен ц(1ал1,1П11е

разделения переменных:

Йх = 0 ~ к = С„: «С„= со(м)

Это уравнение описывает семейство кривых, лежащих в

плоскости, параллельной ху «х — произвольная константа)

Ответ: векторные л~н~и в век*орном поле а 1тредставля1от

с~бой с~~~й~~~~ ~ри~ых в произвольной п~ос~ост~, параллельной ху, ОписываемОе уравнением

Найти поток .векторного поля а вырезаему1О плоскостями Р1. замкнутой 1товерхности, поверхностями).

а =х1+ Я вЂ” 7к, Я:х +у =1,

Найдем нормаль к поверхности Я, Для зтого введем

функции Г! Х.у,к1. исходя из уравнения поверхности Я:

1"'«х,у„я) = х -'у' — 1.

Найдем векгор Я . Нормальный к поверхности Б, вычислив

1радиен.1' ф"нкпии Р«х у у)'

— дЕ«х, у., х) —. РГ«х, ул) —. аЕ«х, у, х)—

=ага «х.у,.л) = 1+ 3+

дх

ОХ

= 2 х 1+. -у. ~

Произведем нормировку вектора11;

и — ~~ 2'х '+2'у 3 2 х.1+2 у. ~

~(2 ) - (2У)',((4( -' ~'1

2 х 1+2 у

г — — Х 1+у °

-(4

Наидем и. (О1цадь части поверхности Ж, вырезае. 1ой

г1лоскостя~ и Р(. Р-., по формуле для боковой поверхно 'ти

цилиндра:

Я =2гг г.11 =271 г «г, — к,) =211 1 4=811.

1еперь найдем ПОток вектОрного поля;

' (~1 = П1 (' "~(~ = Д(~„. ~, -'; а, . и, + а, и, ф~ =

= О(' ".' ~'(--1 01(~= О(.-+у ~5= П(Б=~=~.

$

(( ": З:словия1 $

Распознанный текст из изображения:

Хр ~1-:х !. ' ':..~х х ~х хххиыххх ~.

Я~Ц~ ~'. лыйхх.'. л .'.

у=2,1 — х)

у=.О

1'еперь найд~м поток. ччитывая. что в первом октанте все

переменные положите тьны:

" '1

7

„() ((~х л)5 1 1 ~)лх 6+(Р)+2) )+7лх х)-л'л»=

2

$

7

1

х=) У=2(1-х)

ф)(1 л)у ~. 6, 42л — рОлх))хлу=

х =-О

+ 6у + 42)г — 3 ОТгху

1'='~ 21(1-~)у

1 "х1121(1-л) '1Π— хх ' " ) д) .),ц4л('1 «) бОлх(1-х) Йх=

2 х —..11!

2

1 '"

— 54 — 96х+42х +427г — 60)тх+18тсх ~йх= 2

2 4

= — э4х — 48х +14х) + 42)",х — 3Оггх + 6)тх,)

7

О

Найти поток векторного поля

поверхность Я (нормаль внешняя').

а = (3к + х)1+(ех — 2у) ~+(2л — худ.

Я;х +у =л,к=1,к=4.

Для решении этой задачи следует использовать формулу

Остроградского-Гаусса:

П = а йсЬ = с11ъ.ас1хс1ус1л.

5 'ч'

Найдем дивергенцию вектора а:

да да да

с1)ча — ' + ." + — ' — 1 — 2+2=1,

дх ду дк

Поверхность Б описывает усече*нный конус. Тела с осевой

симметрией проще описывать в цилиндрической системе

коо1здинат. поэ~~му перейдем в нее:

!

х = тсояср;

у = гя'пср; .1 =г.

'г'. = У;

Теперь найдем поток векторного поля через замкнутую

поверхность, как интеграл дивергенции вектора поля по

:~~~ему тела., ограниченно~о замкнутой поверхностью;

П,(а1= с11ъадхйус1л = 1с1хфс1х = гсЫ(г)с17 =

Ч Ъ'

4 ~ =-.х ~р=2 л /=4р=х х=4

1~р414х =2л ( ( 1.)х= Р Я Ых =

1 р=О ~р=О х=1 х=О х=.1

х — -4 2=4

г ~~' Ог(4' — 1') )г(64 — 1)

.')1 — = 21)г.

6, 3 3

х=-1

)

Распознанный текст из изображения:

Задача 8

Задача 9

через зсзмкн'-гую

.Нййти поток векторного поверхность Я (' нормаль внешняя). й = 2х1+ Ж..

к = Зх +'2~' +1

Я: х "- + у ' = 4с 7 = О.

я через замкнутую

1 ) аи )')'~ ))о') Ок Векторного поля а

) )ой~.'рх ность 8 (,нормаль вне1пняя).

„) (Х + у2)1+ (у2 + Х2)1+ (у' + К2)1Сс

)х +~ =1,

~;7, =О„к =1,

ср=2 сг=2„

1р=2

1(у~с2 + сои ф) ~-с?ыср = )

— ('2+соз ~р)+ — „

-) с=О

<р=О с=О

ср=2й

1(1О + 4ссс-' у)~с1 = (10д ' с1с2~р + 27)

~р=О

О

Теперь найдем поток векторного поля через замкнутую

поверхность, как интеграл дивергенции вектора поля по

Объему тела„ограниченного замкнутой поверхностью:

Для ре1пения 21 ой задачи следите г использовать формулу Остроградского-Гаусса: П=ф Ы)= Щж с Ыуж.

Я 'У" Найдем дивергенц11)о век) ора а: д1Уй — ' ', ' + ' =2+0+1=З.

ох дУ д2 Найдем объем тела. Опись1ваемого поверхностью Я как Объем цилинд1эс1. Иск.1гочая Обьем (<верхушки?? Параболоида, перейдя и цилиндрическую систему коо12динйт: х = гсозр у = сс1ср (г, = с С2+ссс ф~-!

Для решения этой задачи следует использовать формулу Ос гроградского-Гаусса: П,.(а) = а йсЬ= Й~асЮ. Найдем дивергенцию вектора а:

дй,. оа,. ~й, Йгу а — ' + ' + — ' — 2х + 2у + 27..

дх Ъ,' д7. Перейдем в цилиндрическую систему координат. Х = ГСОЯ(Р; у = гв1пср; 11=к: Якобиан: Р = г. Соответственно. преобразуется описание поверхности Я:

11 = О

Распознанный текст из изображения:

с ИСТСМЕ

р=-2лг=1 1;=1

А = Иг = Г,.с1Х+ Гус1У,

р=О 1=0 Ь вЂ” -0

Проведем параметризацию:

р=!1 1 = !!

х =21 — 4 с1х =2Й

у=т с1у = сй

2т' совср+2т' Я1пср+ г [гйр =

т= О...2

1-.О =О

)1.!

Ьр=

21"

— сов ср + — Б1П ср +—

3 3

р=2я

апи1пем ливер!'С1!11Н1! !" ! ', !1, ! !. ~

ХООрдинат:

с[И а = 2х + 2у + 2х = 2Г сов 1р + 2Г ~;111!() ', ',11

По формуле Остроградского-Гаусса 11 ай! ЛСРм поток Векторного пОля через замкнутую 110верхность. ВзяВ интеграл по Ооъему. Поверхность. с1пи!Санная В условии, соответствует цилиндру.

Г1,!Ж= Ш!1уаД'= ( ( (т(2 О. р+7.1 р, 2!):Ц !г!р=

11 =.!

[(2т Ьсояр~2г!1ыпр+гЬ-) йй~'.=

2, 1' 2. 2 1

( — соя р + — вш р -.~ — !1~р = — Ви1 р — -- совр ~- — р~

-!!

2

Найти работу силы Р при перемещении вдоль линии 1. от точки М к точке )~[. Г = (х + 2у)1+ ~у + 2ХЯ, ~.: отрезок МХ., М( — 4,0), Я~О,2),

Запишем общую формулу для вычисления работы. а также

ее Вид для декартОвых координат:

Подставим эти данные в формулу, приведенную выше. и

найдем работу силы Р при перемещении Вдоль линии 1. От

точки М к точке ~Ч.

А= )(~,.!х- ~,1!)= [[(х'- 2!)~ (у',~ Цу]=

= [[(4~ — 16~;-!6+ 21) 2 +(1' ~- !1 — 8) ф =

о

— 9~ — 24~+24 ~ = 3~' — 12~ +24~ = 24.