Для студентов МГТУ им. Н.Э.Баумана по предмету Физические основы электроники (ФОЭ)Шпора к аттестацииШпора к аттестации 2018-01-10СтудИзба

Ответы: Шпора к аттестации

Описание

Описание файла отсутствует

Характеристики ответов (шпаргалок)

Учебное заведение
Семестр
Просмотров
159
Скачиваний
4
Размер
3,35 Mb

Список файлов

10

Распознанный текст из изображения:

74

Таким образом,

тС (1+ )г тС +ео

2р Р Р

ШСг г тСг

= ~ — ~ — ((1+ е(1+ е)) — 2(1+ е)) = ~~ ~ — (1+ е)(1+ е — 2),

т.е. окончательно

тС

Р— >

с

е=

а

где с = а — 6 В точке перигелия (у = 0)

т=а — с=

р

1+е'

а точке афелия (у = ~г):

г = а+ с =

р

1 — е

а следовательно, имеем следующую систему двух линейных алгебраь-

ческих уравнений:

а — с= ~~+ —,

а+ с — Т-~ — .

Разрешая эту систему относительно с и а,получаем

при е < 1 имеем Г < О, полная энергия оказывается отрицательной.

Эллиптическая орбита геометрически характеризуется либо полуосями а и 6, либо эксцентриситетом е и параметром р, причем, по определению,

2

Распознанный текст из изображения:

экран

1 = 1(ш') Ж.~. о

10

волны

и граничному условию

кап

и ( =0

и = Тф Х(х) У(у) У(~);

1 Т" Хо У" У"

с2 Т ~ У Л

которое имеет вид

с" ® + Ф(х) + М(у) + Х(г) = 0

1 Т"

2

— — = — й

с~ Т

~о 1 о

~2 12 + ~.2 + ~2

Л(1) = А з1п(й,, 1) = О.

1(~о) = — и(е~),

Х„(х) = вп1(Й . х),

У(ы) е~ы =—

1

8

г

= — 4к

8 е~ с кз

У„(у) = з1 и (й~ у),

Е„(г) = в1п(Й, г),

1 То

г

—,— = — й

е- Т

т.е. уравнению

е~~ Г

+~э~Т= О,

е1~2

частот ~~, ~ + А~,

2

Я(ы) с~о. = ~' ., А~ .

к~ ез

т.е.

где ~о~ = Й' с' (или ы = с Й), причем

2

и(ы)А~ = А~ Йв Т,

тг~ ез

па

Й =Й +Й +Й = — (и +и +и )

другими словами,

г

и(~э) =, Йв Т.

к2 сз

п=(п., и„, п,)

трубку, но в основном имеет сходную общую структуру для различ- 6 ных атомарных химических веществ: состоит из характерных серий узких пичков, называемых "линиями". Говорят поэтому о линейчатых, спектрах (спектры молекулекулярных веществ выглядят иначе — они состоят из ряда "полос" — участков непрерывного спектра).

Каждая отдельная серия линий начинается, как правило, с интенсивной самой низкочастотной в этой серии так называемой головной линии. За ней в сторону высоких частот идут другие линии указанной серии, частотные расстояния между которыми уменьшаются, а интенсивности становятся слабее. В отчетливо наблюдаемых сериях можно различить до десятка отдельных линий. Наконец, при определенной высокой частоте серия кончается небольшим участком непрерывного слабого свечения — участком непрерывного спектра.

Спектр атомарного вещества составлен из нескольких таких серий линий, причем набор частот линий в сериях данного атомарного вещества является его неотьемлемой индивидуальной характеристикой, по которой можно очень точно определить наличие и даже концентрацию мельчайшей примеси данного вещества.

Спектральный анализ вещества являеься одним из традиционных методов определения химического состава вещества. Так как атомы Солнца и звезд такие же, как атомы на Земле, но изучая спектр излучения звезды, можно определить ее химический состав.

Эксперименты показывают, что спектральные серии и отдельные линии серий находятся на частотных расстояниях, подчиняющихся довольно простым математическим закономерностям.

Открытие и выяснение этих закономерностей привело в конечном

счете к тому понятию строения атомов, которое теперь все знают.

Согласно классическим волновым электромагнитным представлениям, излучающий атом следует уподобить электромагнитной радиоили телевизионной антенне.

Чтобы найти собственные колебания, или моды и„, заметим, что

каждая такая функция удовлетворяет волновому уравнению.

ип

— = Ьи„

Чтобы найти функцию и, воспользуемся, следуя Фурье, методом разделения переменных. Будем считать, что функция и„(х, у, г, 1) имеет следующий простой вид:

т.е. является произведением четырех функций, каждая из которых зависит от своего аргумента.

Подставим эту функцию в волновое уравнение. Получим тогда следующее соотношение:

— — ', т"ХУг — ТХ"Уг — ТХУ "г — ТХУг" = О,

с'

где два штриха обозначют вторую производную соответствующей

функции одной переменной по ее аргументу. Фурье предложил разде-

лить это соотношение на произведение ГХУХ. Так он получил свое

знаменитое равенство:

где а, ф, у,;г — некоторые функции. Фурье заметил, что это равен-

ство возможно только в том случае, когда каждая из четырех функ-

ций является константой. Так Фурье из одного скалярного равенства

получил целых четыре равенства, или уравнения:

где введены специальные удобные обозначения для четырех упомяну-

тых констант. Причем, очевидно, они должны удовлетворять соотно-

шению

где 1 — интенсивность равновесного теплового излучения. Таким обра-

18

зом,

т/2

1

с

1 = ис .2л / э1пдсоэВе10 = — и.

4к ./

4

о

Фактически мы доказали также и соотношение:

для спектральной интенсивности 1(ог) и епектральпой плотности энер-

гии и(~г) .

г. Закон Релея-Дэкипса и формула Плапка

Рассмотрим термодинамически равновесное излучение, имеющее абсолютную температуру Т. Применим к нему теорему Больцмапа о равномерном распределении энергии по степеням свободы, справедливую в рамках классической физики для термодинамически равновесного состояния вообще любой физической макроскопической системы. При равновесии на одну поступательную или вращательную степень свободы системы приходится энергия ~йБ 7" и на одну колебательную

1

степень свободы — энергия йБ Т (в два раза больше).

В качестве "степеней свободы" электромагнитного излучения в полости возьмем выше рассмотренные собственные колебания, или моды (их число для электромагнитного излучения оесконечно). Каждая такая степень свободы "колебательная". Таким образом, объемная плотность энергии теплового равновесного электромагнитного излучения, приходящаяся на интервал частот ~э, ~э+ ейск, равна

и(~)Аэ = Йв Тх

х число собств. колеб. в иптсрв.

Сила испускаемого дырочкой излучения характеризуется интенсивностью 1. Интенсивность имеет следующую размерность:

Интенсивностью называется количество электромагнитной энергии, проходящей через единицу перпендикулярной пучку площади в единицу времени. Если направить излучение от дырочки полости, например, на призменный спектрограф, то можно экспериментально определить спектральный состав излучения, т.е. распределение интенсивности по различным частотам ~о . (Будем пользоваться не частотой и = ~, а угловой частотой ы = -~~, где Т вЂ” период колебаний). Спек-

1

тральный состав, характеризуют спектральной интенсивностью 1(ы), причем, по определению, 1(ы)еды — это доля полной интенсивности, приходящаяся на интервал частот от ~э до ы + Аэ, при этом

Проведенные эксперименты пока- ~ ~ев) зали, что спектр теплового излучения абсолютно черного тела имеет т, вид, показанный на рисунке. Оказалось, что форма кривой спектральной интенсивности не зависит от раз- Т, меров и формы полости и от мате-

риала ее стенок, а определяется исео ключительно температурой Т стенок.

При увеличении температуры максимум кривой 1(ы) уменьшается, расширяется и сдвигается в сторону более высоких частот.

Если электрон движется со скоростью и и если его масса т, то он обладает механическим импульсом р = р,л = ти. Таким образом, с таким электроном (вернее, с пучком таких электронов) связана длина.

Это знаменитая де-бройлевская формула для длины волны электрона. Формула де Бройля вскоре в 1927г. была блестяще подтверждена экспериментом (Дэвиссоном и Джермером).

Мы говорили о световом пучке и о пучке электронов, как о том реальном физическом объекте, с которым имеет дело экспериментальная физика (никто не может, конечно, взять в руки один фотон или один электрон, хотя бы по той причине, что они очень маленькие). Вместе с тем физическая наука пришла в настоящее время к непреложному выводу,что корпускулярно †волнов дуализмом обладает не только сам пучок частиц, но также и каждая отдельная частица в этом пучке (т.е. отдельный фотон или отдельный электрон).

1.3 Вывод формулы Планка для равновесного теплового

электромагнитного излучения

а. Собственные моды электромагнитного излучения в кубической

полости

Классическая физика, как уже говорилось выше, не смогла объяснить эксперименты по тепловому электромагнитному излечению. Чтобы их понять, потребовалось ввести в физику квантовые представления, что было успешно проделано Планком в 1900г., который ввел основную квантовую постоянную постоянную Планка Ь, характеризующую величину неделимой порции энергии Е = Ь~ световой электромагнитной волны частоты ы. Идея Планка была развита Эйнштейном, который в 1905г. ввел представление о частицах света ф'отонах.

Объясним, в чем состояла проблема теоретического объяснения законов теплового излучения, как ее пытались решить Релей и Джинс, и как блестяще с ней справился Планк.

Представим себе, что электромагнитное излучение не обязательно тепловое (,произвольное электромагнитное излучение) находится в кубической полости со стороной куба Л, так что объем полости 1' = 1, . Электромагнитное излучение в полости буз

дем характеризовать в любой данной точке х, у, г в любой заданный момент времени 1 просто скалярной функцией и(х, у, ~, 1), которую назывем "волновой функцией" электромагнитной волны.

16

Задать ~о и задать к это одно и то же, так как эти величины связаны соотношением: Й = ~ .

с '

Рассудим следующим образом. Возьмем в к -пространстве сферу определенного радиуса Й, с центром в начале координат, и построим еще одну такую же сферу, но немного большего радиуса: 1, +е1й . Причем

с и е"~ с где~ и е"~ т, рактеристики рассматриваемого интервала частот.

Число собственных колебаний, приходящихся на интервал частот ы, ы + еа, можно теперь найти, разделив объем 1/8 части рассматриваемого шарового слоя ы, ы + деэ, изох„ брагкенного на рисунке, на объем од-

з ной элементарной ячейки: -~ . Так как число собственных колебаий мало, даже бесконечно мало, и так как очевидно оно пропорционально Аг, то обозначим это число Я(ы) деэ . Таким образом,

В полученную формулу следует внести важное исправление. Нужно учесть, что электромагнитные волны поперечны (или, как говорят, имеет "поляризацию"), Колебания в них происходят перпендикулярно направлению распространения волны, причем для заданного направления распространения, характеризуемого числами к, Йц, к,, имеет две независимых поляризации. Поэтому, чтобы учесть поперечный характер волн, умножим полученное число колебаний на 2, учитывая тем самым два возможных направления поляризации:

в. Связь спектральной объемной плотности и(~ ) энергии излучения

и спектральной интенсивности излучения 1(~)

Рассмотрим теперь термодинамически равновесное электромагнитное излучение в полости 1' и найдем для него объемную спектральную плотность энергии и(ы), т.е. энергию, приходящуюся на единицу объема полости и на единичный интервал в окрестности частоты

материальных точек. Блестящие успехи небесной механики Ньюто- 2 на, изложенной им в 1687г. в знаменитых "Математических началах натуральной философии", казалось бы, более чем убедительно свидетельствовали о том, что вся окружающая нас природа состоит из материальных точек, а все физичесие свойства тел и сред объясняются исключительно проявлениями взаимодействия этих материальных

точек.

Философия системы матеральных точек в ХЧП1в. была настолько очевидной и общепринятой, что в самом конце ХЧП1в. Лаплас в своей пятитомной "Небесной механике" даже явления капилярности и смачивания жидкостей объяснял проявлением эффектов взаимодействия материальных точек — молекул .

Вместе с тем одновременно с корпускулярной теорией света, укрепившейся особенно в ХЧП1в., даже немного ранее ее (в самом конце

ХЧПв.) появилась волновая теория света, соХ гласно которой свет мыслился как волна, т.е.

возмущение непрерывной сферы — светоносЛ~ ной среды, или эфира, Основы волновой теории заложил Гук (современник, соперник и даже противник Ньютона) и, в особенности, Гюйгенс, написавший в 1690г, знаменитый "Трактат о свете", в котором провозгласил, в частности, свой известный принцип Гюйгепеа и объяснил па его основе не только общеизвестный закон преломления света, но также и законы двойного луче- преломления света в кристаллах исландского шпата.

Несмотря, однако, на замечательные работы Гюйгенса, в ХЧП1в. волновая теория считалась неправильной и господствовала, как мы уже сказали, корпускулярная теория, причем вплоть до самого конца ХЧП1в. крупнейшие физики и математики того времени, в частности, Лаплас и Пуассон, принимали за истинную именно корпускулярную теорию света.

Но в начале и в первой четверти Х1Хв. произошла удивительная революция в оптике: появились замечательные работы великих оптиков Томаса Юнга и, в особенности, Огюстена Френеля, в которых была блестяще математически и экспериментально развита волновая теория световых явлений и на ее основе были объяснены все, порою очень тонкие эксперименты по интерференции, дифракции и поляризации света, ббльшую часть которых впервые поставил Френель (бипризма, бизеркала и т.д.).

К середине Х1Хв., к 1850г., Физо и Фуко произвели впервые даже измерение скорости света в земных условиях (для воздуха и воды), и показали, что в полном согласии с волновой теорией скорость света

чения 1(ы) с экспериментом, имеет размерность "действия", т.е. ее размерность= "импульс" х "длину", или же ="энергия" х "время".

Сам Планк не решился заговорить о "корпускулах" света, которые, казалось бы, с очевидностью следовали из его квантовой гипотезы (совпадение теоретической кривой, построенной по формуле Планка, с экспериментальной было удивительно хорошим). Развивая представления Планка, это сделал в 1905 г. Эйнштейн, который первым ввел в современную физическую науку снова световые корпускулы, по теперь под новым назаваписм "фотоны", обладающие в отличие от старых корпускул намного более сложными физическими свойствами.

Эйнштейн в 1905г. привел также некоторое число новых аргументов в пользу существования фотонов, в частности, обратил внимание на экспериментально наблюдаемую удивительную "красную границу" фотоэффекта с поверхности металлов. Оказывается, свет не любой длины волны может выбивать электроны с поверхности металла, а только свет, длина волны которого короче некоторой характерной для данного металла длины волны "красной границы". Эйнштейн заявил, что световой пучок частоты ы образован многими летящими со скоростью света с фотонами, обладающими одинаковой энергией Е = 6~э = 6и. Энергия отдельного фотона пучка света зависит от частоты света в этом пучке. Интенсивность света определяется числом фотонов в пучке, пересекающих единицу поперечной пучку площадки в единицу времени.

Наиболее убедительно корпускулярные свойства света были продемонстрированы в эффекте Комптона в 1923г.

Обе самые основные в физике модели (система взаимодействующих материальных точек и непрерывно заполняющая пространство волна) при применении к одному и тому же физическому объекту, в данном случае к свету, дают, разумеется, противоречивые" результаты, так как эти модели совершенно разные: выше мы уже говорили о противоположных предсказаниях волновой и корпускулярной теории в отношении значения скорости света в воде, например. Обе эти модели нельзя безоговорочно, буквально, применять к одному и тому же физическому объскту. И вместе с тем, результаты многочисленных экспериментов со светом требуют использования для объяснения свойств света одновременно и тех, и других представлений.

В физической науке возник так называемый "корпускулярно— волновой дуализм", с помощью которого пытаются скрыть парадоксальную, противоречивую, в общем непонятную ситуацию.

14

т.е. константа В = О. Подставим функцию Х = А в1п(й х) во второе

граничное условие. Получим тогда условие

Следовательно, чтобы удовлетворить этому условию, необходимо по-

требовать, чтобы

где п — целое число 1,2,... (отрицательные п рассматривать не нужно, так как они не дают новых функций; значение и = 0 тоже нельзя брать, так как в этом случае получаем физически бессмысленную функцию, тождественно равную нулю).

Таким образом, мы построили бесконечный набор функций:

где й — ~~ и,. и и . = 1, 2, .... Произвольную константу А мы пока опустили.

Аналогично можно рассмотреть уравнения для функций У и Е и получить бесконечные наборы функций:

в которых 1сц — ~~ пц, й„= ~~ и, и пц, п, = 1, 2, 3, ....

Обратимся, наконец, к уравнению для функции Т. Эта функция

удовлетворяет уравнению:

Введем сокращенное обозначение для комбинированного индекса

3

Распознанный текст из изображения:

21

п=о

Таким образом,

и Йм + 6о.г

о о

+сю

С ~. х"=

о

= С(1+ х+ х + ...) = Т вЂ” — — 1

Таким образом,

| 1(со)сосо = оо,

о

Г и(ы)с6 г = оо,

о

окончательно

и - г'г с,~

С=1 — х=1 — е

что явно бессмысленно.

Еп +, и ггпу ГвТ ТС~со ~ пе ХьТ

Е

Ррг1Е= Се

+сю

< Е >= С ~~'

о

п=о

Ьсо.х-~ — ~~' х = С.бсср.х-~"—

+ со

СЬсв 'У' п хп = С

ьи ж =г

1

(1 — х)

Рес~Е= 1,

о

гг о~ 'кБ Т

А~о 1 — е ~вТ

< Е>= йсо

+оо

С е 1тТд.Е =1 о

1

С.~БТ, С=

1БТ

йсэ

<Е>=

Ьы

е1~~ Т

25

29

1(Л) сИ = 1(ы) Иы,

6 102з

е ~~БТ

а следовательно,

экран

4гг~ с2 ~ ) Л5 гг2ггс

е~~Т

показанный на рисунке.

катодное

(круксово)

тйггнсге положительный

ф~л) =

еХ1сБТ 1

ми.

отрицательное

свечение

темное

пространство

ф'(л> = — „'

е ~~7СБТ

,гт;т

'л'' л гт

е~гв г 1

о1

и

НВ '

У = ~ эл. + ~ маг. = — еŠ— в[ч.В]

Так как

1сУ Р 1ес~РВ2

2 тс1 р " 2пг У

и потому

гпо и..

Ф:$

е 2х У и АР В2

ггго

т=

/:„"

иго ир

гпо ию

Ж 2

1 ——

= — еи, В,

— = 1,76.10'

гп кг

т„— 1838 т, .

г с~ф

еВио

г

Й ~~ ~~,д~

у: ——

19

Так как 1(ы) = ~~ и(ы), то окончательно приходим к формуле для

спектральной интенсивности теплового излучения абсолютно черного

тела:

которая носит название закона Релвя — джинса.

График полученной функции спектральной интенсивности 1(св) представлен на рисунке. Закон Релея — Джинса, как видим, при больших частотах дает 1(в) физически бессмысленный результат. Пол-

ная интенсивность 1 и полная объемная

плотность энергии и в полости, согласно

этому закону, очевидно оказываются беско-

нечными:

На самом деле, полная интенсивность теплового электромагнитного излучения при абсолютной температуре Т является конечной величиной и дается формулой 1 = сг Т знаменитого закона Стефана— Больцмипа (о постоянная в этом законе, так называемая константа Стефана — Больцмана).

Разумеется, интенсивность и объемная плотность излучения не бесконечны, никакой объект не может испускать излучение бесконечной интенсивности и никакое реальное излучение не может иметь бесконечную плотность своей энергии. Экспериментальная кривая 1(со) убывает при со — т (ог) оо, а не возрастает, как в законе Релея—

са Джинса, и это как раз и связано с тем, что интеграл по и~ от функции 1(м) в бесконечных пределах от 0 до сс сходится.

Итак,

приходим к заключению, что классическая физика пе в состоянии объяснить эксперименты по тепловому электромагнитному излучению. Чтобы их объяснить, потребовалось измененить представления классической физики — — учесть в ней кваппговыв эффекты.

Спектральая интенсивность 1(Л) определяется из очевидного соотношения:

причем здесь сгсо = — ~ — , 'знак минус надо опустить так как изменение

2~гс .

Л

длины волны Л будем рассматривать не в обратном порядке: от +со

до О, а в прямом порядке: от 0 до +ос. Таким образом,

График функции 1(Л) имеет вид, Как и график зависимости 1(со), он имеет максимум. Обозначим длину волны Л, соответствующую максимуму, через Лиг, см. рисунок. Отметим, что величина Л -с, где иг — частота, соответ2л с

ствует максимому спектральной интенсивности 1 (сэ ) .

Определим, как величина Л„, зависит от температуры. Для этого найдем максимум функции

Вычислим производную ф'(Л) и приравняем ее к нулю:

отсюда можно определить скорость отдельного электрона в катодном

луче:

справа стоят величины, непосредственно измеряемые в эксперименте. Оказалось при этом, что скорость электронов в катодных лучах намного меньше скорости света с; это послужило доказательством, что к атодные лучи — не электромагнитное излучение.

Существенным достижением Дж.Дж.Томсона было то, что он впервые измерил с корость частицы к атодпых лучей.

Если измерить теперь величину только "электрического" или только магнитного отклонений, например, величину электрического смещения, то получим

Имеем формулу, которая дает возможность эксперементально найти значение величины отношения заряда к массе для электрона. Оказалось, что это отношение равно

число, полученное Дж.Дж.Томсоном, было очень близким к современному его значению.

Подставив сюда значение заряда электрона ( найденное, как отмечалось вьшге, из теории электролиза, т.е. из значения числа Фарадея и числа Авогадро), Дж.Дж.Томсон получил, что масса частицы катодных лучей, т.е. масса электрона пг, примерно в 2000 раз меньше массы протона:

Значит, заключил он, катодные лучи состоят из удивительно

легких частиц (таких еще не знали в то время). Так Дж.Дж.Томсон

открыл электрон. Открытие это датирустся 1897 годом.

В состоянии тврмодггнамичвского равновесия полная энергия электромагнитного излучения каким-то образом распределяется по отдельным электромагнитным модам, аналогично тому, как полная энергия равновесного идеального газа определенным образом распределяется по его молекулам.

Отдельное собственное электромагнитное колебание может иметь какую-угодно энергию в зависимости от величины его амплитуды. В классической физике амплитуда колебания принимает любое значение от 0 до +со, так что энергия Е' собственного колсбапия, пропорциональная квадрату его амплитуды, тоже принимает любые значения — от нуля до бесконечности.

Для равновесного идеального газа мы имеем распределение Максвелла — Больцмана, согласно которому вероятность отдельной молекуле иметь энергию .Е пропорциональна множителю Больцмана

Е

е кБТ . Так как энергия Е принимает для классической системы попрсрывпьсв значения, то правильно говорить не о вероятности молекуле иметь определенную энергию Е ( эта вероятность равна нулю ), а о вероятности молекуле иметь энергию, заключенную в бесконечно малом интервале Е, Е + ЙЕ, Обозначим эту вероятность

Р~ дЕ.

Таким образом, в состоянии термодинамического равновесия:

где С вЂ” некоторая постоянная, называемая "нормировочным множите-

лем" Так как вероятность молекуле иметь вообще какую-нибудь энер-

гию есть досиговерпое событие, то очевидно имеем соотношение:

которое называется "соотношением нормировки". Из него можно най-

ти значение нормировочной постоянной:

Применим теперь все эти соотношения к отдельному собственному электромагггитному колебанию. Сначала воспользуемся "класси-

27

здесь имеются в виду только так называемые одновалентные ионы для простоты. Так как в моле любого химического вещества имеется одинаковое число молекул, а именно число, равное числу Авогадро:

то деля У на Л'А легко получить величину заряда элементарной пор-

ции электричества "молекулы" электричества; это — "порция" и равна заряду электрона.

Чтобы понять смысл достижений Дж.Дж.Томсона (учителя Э.Резерфорда) необходимо напомнить об исследованиях газового разряда., т.е. явления прохождения электрического тока через газы, которые были начаты еще Фарадеем в 30 — 40-х гт. Х1Хв. и особенно интенсивно проводились в середине и конце Х1Хв. в частности Гейслером, Круксом, Ленардом и многими другими исследователями.

Если мы возьмем газоразрядную трубку, т.е. стеклянный баллон с впаянными в стекло двумя металлическими электродами — катодом и анодом и если к этим электродам

А подключим источник постояннго тока О+ высокого напряжения и если давле-

ние воздуха в трубке сделать порядка 1тптпНу (1атм = 760тпгНу), то в трубке возникнет газовый электрический разряд, который в этом случае называют "тлеющим" разрядом (не путать с "коронным", возникающим на концах мачт кораблей в виде огней Св.Эльма, и более привычным нам "искровым или "дуговым разрядами). Тлеющий газовый разряд имеет вид, показанный на рисунке.

Если давление воздуха в газоразрядной трубке понизить, то катодное темное пространство расширится па всю трубку и при давлении

п — 3

р 10 ммНд займет всю трубку. Трубка при этом будет темной.

33 это магнитное поле. При этом Резерфорд смог наблюдать расщепление этих лучей на названные им а —, Д вЂ”, г — компоненты. В результате последующих очень серьезных исследований, проведенных

Резерфордом, оказалось, что у — лучи явля- экран ются электромагнитными волнами очень У малой длины волны (много меньшей длины волны даже рентгеновских лучей), а а †лу потоком ионизованных атомов Не, т.е. потоком дважды ионов Не++, свинец или ядер атомов гелия. ~3 — Лучи оказа-

лись тождественными с катодными лучами Дж.Дж.Томсона, т.е. оказались электронным пучком.

В 1901г. Кауфман провел эксперимент с отклонением,З вЂ” лучей радиюактивпого источника иарвллвльпыми электрическим и магнитным полями, включенными одновременно. Фактически Кауфман воспользовался уже изобретенным и успешно использованным Дж.Дж.Томсоном так называемым "методом парабол", который по- настоящему был использовал лишь позднее, в 1911г. в связи с изучением анодных лучей и изотопов и изобретением масс-спектографа. Эксперемент Кауфмана показал, что масса электрона зависит от скорости, но не смог, однако, убедительно продемонстрировать, что эта зависимость действительно дается в то время уже известной теоретической релятивистской формулой:

11озже в 1916г. и в 1938г. эксперемент Кауфмана был повторен другими физиками, которые точными количественными измерениями доказали справедливость этой знаменитой формулы.

В установке Кауфмана использовались, как мы уже сказали, не перпендикулярные, а параллельные электрическое и магнитное поля. Кауфман исследовал не электроны катодных лучей, а ~ — лучи, излученные различными радиоактивными источниками. Пятнышко в центральной точке 0 на экране смещалось при этом в двух перпендикулярных друг другу направлениях. Предположим, например, что в направлении "вверх-вниз" мы имеем электрическое смещение (обозначим его у):

23

где С вЂ нормировочн постоянная. Найдем ее значение, используя

соотношение нормировки:

п ггсэ

где введено сокращенное обозначение х = е

Вычислим теперь среднюю энергию квантовой собственной электромагнитной моды в термодинамическом равновесном электромагнитном излучении:

так как С = 1 — х . Таким образом, окончательно приходим к формуле

Как видим, в "классическом" случае имеем формулу < Е >= йБ Т,

а в "квантовом" формулу:

графа или электронно — лучевой трубки дисплея ЭВМ).

Дж.Дж.Томсон в 1897г. первым стал изучать отклонение катодных лучей одновременно и электрическим, и магнитным полями ( поля при этом были перпендикулярны друг другу, как показано на рисунке). сэлектрическое поле создавалось пластинами, как показано на рисунке, плоского конденсатора, вмонтированного внутри трубки, на пластины которого подавалось постоянное напряжение г1. Магнитное поле создавалось электромагнитом, между полюсами которого располагалась та часть трубки, в которую был вмонтирован конденсатор. По обмоткам электромагнита пропускался постоянный электический ток 1.

Дж.Дж.Томсон в своей электронно-лучевой трубке смог скомпенсировать "электрическое" отклонение катодного луча его "магнитным" отклонием. В результате этого эксперимента Дж.Дж.Томсон доказал, что катодные лучи представляют собой поток быстро летящих очень легких частиц, которые впоследствии были названы электрона-

Если на плоский конденсатор, показанный на рисунке, подать напряжение гг' и если расстояние между пластинами конденсатора Й, а его длина 1, а также если учесть, что электроны влетают в конденсатор с очень большой скоростью и, то можно заключить, что электрон пролетит конденсатор за время ~ = —, при этом он будет отклонен постоянным электрическим полем конденсатора (скажем, для определенности в направлении "вверх — вниз ").

35

Пусть радиоактивный источник находится в начале координат и испускает лучи направлении оси О~. Таким образом, ось О~ — прямая, вдоль которой движется неотклоненный пучок. Пусть постоянное электрическое поле Е и постоянное магнитое поле В антипараллельны Е 'О В и направлены вдоль оси х.

Составим уравнение движения электрона. На электрон с зарядом — е (е = е~ — абсолютная величина заряда электрона) действуют следующие силы со стороны электрического и магнитного полей:

~ч.В] = и гг,, гг, = и, В~ — и„В 1с,

В О 0

то уравнения движения электрона примут следующий вид:

Так как в начальный момент при 1 = О, когда электрон только что вылетел из радиоактивного источника, он не имел х — и у— составляющих скорости, а имел только ~ — составляющую, которая была равна и, = ио,т.е. равнялась очень большой величине и (О, 8 — О, 9) с, то в дальнейшем, из — за того, что экспериментально достижимые поля Е и В не могут быть очень большими, скорости и и и„у электрона будут малыми по сравнению со скоростями и, и и .

Таким образом, первое и второе уравнения движения можно приблилсепно записать в следующем виде:

4

Распознанный текст из изображения:

20

2

и(сс) = Йв Т

к2 са

равна

Е

РдеЫ'= Се кв Т

сс ссl

йв Т при Ь вЂ” О. Е "вт

2 2

о о е~~Т

Ьси

и(си) =

к с евт

Асс

йвТ

Ьвт

0Г= Д

5

Ьвт

Аа) = ду.

Ь

4 4я2сз

е~ь Т

Получим

+х~

1 =- (1",в Т)4 се уз е1

/ . =оТ

42г2 с2 ~4 / ЕУ вЂ” 1

о

то есть имеем

< Е >=вивт;

Т(с) = С„сов(~ ~„, — ~р„),

сг = 5, 67.10

М2 1~. 4

= т =»

22г с

Л

иЛ=с,

Е„

Р =Се

26

равно

30

Л'т е.~~ Т вЂ” 1

ас

Х

2

Г еЕ еУ

а= 7п иъ исес

Л Т=Ь,

мальтийский

ь

еста

Емаг си В

)

т хп

тмъГ

У 96 500Кл;

32

с1и — =0 Ж с=о

1 еВ12

Л

2 ти

у — О, с=о

Получим формулы:

у с2

г

2 сиену

е2В2с4 рссс2

4ис2 ~2 2 сп с1 у

еВс2

и

2тх '

или

2 У

ес2 сс В2

еЕ „2 с2

х= — 1—

2 исо с2 и2

ио

е В ио ио с

У=

2 то с2 ио

е = 1,6.10 ' Кл,

е Е с2

х=—

2 ~

2то ио

еВ12

У

2то ио

а следовательно,

2В2с4 1 2В2с4

У 4то 2и2 4то2 е Е Р

иго

тп =

или

П2о

т =

е В2 с'2

Р х.

2исо

Таким образом, при переходе от классических представлений к кван-

24

товым мы должны первое выражение заменить на второе, что мы и

сделали выше при выводе формулы Планка.

е. Закон Стефана — Больцмапа и закон смещения Вина

Обратимся теперь к рассмотрению формулы Планка и выведсм из нее два важных закона, которым подчиняется термодинамически равновесное тепловое электромагнитное излучспис.

Проинтегрируем формулу Планка для спектральной интенсивности теплового излучения 1(си) по всем частотам си от 0 до +оо и получим следующую формулу для полной интенсивности 1 теплового излучения:

Совершая замену переменной интегрирования

где г — некоторая постоянная, не зависящая от температуры.

Получили так называемый закон Стефана-Больцмана, утверждающий, что полная интенсивность теплового излучения пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры. Значение постоянной а, называемой "постоянной Стефана — Больцмана", равно

Закон Стефана — Больцмана был открыт этими учеными в конце Х1Хв., до вывода Планком его формулы с помощью квантовой гипотезы,

Выведем теперь закон смещения Вина. Начнем с того, что введем новую спектральную интенсивность; 1(Л), характеризуемую длиной волны Л, а не частотой ы . Имеем очевидные соотношения:

Отклонение электрона при вылете из конденсатора очевидно будет

где а — ускорение, сообщенное электрону электрическим полем кон-

денсатора по направлению вверх, т.е.

где е = ~е~ — абсолютная велечина заряда электрона, пс — его масса.

Таким образом, "электрическое" отклонение равно

Вылетев из конденсатора, электрон будет двигаться по инерции по прямой, так как на него не действуют никакие силы (влияние силы тяжести ничтожно мало, из-за ничтожности массы электрона). Так как мы наблюдаем от него вспышку на удаленном экране, то этот сс "усиливается" .

Определим теперь "магнитное" отклонение. Магнитное поле тоже однородно и действует в той же области ( длины 1 ), что и электрическое поле. Магнитное поле перпендикулярно плоскости рисунка. Поэтому оно отклонит электрон в плоскости чертежа. Магнитное поле сообщает электрону ускорение

где В = ссо Н вЂ” индукция магнитного поля. Таким образом, "магнит-

ное" отклонение равно

Если теперь добиться, чтобы "электрическое" и "магнитное" отклонения скомпенсировали друг друга (пятнышко при этом от каждого луча на экране не будет смещено из начальной точки О, несмотря на ВКЛЮЧЕННЬСЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ И МаГНИтНОЕ ПОЛЯ), тО Е, = 2:,с~„И ПОЭТОМУ

Решать эти уравнения следует с такими начальными условиями:

еЕ

О 2 о ио2 2 х= — — 1 — — 1, у=— 1 ——

2 то с2 2 исо с2

Пусть расстояние между радиоактивным источником и экраном Е равно 1 . Тогда приближенно — Координаты точки 'ио ' М,в которую попадет пучок при включенных полях Е и В, таким образом, равны:

Х

2 Нерелятивисткий предел. Пусть ио « с, тогда 1 — — ~~- ~ 1.

с Поэтому

Получили уравнение параболы, которая является геометрическим ме-

стом точек на экране трубки, в которые может попасть пучок при раз-

личных начальных скоростях ио .

ческими представлениями" и будем считать, что энергия Е этого колебания может иметь любые значения от 0 до +ос . Если все электромагнитное излучение равновесное и характеризуется абсолютной температурой Т, то вероятность того, что данное электромагнитное собственное колебание имеет энергию, заключенную между Е и Е + дЕ,

где С вЂ нормировочн постоянная, равная 1 ††, как мы только что

1

х,т

показали.

Вычислим среднюю энергию рассматриваемой собственной моды

электромагнитной моды; она дается следующей формулой:

+оо + Е

< Е >= ) ЕР~е1Е= С / Ее квТТМ

о о

+ Е

+со

— СИвТ )' Ед(е кв1) = СйвТЕе %вТ +

о

о

+ Е

+СйвТ ) е квТе1Е= ~вТ,

о

этот результат мы уже использовали выше при обращении к теореме Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы и выводе формулы Релея — Джинса.

Обратимся теперь к "квантовым представлениям". Теперь каждую собственную электромагнитную моду частоты си надо представить как состоящую из некоторого числа фотонов энергии Ьси каждый. Соответственно энергия моды будет определяться теперь числом имеющихся в ней фотонов. Если число фотонов в моде обозначим через и, причем п = О, 1, 2 ..., то энергия моды равна Е = Е„= п.йси. Если п = О, то данная мода вообще не возбуждена. Теперь энергия моды имеет не непрерывные, а дискретньсе значения.

Предположим, что в равновесном электромагнитном излучении, имеющем температуру Т, вероятность какой-либо данной моде иметь энергию Е„дается множителем Больцмана, то есть

28

При еще меньшем давлении р и 10 мм На стекло в трубке напротив катода начнет светится неярким тусклым синевато-зеленоватым светом начинает фосфоресцировать. Очевидно, что то невидимое.

испускается катодом и падает на стекло напротив катода и вызывает фосфоресценцию стекла. Это "что — то" открыл Крукс в 1870г.

и назвал его "катодными лучами' .

К Он понимал важность своего откры- З тия и даже говорил о катодных лучах как о "четвертом состоянии вещества . Эксперименты Крукса Я~ А и других исследователей показали,

что если поставить на пути лучей какое-либо препятствие, например, мальтииский крест, то оно будет отбрасывать тень на светящееся стекло трубки, Путь лучей, как оказалось, можно отклонить магнитным или электрическим полем.

Здесь следует отметить, что эксперименты с катодными лучами, в частности, со свечением, испускаемым стеклом трубки, привели в 1895г. к открытию Рентгеном его "Х лучей", или обычных рентгеновских лучей, и в 1896г. к открытию Беккерелем радиоактивности солей урана.

Физическую природу катодных лучей удалось выяснить Дж.Дж.Томсону. Сам Крукс и многие современные Дж.Дж.Томсону физики склонялись к тому, что последние представляли собой особый вид электромагнитного излучения, подобного рентгеновскому излучению.

Дж.Дж.Томсон эксперементировал с трубкой, показанной на рисунке (исторически эта трубка Томсона послужила прообразом кинескопа современного телевизора. электронно — лучевой трубки осцилло-

а в направлении "вправо — влево" пусть мы имеем магнитное смещение

(обозначим его х):

34

Скорость электрона и нам неизвестна. Поэтому исключим ее из

обоих приведенных формул. Получим тогда, очевидно, что

Получили уравнение параболы с вершиной в начале координат, изображенной на рисунке. Вне зависимости от значения скорости и пятнышко от пучка на экране всегда должно лежать на указанной параболе. Одна половина параболы соответствует параллельным Я электрическому и магнитному полям, другая Е — антипараллельным. Из-за неизбежного разброса скоростей электронов в пучке (а также при сознательном измспспии напряжения Г о между катодом и анодом) получаем эксперих

ментально достаточно протяженные участки параболы, из гсометрии которых можно определить, в частности, значение отношения е/сп. Область больших и очень больших скоростей и соответствует области вблизи вершины О параболы.

Эсперименты Кауфмана показали, однако, что экспериментальная кривая вблизи вершины существенно отклоняется от параболы и имеет вид, показанный на приводимом рисунке. На ней в точке вершины наблюдаем "угол", или ф~ "клюв". Именно эти экспериментальные ре-

зультаты подтвердили теоретическую реляти-

вистскую формулу:

для зависимости массы электрона от его скорости, в которой с — скорость света в пустоте.

Формула Планка, полученная на основе квантовой гипотезы, отличается от выведенной формулы Релея — Джинса:

тем, что вместо величины йв Т берется величина

Формула Планка, таким образом, для объемной спектральной плот-

ниспси энергии имеет вид:

Формула Планка для спектральной интенсивности равновесного

теплового электромагнитного излучения соответствено имеет вид:

д. Осцилляпсор Планка,. Средняя энергия классического и квантового

осцилляторов

Собственное колебание электромагнитного излучения в полости

является простым гармоническим колебанием, так как

где С,, р„произвольные постоянные, характеризующие амплитуду и начальную фазу колебания. Произвольная физическая одномерная система, совершающая гармонические колебания, называется "осциллятором".

Примером осциллятора является масса т на пру-

!

жине жесткостью й . Таким образом, собственное

колебание, или мода электромагнитного поля в полости, является осциллятором.

Электромагнитное излучение в полости мы представили, таким образом, как систему осцилляторов. Такое "представление" аналогично представлению идеального газа совокупностью его невзаимодействующих между собой молекул.

Умножим правую и левую части этого уравнения на

и получим следующее трансцендентное уравнение:

Ьс 6 Ьс

бЛТ е ~7вТ 1 + — е ~":вТ = О,

Как видим, в это трансцендентное уравнение Л и Т входят не по- отдельности, а только в виде произведения Л Т. Таким образом, обозначив через о решение приведенного трансцендентного уравнения, приходим к равенству:

которое называют "законом смещения Вина". Значение константы Ви-

на 6 равно О, 29 см

Закон смещения Вина показывает, что смещение максимума спектральной интенсивности теплового излучения для длин волн обратно пропорционально абсолютной температуре. При увеличении тсмпсратуры максимум излучения сдвигается в сторону коротких волн. Тела при нагревании сначала светятся красным, затем голубым и белым светом (" красное" и "белое" каление).

1.4. Корпускулярыые свойства электронов

Электрон как микрочастица нашего мира был экспериментально открыт в 1897г. Дж.Дж.Томсоном. Впрочем еще Максвелл в своем знаменитом Трактате об электричестве и магнетизме в 1873г. обсуждал возможность существования "молекул электричества". Об электроне говорил также Гельмгольц в своей знаменитой речи 1881г.

Максвелл опирался на закон электролиза растворов, открытый Фарадеем, согласно которому с каждой грамм — молекулой (или просто молем ) ионов определенного типа в электролите связано определенное количество электричества так называемое "число Фарадея"

Заряд электрона непосредственно эксперементально пытался измерить уже сам Дж.Дж.Томсон. Он определял количество воды, сконденсированной на данном числе ионов (Эти исследования привели впоследствии к созданию Вильсоном — одним из сотрудников Дж.Дж.Томсона — знаменитой "камеры Вильсона", котора.я долгое время до начала 1950-х гг. была практически единственным инструментом для изучения элементарных частиц; в частности, с ее помощью были открыты позитрон, нейтрон, 2г — и сс — лсезоны).

Действительно надежные результаты по величине заряда электрона получил только Милликен, который в 1906г. разработал знаменитый "метод капель": он наблюдал и измерял под микроскопом скорость падения маленькой масляной капельки, медленно падающей в пространстве между пластинами заряженного плоского конденсатора.

Оказалось, что скорость падения капельки, Г.. при длительном наблюдении, время от времени изменяется скачками, становясь то больше, то меньше, причем величины скачков оказа-

лись кратными одной и той эссе некоторой опре-

деленной величине. Другими словами, оказ-

а~ ав лось, что заряд капельки д является небольшим

кратным п заряда электрона, т.е. с1 = пе, где и — сравнительно небольшое целое число. В результате своих экспериментов Милликен в 1910-1913гг. для заряда электрона получил следующее значение:

очень близкое к современному значению.

Из последующих экспериментов с пучками электронов, как с пучками корпускул, расскажем здесь об интересных экспериментах Кауфмана, которые он провел в 1900г., вскоре после работы Дж.Дж.Томсона 1897г. Кауфману впервые удалось экспериментально измерить зависимость массы электрона от его скорости, достаточно хорошо согласующуюся с ныне известной знаменитой релятивистской формулой:

В 1898г. Резерфорд провел свой знаменитый эксперимент с расщеплением радиоактивных лучей. Он поместил радиоактивный источник в магнитное поле (на рисунке оно псрпендикулярно плоскости чертежа) и заставил лучи, испускаемые им, пройти через

5

Распознанный текст из изображения:

е Е' 2 12

о

х — — — 1 ——

2 то с2 с~

еВ

у:

1 — — '

2 то с~ с

ти

— =еГ

2

пад.луч

Таким образом,

р=тв= ~2 тГ

у Вс х Е

алла

Таким образом, согласно де-Бройлю,

и 6

Л= — =

/2 1

Л = 1,67А;

— 0 = — — у2 = — —— 2' 2 2 2

Разность хода = АВ+ ВС вЂ” АП.

47

43

45

а потому

До Лоренца такого рода электрические атомно-молекулярные представления о строении вещества в середине Х1Хв. развивал Вебер (1804-1891), ученик и младший коллега, знаменитого математика Карла Фридриха Гаусса.

Особенный успех электронной теории Лоренца связан с обьяснением им эффекта Зеемана. Молодой Питер Зееман(1865-1943) начал работать в Лейденском университете, когда в нем уже много лет трудился Лоренц. Зееман уже в самой начале своей научной карьеры экспериментально открыл свой знаменитый эффект в 1896г.

В этом эффекте Зееман обнаружил удивительное расщепление спектральных линий атомных спектров при помещении источника света (скажем, пламени газовой горелки, в которое вносился кусочек того или иного химического вещества) в магнитное поле. Величина расщепления по частоте была пропорциональна индукции магнитного поля.

В 1902г. Лоренцу и Зееману была присуждена вторая нобелевская премия по физике: "За исследование влияния магнетизма на процессы излучения", т.е. фактически за открытис и объяснение эффекта Зеемана.

ег

1' = Е(~') = (при г < а),

4~гео аз

1 (г) — ~о +

где

Р = — ~гас1 Г = — 1'г,

42г 2'~ ео Ь' = е

Заряд Я, внутри любой сферы ради-

уса г ) а, равен очевидно е — пол-

ному заряду положительно заряжен-

ного шара.. Таким образом,

Изложим здесь теорию эффекта Зеемана в рамках модели атома

Дж.Дж.Томсона, как эта теория была сформулирована самим Лорен-

е

Š— Е(г) = (при г ) а),

4кео х.2

тх=Я' = у'х

цем.

На точечный электрон с зарядом — е(е = ~е~) и массой т, движущийся внутри шара радиуса а, однородно заряженного положительным электрическим зарядом величины е, если этот шар помещен во внешнее магнитное поле индукции В, действует атомная квазиупругая сила Г „= — ~г, где ~ — коэффициент этой квазиупругой силы, и сила Лорепца Гл —— — е [ч, В), где ъ — мгновенная скорость электрона, причем у = г. Уравнение движения электрона имеет следующий вид:

или в виде:

тх+~х = О.

Найдем теперь потенциал у рассматриваемого электрического поля. Согласно сферической симметриии <р(г) = ~о(~г~) = ~О(г), т.е. ~р зависит только от т — расстояния точки наблюдения до центральной точки. Так как

т1': Еупр + Ел: Уг е [~'2 1

х = С'1 сов(~ 2о ~) + С2 з1п(о.2о ~),

Рассмотрим декартову систему координат с началом в центре заряженного шара и с осью г, направленной вдоль вектора  — вектора индукции однородного внешнего магнитного поля. Тогда векторы В и г будут иметь компоненты г(х, у, г) и В = (О, О, В) . Далее

Е = — ~гас1 ~р,

о 1 ~Я

2'Π= — = — '

1 1 1с

В] = х у г =1у —,1хВ 0 0 В

Е(г) — = ЕИ=—

дг

51

Чтобы его решить, найдем характеристические корни. Для этого

представим решение в виде ~ = Ае'г~', где й характеристический

корень. Подставляя это решение в уравнение, получаем условие

53

недано поляризовано, причем направление поляризации бкдет совпадать с направлением движения заряда по прямой.

Эффект Зеемана наблюдают, устанавливая спектральный аппарат либо вдоль, либо поперек магнитного поля. При этом один из сердечников электромагнита приходится просверливать. По направлению оси наблюдаются две линии, поляризованные ~о правому и левому кругу с частотами о2о + о2~ и о2о — ы~, соответственно. Центральную линию при этом мы не наблюдаем. По направлению, перпендикулярному оси ~ (например, при наблюдении вдоль оси у, как показано на рисунке) мы наблюдаем три линии, линейно поляризованные с частотами: о о — о2~, с~о и ыо+о2~ . Центральная линия оказывается линейно по-

В

ляризованной вдоль поля, боковые—

поперек поля. 111

'1'аков классический, или так называемый нормальный эфект ЗеемаО

на. Кроме него, на эксперименте

намного чаще наблюдается так называемый аномальный эффект Зеемана, когда отдельная спектральная

х

линия атомного спектра расщепляется не на три, а на большее число компонент. Для объяснения ано- 11

мального эффекта Эеемана нужно ~) С~

вводить квантовые представления, в

частности, учитывать, что электрон обладает внутренним собственным моментом импульса — спином.

Наблюдая в 1896г. свой эффект, Зееман сумел экспериментально измерить величину расщепления, т.е. определить значение ларморовой частоты о~т, — 2 †. Так как индукция магнитного поля В

еВ

2т '

экспериментально ему была известна, Зееман смог, пользуясь теорией Лоренца, найти отношение — для электрона. Оно оказалось равным

е

У г

т

о

( — й~ + ыо + 2о2т, й) А = 0

~г — 2о2~ й — Ы~ = 0

Разрешая его, получаем, что

— ~с+ "2о.

о~о т о.2о = ~ю (1 тыо)

еВ з еВ

еВ.

"' о+2

еВ

~г = — (о~о — о~ь) .

~11 = о~о+ о~л,

~ — 4 е2(ы.+ы~) 1

та

х = А сов[(ыо + ы~) ~],

у = А з1н~(~оо + о~с) ~],

~=0;

— = 1, 76.10

т кг

т.е. имело такое же аномально большое значение (и даже равное ему), как и для отношения е для корпускул катодных лучей в эксперимент

тах Дж.Дж.Томсона.

Так было экспериментально доказано, что электроны в катодных лучах и электроны внутри атомов и молекул — одни и те же физические микрообъекты.

А

Л вЂ” 2 (о~ о — О~ ь ) 2

37

Ультрарелятивистский предел. Пусть по и с. Тогда корень

и

1 — — $ очень мал. Следовательно, имеем соотношения

Получаем уравнение прямой, изображенной на приведенном выше рисунке.

Левые ветви кривых соответствуют случаю, когда поля Е и В параллельны и направлены по оси х. Правые ветви случаю, когда поле Е направлено по оси х, а поле В против оси х. Эти случаи проиллюстрированы на рисунке.

В радиоактивных источниках в эксперименте Кауфмана скорости электронов ио были близки к скорости света с и имели значительный разброс. Поэтому он эксперементально получил на экране не точку а

> кусочек прямой, который существенно отничался от параболы.

1.5 Волновые свойства электронов. Эксперимент

Дэвиссона-Джермера

В 1927г. Дэвиссон и Джермер провели замечательный эксперимент, который доказал, что пучок электронов обладает также и волновыми свойствами.

Чтобы наблюдать волновые свойства света, можно использовать дифракционную решетку. Параметр П дифракционной решетки должен быть, однако, порядка длины волны пучка. Для видимого света с длиной волны 4000А — 8000А дифракционная решетка может быть изготовлена механическим способом — путем нанесения штрихов на стеклянную или металлическую плоскопараллельную пластинку (порядка 100, 500, 5000 штрихов на 1 мм). Для рентгеновских лучей, имеющих длину волны порядка 1А = 10 м, уже невозможно изготовить искусственную дифракционную решетку. Великой заслугой М.Лауэ в 1912г. было предложение использовать в качестве дифракционной решетки для рентгеновских лучей естественную кристаллическую решетку твердых тел. С помощью такой "решетки" впервые было

К ак видим, электрическая напряженность Е'(г) возрастает линейно

с увеличением от значения е(Оо = 0 до . аче я Г(~) = р

4тго а

Рассмотрим теперь случай т ) а т.е. когда электрон находится вне заряженного шара. Рассуждая аналогично и применяя теорему Гаусса к воображаемой сфе-

Е ре, изображенной на рисунке и проведенной через точку М, находящуюся на расстоянии г от центра шара, получим,что

Получили такой же результат, как если бы вместо заряженного шара имели точечный заряд величины е, помещенный в центре шара. График зависимости Е(т) от г выглядит так, как показано на рисунке.

то для радиальной компоненты напряженности электрического поля

получаем

49

Отношение ~ дает квадрат угловой частоты колебаний электрона

в атоме, когда магнитное поле В = 0 отсутствует. То есть

Составляя линейную комбинацию двух найденных частных решений — для двух независимых колебаний, происходящих в плоскости х, у и решения для колебаний вдоль оси ~, получаем общее решение исходной системы трех уравнений движения электрона, содержащее 6 произвольных постоянных, как и должно.

При малых магнитных полях В получим следующие приближенные формулы:

Предположим, что наблюдатель со спектрографом располагается на полоэкительной полуоси Ог и смотрит на электрон, вращающийся в плоскости х, у. Он будет видеть вращение с амплитудой а1 и начальной фазой р1 которое происходит в направлении по часовой стрелке, и заключит отсюда, что электромагнитные волны, испускаемые вращающимся электроном в положительном направлении оси Ог, поляризованы по правому кругу. Наблюдатель этот увидит также и другое вращение электрона с амплитудой а.2 и начальной фазой р~, которое происходит в направлении против часовой стрелки, и заключит отсюда, что электромагнитные волны, испускаемые вращающимся электроном в положительном направлении оси Ог, поляризованы по левому кругу.

Таким образом, когда испускаемый атомом свет распространяется в направлении магнитного ноля, то компонента дублета с меныией частотой будет поляризована по правому кругу, а компонента дублета с большей частотой будет поляризована по левому кругу.

Если бы заряд электрона был положительным, то ситуация была бы обратной. Зееман нашел, что экспериментально наблюдается как раз прямая ситуация. Таким образом, он доказал своим экспериментом, что заряд атомного электрона отрицательный.

39

Разберем теперь теорию эксперимента. На рисунке изображена кубическая решетка никеля Юг', обрывающаяся на поверхности кристалла. Показаны две так называемые кристаллические плоскости, т.е. воображаемые плоскости, которые можно провести через узлы кристаллической решетки, от которых и происходит, на самом деле, как выяснил Брэгг, исследуя отражение рентгеновских лучей от кристалла.

Две кристаллические плоскости, изображенные на рисунке тако-

> вы, что нормаль к ним является биссектрисой угла ~о, а угол ~р это угол, соответствующий максимуму отражения.

Очевидно

Из прямоугольного треугольника АВС получаем что сов 0 = т.е. д = 0 сов О . Здесь 0 — параметр кубической решетки Х~, который равен 2, 15А (он был уже известен Дэвиссону и Джермеру из рентгеновских измерений).

Согласно Брэггу, отраженный луч будет интенсивным только тогда, когда разпость хода между двумя интерферирующими лучами

) отраженными от двух соседних параллельных кристаллических плоскостей, изображенных на рисунке, будет равна целому числу п длин волн Л, т.е. будет равна п Л (условие Брэгга).

Вычислим эту разность хода. Сначала используем не очень удобный, но традиционный чертеж. Пусть падающий луч отражается от верхней плоскости в точке А и от нижней в точке В . Найдем разность хода между двумя указанными лучами. Опустим перпендикуляр из точки С на первый отраженный луч и построим нрямоуольный треугольник АПС . Очевидно

шара, если энергии Е электрона положительна.

Рассмотрим только важный случай, когда энергия Е электрона

имеет небольшую величину. Тогда электрон н

н не выходит за пределы

шара. При таких энергиях потенциальную энергию Г(г) можно взять

в упрощенном, так называмом "осцилляторном" виде

,'1 е2 е2

1'о =

8кео а ' 4л.ео аз '

оэффицент ~ назовем коэффицентом атомной "квазиунругой силы".

ила, дейстюуЮщая На электрон в рассматриваемых условиях достаточно малых энергий Е всегда дается формулой

кую упругую силу.

т.е. представляет собой обычную механическую упр г

Чтобы проиллюстрировать характер движения электрона в атоме Дж.Дж.Томсона, рассмотрим совсем простой частный случай движения, когда электрон движется только вдоль ос . Т

оль оси х . огда его уравнение движения запишется в следующем простом виде:

Разделив обе части уравнения на т получим уравн

1 ур ения простых гармонических колебаний:

х+~2ОХ=0 ~"О = —,

2

т

общее решение которого имеет вид

д С12 ~ 2 †констан интегрирования.

Л егко показать, что и произвольное движен

ение электрона в атоме

Дж.Дж.Томсона при достаточно низкой энергии Е < 0 будет простым

гармоническим колебанием с частотой

и, так как А ф О, то отсюда имеем следующее характеристическое

уравнение:

В достижимых на эксперименте магнитных полях всегда имеем неравенство о2т, (( о2о . Поэтому под знаком корня можно пренебречь о2ь

2 по сравнению с о2о и приближенно получить формулу

2

из которой имеем две характеристические частоты:

Получаем два линейно независимых решения. Рассмотрим их по-

отдельности. Возьмем первое решение:

(для простоты считаем, что А — действительное число). Так как ~ х + 2 у, то получаем формулы

х

они описывают движение по окружности радиуса А, происходящее в направлении по часовой стрелке, если смотреть на движущийся электрон издали вдоль магнитного поля.

Рассмотрим теперь второе решение:

41

Посмотрим теперь, что дает формула де-Бройля для длины волны исследуемого пучка электронов. Чтобы ею воспользоваться, надо знать скорость электронов и. Так как каждый электрон ускоряется напряжением 1' (между катодом и анодом), то его кинетическая энергия равна

где е — заряд электрона. Следовательно, и = е ~, а потому

Подставляя в эту формулу значение постоянной Планка 6,6.10 Дж.с, величины заряда и электрона е = 1,6.10-19Кл, 0 910 — зокги Г =

= 54 В (экпериментальное значение резонансного потенциала Дэвиссона и Джермера), получаем, что

т.е. мы получаем более, чем удоволетворительное, совпадение с экспериментом.

Так что гипотеза де-Бройля для электронов (а потом, как оказалось, и для всех других элементарных микрочастиц) полностью оправдалась.

Таким образом, электроны, как и фотоны, тоже обладают корпускулярно — волновым дуализмом,

Вместе с тем, следует еще раз подчеркнуть, что корпускулярная и волновая модели частицы, буквально понятые, противоречат друг другу.

Природа вышла из этого затруднительного положения следующим любопытным образом. Оказывается, нет ни одного реального физического экперимента, чтобы в нем проявлялись одновременно строго и корпускулярные, и волновые свойства какой — либо физической микро- частицы.

Имеются экперименты, в которых, скажем, электрон, проявляет с полной определенностью свои корпускулярные свойства, и есть другие эксперименты, в которых он проявляет также с полной определенностью свои волновые свойства. Но нико

о никогда в одном и том же

6

Распознанный текст из изображения:

38

40

42

2И 2с1 соя~ 0

АР = АС соя 0 = — =

$ц0 я1п д

Таким образом,

2А — Ао = — — ~—

Разность хода =

к гальва-

нометргс

4 з

р = е: — гга

3 4таз '

= 2с1я1пд

злектроскоп

2с~ягпд = и Л,

О ЫЯ=4л т2со Е,

4гг з 4гг з 3е

Я= — т р= — т =е —, 3 3 4гг аз аз '

с1я1пф =Л.

Следовательно,

та

4тт~со Е = е —,

Л = 1,67А

44

48

46

Е(т) Мт = — Г сгт — (т)

Г 'г Ы р(т)

сЬ.

т т

тк = — ~;г — еуВ,

игу = — ~у+ ех В,

тж= — Гг.

1о(т) = Е(т) сЬ .

г

со — — О, 885 10

м

г о —— 1015 с

е =1 6.10 ' Кл,

пг = О, 9 10 зо кг,

получим

к = ао соя(сто~ — Рп)

а = 1,86 10 'ом,

а

р(т) = Е(т) Й + 1о(а) = т

у = — а1 я1п(юг г — Р1);

у = а-г я1п(со~ 1 — Рг)

х = аг соя(юг ~ — Фг), ;с = 02 соя(со2 ~ Ф~)

у = — аг юг соя(с~г г — Фг)

~ = аг ы соя(сог 1 — фг),

или соотношение

е2

2,2

— +

8,0 ар~

прит>а,

при т (а,

еВ

~)г +

т иг

еВ ы — — сог =— 2 т ги

для определения частоты м~.

50

52

та

х = А соя[(сто — сот.) 1],

у = — А ягп~(ыо — ыс) ~~,

г=0,

2+со,2 =О,

тх = — ~л — еуВ,

гиу = — г' у + е х В,

спектр при В=О

т~ = — гс, — еуВ+гетВ.

Очевидно

излучает электро-

иг~+~~ — ге В~ = О.

~ + сто~~ — 2гсог, ~ = 0.

экперименте электрон безоговорочно не проявляет одновременно и кор-

пускулярных, и волновых свойств.

1.б. Модель атома Дж.Дж.Томсона

Первооткрыватель электрона (в 1897г.) Дж.Дж.Томсон, (в лаборатории которого начинал студентом свою научную карьеру Резерфорд) в 1903г. предложил знаменитую первую модель атома (в частности, простейшего атома атома водорода, которым мы только и будем сейчас интересоваться).

Согласно модели Дж.Дж.Томсона, положительный заряд атома представляет собой однородно зарязкенньгй шар радиуса а с объемной плотностью электрического заряда

где е = ~в~ — абсолютная величина заряда электрона. В этот шар в случае модели атома водорода погружен один электрон.

Рассчитаем электрическую потенциальную энергию 1'(г) = — е р(г) для электрона в атоме Дж.Дж.Томсона. Здесь р(г) — потенциал электрического поля, созданного положительным зарядом атома распре) деленным по его объему.

Сначала найдем абсолютное значение модуля напрязгсенпости электрического поля Е(т) на расстоянии т от центра шара.

Рассмотрим сначала случай, когда т < а т.е. когда электрон находится внутри заряженного шара. Через точку М, в которой

мы хотим рассчитать напряженость электриче- Е ского поля, проведем воображаемую сферу с центром в центре О шара. Применим к этой сфере теорему Гаусса. Электрический поток, вытекающий через указанную сферу наружу, очевидно равен

а заряд Я, находящийся внутри сферы, равен

и поэтому имеем следующую систему уравнений движения для нашего

электрона в декартовых координатах:

Система эта описывает множество различных частных движений

электрона. В первые два уравнения не входит г, а в последнее, третье,

— не входят с у. Седовательно, рассматриваемая система, уравнений

)

"разделяется": па систему первых двух уравнений и на одно — третье

уравнение. Это последнее уравнение показывает, что магнитное поле

вообще никак не влияет на колебания в направлении оси ~. Его общее

решсиие имеет следующий вид:

де а,, ~ро — произвольные постоянные и с"о — ~/ иг . Система первых двух уравнений имсст два следующих независимых

частпых решения:

где аг, рг и а2, ~рг — произвольные постоянные. Действительно, возьмем, например, первое решение. Очевидно

Следовательно, выполняется соотношение:

т а1 со1 соя(со11 — ~р1) = — Г а1 соя(со1 1 — у1) + е В а1 со1 соя(со11 — ~р1),

из которого можно найти значение частоты со1. Если взять вт.орое решение, то получим соотношение

1.8. Модель атома Резерфорда. Формула Резерфорда

54

Эрнст Резерфорд (1871-1937) начал свою научную деятельность в Кавендишской лаборатории в Кембридже у Дж.Дж.Томсона. Но проработав в лаборатории Дж.Дж.Томсона несколько месяцев, уже с 1898г. стал работать самостоятельно сначала в Мак-Гиллском университете в Монреале (Канада), а с 1907г. в Манчестерском университете (Англия).

Резерфорд занялся радиоактивностью практически сразу же после ее экспериментального открытия (сначала в Кембридже у Дж.Дж,Томсона). Радиоактивность солсй урана была открыта французским ученым А.Беккерелем в 1896г. и интенсивно изучалась во Франции Марией и Пьером Кюри, которые в 1898г. заявили об открытии нового химического элемента, испускающего очень сильное излучение полония, а в 1899г. — радия. В 1903г. А.Беккерелю, П.Кюри и М.Склодовской-Кюри была присуждена третья нобелевская премия "За открытие явления спонтанной радиоактивности и за исследования радиоактивного излучения".

Резерфорд в 1899г. установил, что радиоактивное излучение со-

стоит из а —, ф — и г — лучей, на которые радиоактивный пучок расщепляется в магнитном поле. Резерфорд первым поместил радиоактивный источник в однородное магнитное поле. Магнитное поле сильно отклоняет Д вЂ” лучи и существенно слабее сг — лучи, на 7 — лучи оно совсем не влияет. экран Вскоре Резерфорду стало ясно, что ~3—

лучи представляют собой поток электро- (Х нов Дж.Дж.Томсона, а 7 — лучи являются электромагнитными волнами. Резерфорд поэтому решил провести специальные систематические исследования по выяснению физической природы сг — лучей. Их он проводил в 1899 — 1908гг., тщательно исслесвинец

дуя процессы радиоактивных превращений атомов различных химических элементов и ставя многие чисто физическис эксперименты с сг — лучами. Он разработал при этом в деталях теорию ядерных превращений химических элементов при радиоактивных распадах, или в ядерных реакциях, как мы теперь бы сказали, за что в 1908г. получил нобелевскую премию по химии.

В 1911г. на основе правильного объяснения экспериментов своих сотрудников Гейгера и Марсдена по рассеянию а †част; при падении и прохождении их через фольгу из золота Аи Резерфорд открыл свою знаменитую "планетарную модель атома", согласно которой атом име-

Из треугольника АМВ непосредственно

видно, что АМ = — о и что АВ = — 0-. Так

с1 И

с~0 ягнят '

как АС = 2АМ = — о, то из треугольника

2с~

Я7~ '

АРС получаем соотношение:

Согласно условию Брэгга, для максимального отражения имеем,

таким образом, равенство

где и — целое число (у нас и — 1).

Разность хода можно вычислить проще, если воспользоваться другим чертежем. Из точки А опустим два перпендикуляра на внешний луч и построим на нем симметричные точки В и С . Разность хода двух указанных на рисунке лучей очевидно равна удвоенному отрезку В.О, а, следовательно, равна 2дя1п 0, как это сразу видно из прямоугольного треугольника АВР .

Полагая и = 1 и учитывая, что с~ сг Р соя О, получаем в качестве условия макси-

мального отражения следующее равенство:

2с~я1п 0 = 2.0 ягп 0 соя 0 = Р ягп 20 = Л

или, так как д = 2- — $, равенство:

Учитывая,что Р = 2, 15А и ~р = 50, отсюда имеем

Если считать, что ио равно экспериментальной частоте колебаний

электронов в атомах, т.е. частоте световых волн порядка с о — 10~~ Гц

)

т.е. считать, что г о нам известно, то из приведенной формулы можно

получить значение радиуса атома:

Подставив в эту формулу значения величин е, ги, со и г о

т.е. приходим к правильному порядку величины размера атома 1А = 10 ~~м.

Несмотря на грубость и принципиальную физическую ошибочность модель атома Дж.Дж.Томсона дает все же довольно правильное описание физического процесса взаимодействия света с атомом вегчсства и в виде так называемой модели "упруго связного электрона используется и в настоящее время для получения оценок по порядку величины.

1.7.

.7. Электронная теория Лоренца. Классический эффект

Зеемана

Георг Антон Лоренц (1853-1928), знаменитый голландский физик, в течение многих лет, начиная с первой своей работы 1875г. разраба-

'1 тывал, как ее стали называть впоследствии, "электронную теорию " вещества. Наиболее полно его представления сформулированы в работе 1892г.

Лоренц предположил, что все тела состоят из большого количества ПОЛОЖИТеЛЬНО И отрицательно заряженных микрочастиц, которые он мыслил себе наподобие ионов электролитов и даже назвал их "иона)>

ми . Электрические и магнитные явления в физических телах соглас) но Лоренцу, вызваны исключительно взаимным перемещением этих микрочастиц. Электрический заряд тела, например, — это избыток в нем заряженных микрочастиц определенного знака. Электрический ток — это поток заряженных микрочастиц, проходящий внутри тела.

(снова будем считать, что А — действительное число). Так как ~ = т + г у, то имеем формулы

г

они описывают движение по окружности радиуса

А, происходящее в направлении против часовой

стрелки, если смотреть на движущийся электрон издали вдоль магнитного поля.

Из трех изученных независимых движений (прямолинейного вдоль оси ~ и двух круговых в плоскости тОу) составляем произвольное движение электрона в атоме Дж.Дж.Томсона в магнитном поле.

Посмотрим теперь, как излучает электромагнитное излучение электрон, движущийся в атоме Дж.Дж.Томсона. Частота излучения

равна частоте движения электрона.

спектр

при В 0 Таким образом, атом, который без

внешнего поля ( — О) излучает одну спектральную линию частоты ыо, в магнитном поле (В ф 0) должен

соо о О соь соо вго соь излучать три близких спектральных линии с частотами: сто — ыг,, сто, сто + ы г, .

Как раз это и наблюдал Зееман в своем эффекте. Спектральная линия при помещении источника света "расщеплялась" на три эквидистантных линии, причем величина расщепления по частоте была прямо пропорциональна индукции наложенного магнитного поля.

Объясним теперь поляризацию испукаемого атомом света в отдельных спектральных линиях всех трех компонент зеемановского трипле-

та.

Ускоренно движущийся заряд обязательно магнитные волны. Если этот заряд совершает гармоническое колебательное движение с частотой ыо вдоль некоторой прямой, то он излучает не вдоль направления своего движения, а в бока так устроена его индикатриса излу\

Н

чепия.

Излучение, приходящее к нам по

какому-то направлению ОМ будет ли-

экспериментально доказано, что рентгеновские лучи это электромагнитные волны очень малой длины волны. Одновременно возник и рентгеноструктурный анализ.

Для электронных пучков в электронно — лучевых трубках, ускоряемых электрическим напряжением порядка 100В, де-бройлевская длина волны Л 1А, так что и их дифракцию (как рентгеновских лучей) можно наблюдать только с помощью естественной кристалической решетки твердых тел.

Дэвиссон и Джермер использовали экспериментальную установку показанную на рисунке. Пучок электронов в вакууме падал перпенди-

кулярно на 1рань монокристалла никеля № (у никеля кубическая решетка, как у большинства металлов). С помощью подвижного по углу электроскопа можно было измерять интенсивность пучка отраженного на любой угол ф .

Результаты своих экспериментов Дэвиссон и Джермер откладывали на диаграмме, показанной на рисунке справа. Величина отрезка ОМ изображает величину измеренной интенсивности пучка электронов, рассеянного от грани от кристалла на угол ф. Экспериментальные точки ложатся на

некоторую кривую.

Оказалось при этом, что экспериментальная кривая для ускоряющего электроны напряжения с'.г = 54В З4В 40В 70В имеет очень резкий пик цри

угле рассеяния ф = 50о .

Эксперимент, таким образом, выявил резкий узкий резонанс по углу и напряжению (с: = 54В, ~р = 50 ). Наблюдение указанного резонанса и явилось существенным достижением Дэвиссона и Джермера.

Интегрируя это равенство по т от т до сс, с учетом условия на

бесконечности ~р(оо) = О, получаем соотношение

Соедовательно для вычисления потегщиала имеем следующую про

стую формулу:

Рассмотрим сначала случай, когда т ) а . Тогда

р(т) =

е е 1 е

сгт

4~гео т2 4л ео т 4ггсо т

В случае т ( а очевидно получаем, что

е е е

з """ — зт

4ггсо аз 4ггсо а 8ггсо а 4ггсо а

е 3е етз' +

8ггсо а 8ггсо аз 47гео а 8ггсо а 8ггсо аз

Потенциальная электрическая энергия электрона в атоме равна Ч ~г) Ъ (т) = — е ~р(т) (знак минус появился потому, что заряд электрона равен минус е). Таким образом,

График зависимости Ъ'(т) показан на ри-

сунке.

Не станем сейчас рассматривать общее движение электрона в найденом потенциальном поле Ъ'(т), когда элсктрон часть времени проводит вне заряженного шара или вообще может даже оторваться ст

Рассмотрим теперь более традиционный математический способ решения приведенной системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений.

Если положить т = О, у = 0 то из третьего уравнения:

где ы = ~ ~~- имеем простое гармоническое движение электрона

о уги вдоль оси ~ (вдоль направления магнитного поля) с частотой сто .

Движение описывается функцией ~ = а соя(сто 1 — р), где а и <р — некоторые постоянные (амплитуда и начальная фаза колебаний); имеем гармонические колебания с периодом Тц — —, происходящие вдоль оси г. 2гг сто ' Рассмотрим другие возможные движения электрона в нащем атоме, помещенном в магу нитное поле, описываемые системои уравнений:

Чтобы решить эту систему, введем удобную комплексную переменную

г, =х+гу,

где г — мнимая единица. Умножим первое уравнение системы на еди-

ницу 1, а второе — на мнимую единицу г и сложим. Придем тогда к

следующему результату:

— еуВ+ гехВ = еВг(х+гу) = ге В~'.

Таким образом, окончательно имеем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

2

Разделим это уравнение на иг и используем обозначения соо

и е В = сот . Последняя величина называется "ларморовой угловой

и ~ ——

частотой" . Таким образом, имеем уравнение:

8

Распознанный текст из изображения:

56

60

58

Если 1о — интенсивность налетающего пучка, то число таких ст †част

очевидно равно

2 2 С 2, +т +2 =и т4

10 2~гяп ОНО = = —.7о 2п 6 Н6.

Число частиц,

следовательно,

т: 77'

г

иг Ьг Сиг

— 2

, 2

т

Так как ~т(О) = ~~-, то отсюда не~о

посредственно получаем

При этом очевидно размерность

а потому

а(0) яп ОНО = — Ь НЬ,

ег(О) =

Ь НЬ

'О, р

-(О, ~) =

размерность этой величины равна

и6

2

Н~7 6

Нт

тг

гг = а(О, ~р) яп ОНОНбр.

которое позволяет

г7.: — (т + 7' 1Р ) . 2

У У' е 4тгео т

7'О

64

62

или

— = агсяп

а потому

7775 т' 4кеотг '

0 1 Ьг+С

с1~ — = — 1 =

2 в,пг 0 Сг

2

62

— 1=—

Сг '

С

япО =

7777 -7- С7 '

Е=О

п=З

а следовательно,

т.е. окончательно

п=2

Е,

г

е

тпи

4 7гео т

0 6

сЦ вЂ” = —, 2 С'

0

6 = 6(0) = СсСц — .

2

тпи

2 2

е

2 4~гео т'

НЬ С

2

п=1

Е,

0

С с1д—

Ю= — у2 = — ~ — т т

яп — 4 яп4—

2 2

или

8 7гео миг / э1п4 0

( яп

27гт = пЛ,

П 77

27гт =

ти

т.е. условие

тпти = пй,

ег

Г(т) =—

70

ОК

Рт

дт

дК

Ре

д~р

= тпт,

ег

-тМ =

47гео тп

2

=1—

пг

Г Р, С6Р = П 7'7,

о

4

Я— — (е — 1) .

2 (4кео)г рг

г- г7г

р„Н7р = тти Н~р = 27гтпт77 о о

п=2, 1=2

2

о

или

п=2,1=1

тит = птт,

р

1+ есовф

то

Нт реянье

Н7р (1 + е сов ~а)

реНр = 71, и,

о

1 Нт еяпф

277 р,. Нт = и,. Ь 7 о

1+ е сов ~р

Подставим найденное значение р в уравнение закона сохранения

энергии. Получим тогда следующее дифференциальное уравнение:

где знак "плюс" берется для удаляющейся части траектории, т.е. части траектории после точки наибольшего сближения т = то, и знак "минус" для приближающейся части траектории, т.е. части траектории до точки наибольшего сближения т = то .

Рассмотрим теперь только удаляющуюся часть траектории, т.е, возьмем знак "плюс" перед корнем. Для этой части траектории имеем уравнения:

Поделив второе уравнение на первое, получим простое соотношение

определить функцию ~р = 7р(7.) . Проинтегрируем правую и левую части этого соотношения по т в пределах от т = то до бесконечности т = оо . Учитывая симметрию полной

траектории относительно отражения

ее в прямой, соединяющей точку О

О с точкой наибольшего сближения на траектории, получим, что ро — ~ — ~ — и что р = тг — О. Таким обра-

тг — 0 зом,

Н~р тг — О тг — 0

— Нт: тг — 0 — Ро — тг — 0

Нт 2 2

66

надо затратить, чтобы оторвать электрон от ядра, при условии, что электрон находится на основной орбите, т.е. на орбите с минимальной энергией. Энергии Е называется также "уровнями энергии", или "квантованными уровнями энергии". Их можно изобразить наглядно на энергетической диаграмме, показанной на рисунке.

Уровень Е1 называется основным. Именно на этом уровне находится электрон в невозбужденном атоме водорода. Согласно Бору, квантовые переходы могут совершаться с возбужденных уровней на основной, или на один из более низких возбужденных уровней.

При переходе электрона с более высоких уровней на основной уровень п = 1 излучаются спектральные линии серии Лаймана. (они лежат в невидимой ультпрафиолетовойт. области спектра). При переходе электрона на уровень и = 2 с более высоких уровней излучаются спектральные линии серии Бальмера (они лежат в видимой области), При переходе электрона на уровень п = 2 с более высоких уровней излучаются линии серии Пашена (они лежат в невидимой ипфракраспой области спектра).

Для частоты квантового перехода с уровня Е„г на уровень Е„1 имеем формулу Бора:

тс 1 1

7"' тт — -К71 Еп2—

2 (4тгео)г Ь~ пгг

Поэтому для обратной длины волны спектральной линии, связанной

с этой частотой, имеем следующее выражение:

Еп7 — Епг 777 е ( 1 1 ~

Л с 27гйс 4776 с (47гео) г ~, пг гпг1 (

где и = и„+ п,е, число п называется главным квантовым числом.

Рассмотрим квантовые эллиптические орбиты более подробно. Прежде всего отметим, что орбит с квантовым числом и = О не бывает, так как для таких орбит е = 1, т.е. эти орбиты должны быть параболическими, т.е. не описывают электрона все время находящегося около ядра. Число п„обычно обозначают 77 — 1, причем число 1 называют орбитальным квантовым числом. Так как п„+ п,г, то и = 1. Таким образом, формулу для эксцентриситета квантовой эллиптической орбиты можно записать в следующем очень простом виде:

При этом при фиксированном главном квантовом числе и орбитальное

квантовое число 1 принимает следующие значения:

Схематично возможные квантовые эллиптические орбиты представлены на приводимом рисунке (при и = 1, 2, 3).

Рассчитаем теперь большую и малую полуоси квантовой эллипти- «й Рб~7Ы.Т« « =~~, 7= 7 — 6~, Ь= 777~. Т образом, зная эксцентриситет и большую полуось эллипса, его малую полуось можно вычислить по приведенной формуле. Большую полуось легко вычислить, зная параметр р квантованной эллиптической

или окончательно имеем следующую формулу:

Здесь мы взяли модуль производной, так как при положительном НЬ имеем отрицательное Н0. Сечение же к(0) всегда положительное.

Выведенная формула позволяет найти функцию п(0), если известна функция 6(0) .

Найдем теперь эту последнюю функцию 6(0) . Для этого подробнее рассмотрим механику движения ь — частицы. Произвольное мгновенное положение частицы в точке Ю будем характеризовать расстоянием ЖО = т и углом ~р, показанном на чертеже. Мгновенная скорость частицы в положении % имеет радиальную компоненту и„= т и перпендикулярную ей угловую компоненту и, = т р. Таким образом, мгновенная кинетическая энер- М гия частицы равна

Мгновенная потенциальная энергия частицы в рассматриваемом поло-

жении равна

Применим закон сохранения энергии. Сумма К+ Г = сопв1. Определим значение этой константы. Рассмотрим налетающую ст — частицу в бесконечном прошлом, когда она находилась еще далеко от центра.

движения электрона в атоме. Обозначим

через т радиус круговой орбиты, по кото-

рой движется электрон с некоторой посто-

янной скоростью и . Очевидно

Энергия электрона на рассматриваемой круговой орбите очевидно

равна:

Наложим теперь условие квантпования. С электроном, вращающимся со скоростью и по де Бройлю связана волна с длиной волны Л = . Потребуем, чтобы на длине орбиты уложилось ровно целое число длин волн, т.е. потребуем, чтобы выполнялось условие

где п = 1, 2, ... — целое число, которое называется "главным квантовым числом . Так как Л = —,, то имеем отсюда условие

Ь

где й = — — так называемая "перечеркнутая" постоянная Планка.

Таким образом, для п — ой квантовой орбиты имеем следующую систему двух линейных алгебраических уравнений:

е

КУ Р= — -7. П У, ф~77 У 77 К Р

47гео т

применить к атому водорода, мы должны в этих формулах сделать

следующию замену:

Таким образом, в приведенной формуле для энергии электрона на

орбите мы должны сделать замену:

тС тпС тп(уМ) тп / ег ~ т ( М)2

2рг = 2С 2Сг 2 ~ 47гео тп) рг

а, следовательно, получаем формулу

После этих замечаний о задаче Кеплера вернемся теперь снова к

расмотрению второго квантового условия Зоммерфельда. Вычислит

входящий в это условие интеграл

Так как, согласно аналитическим формулам решения задачи Кеплера,

Таким образом, для рассматриваемого интеграла имеем следующее

выражение:

гл гт

ф . 1

,Н,= ~,...,Н(

(1 + е соя ф),/ ~, 1 + е сов ~Р

о о

г~г гтг 277

еяп7р е соя ф Н7р

ф= — 2л+ /

1+ есов~р „/ 1+ есов~~,/ 1+ есовср

о

Определим число частиц, рассеянных в телесный угол Ю = яп ОНОНр

в единицу времени. Если Нй бесконечно мало, то и это число тоже

бесконечно мало. Таким образом,

рассеянных в телесный угол Нй

в единицу врсмспи = 10 сЮ .

7

Дифференциальным эффективным сечением называется следующее отношение:

т.е. эффективное сечение имеет размерность площади. Поэтому эту величину и называют сечением, а более точно, эффективным сечением, так как это все же не настоящая площадь.

Кроме дифференциального эффективного сечения рассеяния г(0, ~р) рассматривают полное сечение рассеяния, под которым понимают интеграл

о о

Займемся теперь теорией Резерфорда рассеяния а — частиц на золотой фольге и рассчитаем соотвеиствующее эффективное сечение г(0) . В силу очевидной симметрии задачи это сечение не зависит от азимутального угла у.

Прежде всего заметим, что рассеяние а — частицы ядром Аи происходит по той причине, что ет — частица и ядро Аи заряжены положительным электричеством и отталкиваются друг от друга кулоновскими силами, особенно сильными, когда обе частицы находятся на малом расстоянии друг от друга. Потенциальная энергия взаимодействия а— частицы и ядра Аи, находящихся на расстоянии т друг от друга, равна

Получив этот результат, т.е. определив функцию Ь = 6(О), найдем теперь функцию эффективного сечения рассеивания. Имеем очевидные соотношения:

Получили знаменитую "формулу Резерфорда", которая прекрасно смогла описать эксперименты Гейгера и Марсдена. Из сравнения теоретических и эспериментальных кривых можно было определить, в частности, что для ет частицы У = 2. Скорость ет — частиц взятого радиоактивного источника была известна из экспериментов по отклонению пучка и — частиц электрическим и магнитным полями.

1.9. Теория Бора атома водорода

Рассмотрим модель Резерфорда атома водорода.

В атоме водорода положительный заряд сосредоточен в атомном ядре, которое, соглано Резерфорду, можно считать "точечным", так что потенциальная энергия Ъ'(т) электрона в атоме водорода, по Резерфорду, имеет следующий вид:

68

обобщенными импульсами р„и р~ называются следующие частные

производные кинетической энергии:

Если орбита круговая, то т = О и т~р = и = сопй, где и — постоянная по абсолютной величине скорость движения электрона по круговой орбите.

Условие Бора для круговой орбиты, как заметил Зоммерфельд, можно записать с помощью обобщенного импульса р в виде

где и = 1,2, .... Действительно, для круговой орбиты

т.е. имеем условие Бора.

Для эллиптических орбит Зоммерфельд предложил использовать

не одно, а два следующих условия квантования:

где 71 — постоянная Планка, и и п„— два квантовых числа, которые будем называть "угловым" и "радиальным" .

Таким образом, Зоммерфсльд написал условие квантования и для обобщенного импульса р е и для обобщенного импульса р„.

Для произвольной эллиптической орбиты величина тгр является иптпегралом двизтсения, т.е. не зависит от времени, поэтому интегралом движения является угловой обобщенный импульс рг. Согласно

9

Распознанный текст из изображения:

орбиты. Действительно,

Следовательно,

73

р

1+ есор ф

с а

Поэтому при р = О получаем

-~-~+ —, а(1 — е) = ~~+—

а — с=

а = — 1~—

2

1 — е

С

г 2

Так как р = — ~-4теотп = ~ — ур~ — — — ~ — ~-~

4тео 2 4л.ео 6 г

е е т е т

4ггео й

а = п

ег тг

и, следовательно,

4тео "

п1.

е2 т2

Как видим, при 1 = и имеем равенство 6 = а, т.е. в этом случае

квантованная эллиптическая орбита оказывается круговой. Эллиптическая орбита характеризуется динамически значениями

двух интегралов движения: интегралом площадей (моментом импуль-

са)

гг~р — 2 х сектор. скорость = С,

р„=тг ф, р„= тС

2

и интегралом энергии. В точке перигелия (р = 0) имеем очевидные

соотношения:

=и, р =туг, и=

тС

2 2 2

У

В точке афелия (ф = ~г) имеем аналогичные соотношения:

г- ((1+ е) + (1 — е) ) = 4 — — ((1+ е) — (1 — е)) .

Следовательно,

тСг ер 4~тео

2тСг ег Р 2~гео Р

~Р С

тт

е2

г

Е

г

(1 — е ) (1 — е ) 1 — е

а

Геометрический смысл параметра р эллиптической орбиты проиллю-

стрирован на приведенном рисунке.

Картинка-подпись
Хочешь зарабатывать на СтудИзбе больше 10к рублей в месяц? Научу бесплатно!
Начать зарабатывать

Комментарии

Поделитесь ссылкой:
Рейтинг-
0
0
0
0
0
Поделитесь ссылкой:
Сопутствующие материалы
Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее