Книга: Метода крив. и пов. инт

Распознанный текст из изображения:

БВИ ББ.Н Клб

й э у а у надави

'4е

О*л„

Уедаицнн ванавпоИ литературы

Лнытрнй Хны|радович Мельвинов

длепоей Вэадмвнровнч Ввиэихое

Ковотантнн Вихтороввч Титов

'/ Яи 60 Г- ОИУ М ГОВГГ1 ~гагры Б "Н *- ~ ЛФ Д~

1

Геценэепт Д.В.Лттетков

м4Б мельников Л.А., иеххидов А.В.,титов к.В. криволнпеипме

п поверхностные интегралы. "Методнчеоиие Упаэаинн и вмполпепни

типового расчета. - М.: Иел»но МГТУ пм. И.В.Баумана„ 2002.

64 о., ил.

126ИБ 6-7036-2024-3

Раоомотреим хржюхннеиные н поворхноотнме нитегралм 1-го н 2-го рода. Приведены вратииэ теоретические оиедеинн, примеры равенна задач, прнхоиенпн и ееднчем нехениин н биении, задачи дли оеиостоятмхьиаго ревзина, условии типового раачета.

Лнн отудентов 2-го курса воех Фанультэтов.

Криволинейные п поверхноотные интегралы

Зеведумпап редницнэи Б.г»ковелевокан Рмдннтор О.И*Королева корреитор Л.И.Малютина

16614 6-7038-2024-3 ф МГТУ им. Б.В.Баумане, 2002.

Иэд,лиц. В 020623 от 26.04.97.

Подписано и печать 19.10.96. Иорыат 60хблЛО. Бумаге тип. Ф 2. иеч.л. 4,0. Усл.печ.л. 3,72, уч,-пад.л. 3,69. тиран чОО ака. Иэд, р 61. * Белее р 92

Иэдвтельотво МГТУ нм. Н.З.Баумане,

107006, Мооивв, 2-н Баумеиокан, б.

Глава 1. КРИБОЛКИКББИИ ИБТКГРДК 1-ГО РОЛД

О 1. ЯИщщщщКИ иеб ого ин е

йуоть в проотраиотне Я переменных хуоочио-гледпан иркам А4 . Выберем на неб Ал*"* ~"н

ЯЛППКБЛЛБМИ. набор мхементаркнх дуг 8 4 „,4, Л 1,... и, ипэнваэтоа раэбиейнеы 7 дуги Ая

Обозначим двину элемектврвоб дуги 1В тап:,д, Е~,.

ЯщИВбеИИЙ Лпаметроы разбиении

01 1 7') наэмваетон мапоимельнал длина элементарной лУга, входниеИ в реноме- Д Л, ине 7'

а'17') - гнан

~,...,н

Иа хеидоИ влэментарноб дуге б выберем пронввохьнмм образам тонну Лу . пусть нн дуге Щ недана Оуипцпи

ЯБЛщБББщщИ. Интегральной оумыоИ аннины ~, ооответотвумией ревбненни 1' н набору точен М, Лб иаемеавтоп оуина

.ГГ'1", 7') л /'('Ж„1 61,,

Ф ~

ЯПВИЛБЛИИИП. Криволинейным интегралом 1-го рода от Куницын ~ по дуге Аф иеэываетон предел интегральных оумм Х ~р', 7 ) при отремлении диане*ра раебненна и О. волн оп оупеотиует и ие эаннопт от опоооба равбненил дуги АМ и вмбора точен Лт'„,«"

1г ~'1'ж,у, х) сБ 11ъ Х ('1', 7"),

1п '' 1177 О

Волн пранах (1.11 оупеотиует, то Оункцил «г иаэыеаетоп ни.

тегрируемой по дуге,46

Аналогично определнетол хринслннейнмб интеграл 1-го рода оо

дуге на алооностн 1Я переменных

Щупе~хи. пусть Фунхцин Г 1'у, у, 7 ) непрерывна на хрипов

,43. Тогда интеграл 1 у(.т, у, К ) о 1 оунеотвует.

Распознанный текст из изображения:

У') тГмх 0 ( д ба 1.

ь 1,...,ч

иа поверхности определена Фупкциз г" (ж, у, х'). ПыбеРем ка кендой злемеитарпой поверхности д б' прснззольпуи точку

„, у„х„) . й-1

Озпешйпйе. интегральной суммоп Функции ~(ж, у, т') ° соответотзузаай разбиении 7" м выбору точек буй Ф 1 „„,и, нззываетсл сумма гКУ)-Х: ((,,у,,х,~ г,,

в=1 гдз д Я - плокадь влемзптарзой ПовеРхвостн Д б',

Ощщйййеййй. Поверкнсетиым интегралом 1-го рода от Ф~нпщки

~"( и у т ~ по поверхности б' наомвеетсн предел интегральных сумм Я ( у', T ) прп стремлении диаметра Разбиении 7 к О„ зели он оукестнует и не завысит от способа разбиенип поверхности к выбора точек Дт Д ~(п, У, х) а'б 1ьп2 Я(у,7 1.

з т( ~-О

кслн пРедел интегральных сумы суаествует, то Фиищып ~' назнпаетсз интегрируемой по поверхности

Пзмщвнйз. Услонпе стреылеиик диаметре Разбионип к О ззлхетсп ачхое оильиыыф чвы условие стреызенип к и плокапей всех зломзп таиных поверхностей 22 6 : нз того„ что тл.с.х ь 8 ь 6

л = 1,..., п ке следует„что х~ (T) О.

~зййщщ. Пусть Функции ~ непрерывна не поверхпоств б . Тогда у иитегрируеиа по повзрхностк б .

йй. Сн Х-

1. Дипейзййуд. Коли Функции у" и д' нитегрнруемы по б, тс Функции / "ф н г г, где б=ссппЪ таина интегрируеыы пи б

и. 4ущтпйпрстй. Пусть поверхности б; и б' - кеперепрыза юаиоок, т,е. их переоечекие лвллзтои обьедннаипем конечного числа кусочке-гладких кривых (и частности, оно мокет быть пустым). Тогда если у' ннтегркруена по б в 6, то Т знтегрнруема по

2

б;Обз в

Я ~аб- Л ~гб П ~ Пб..

бабе б; бх

3. д~щппа нпдйгпый. полк длв всех точек Р(зг, у, у2 поверхности б пч м г'(ж, у, т).з лл „з2, лт- сап31 . то

22~~к 22 ~Г~П З ЛтЯ

6

где 8 - плоаедь поззрхнзстн б

4. Щппщщ и ппйппйп. Нели Фуыкцна ~' непрерывна на б' то суаествует точка Р б б, татаа, чтп

Я Г' гб -,г ( р~ г .

б'

П. ПМйз йПППППППЩ ППППППППслй, йсзм ~'з2 1 За б то Ы ~г с~О" Я . Прн етом Фуиицип 7' монет кв быть тоздзствеппо разве еДНПИЦЕ зпв 6' . НапРимер, «схы б- обера Ж + у б

з з

+т вй ~ то

2 2

~У 2 2 г 2Д „„йз

Ю б

Пуоть поверхность б заказа ураввеннен сР ( д

Предисловии„ что поверхность б' конно однозначно спроецировать

ив оДнУ нв кооРДннатных плоскостей, ивпримеР, иа плоскость;т 0У ,

причем проекцией б иазлетол плоскзл область Ъ (рно, ?31. Тогда

позерхиооть 6 моано зачать уравнением виде к .= т ( ~с, у 2

Пусть Фувицнк — и непрерывны з обкаста ю . Тоща

ЭУ дт

ОХ Зу

~~%п,у,х) Уб ~~ ~(з,у„х(ж,у~1. И (й,) (Ф )

б з

ао

йт

Распознанный текст из изображения:

Таким обрааом,

Рис. 14

Яй

и правой частя равенства стоит двойной интеграл Оо области З .

ПРимер ЗЛ. Найти ~Д .у ,( б . где б - часть ци6 ~2

линдра Ж 7 = 2 ж, емреэаемая гиперболоидом Д вЂ” У ~ 7

Т н влоокоотьи 7 ~ О ( 7 о 0 ).

найдем проекции поверхности б" на плоокооть д ОТ (Рнс. 14(.

Иоклпчнм ив уравконкй Цнликдра к гиперболоида перекеинуп 7

ПОЛУЧЕНО ууавиенне прОЕКцИИ ЛИВИИ ПЕРВСЕЧення двуХ поверхностей на;й Оу. полагая в ураннвини Циликяра 7 ~ П, получим уравнение линий пересечения цилиндра и плоскости ',т, 2 о . таким образом, пОВВРККСОТВ б' прсецируетсн В Область ю, Ограничен нув осраболой д' ° — (у ~ () н прямой ж й (рно 1б3- часть цилинд2

Рар удснлетвОрнииан условии 7 т' 0 в ведается ураВневкем 7

г д7 !-ж' 27

2 ~ — ж ° Тогда —, — О,

Уж г2~ ~л ' бу

,~, ТЯ:7 7

Ыу-2 ~ —- (42 Йж-7/2 д

4/л г'2-

В случае, когда йункция ~ постоянна на поверхности (г,

Внчислеиие интеграла сводится к Вичисленив плокади поверхности

ПННННР~А. Найти Л (7 - (л +у ) ( ~ 0 6' где

6 - ЧССТЬ КОИУСВ 7 ~ Д' + у > Отсекаанаа ПЛОСКООТЛМК 7 а

л Ф

б и 2 Т (рко. (б> °

так как для конуоа (7(п ч ~)~ ((ол.ь Тл~~, то Й(2 -(ж.ьу ) . () С(о Бс(б - у(яА ° %чй, б 6

где У Т - радиуо основания, ~ тГ- длина обрввгиквй Конуса,

плоть поверхность удобно ведать лабо уравненном у у (д, 7) (ч 7) ~ 2)~, либо Я." ° ц (Т 7), (Т/ 7) ~ 'Ц, где

2У В Юь-проекчин б на коорднкатние плоскости ж 1~7 и 'уб7

я

соответственно. Тогда повеРХНООтний ННТЕГран Х-го дода вичнсляется состВотстВенно по йоркулан

Распознанный текст из изображения:

Б 21 6 ~Ы6-2Л 2~ ~У~- НХ«х 2

б' Ю

1бхнт 1 жмых 1.

Я 2~жУ~гб'-~

5

6" 2 2

Дйиййр 2.2. Кайм Д ж Ыб, где б - сФера

к+у+ ж =Я.

у т х' 6

Очевидно„что дли с4ерм Ц й «Й'= ~~у Ыб ° ~~ х сааб' °

тоща

Бх И--Б~ж у )аб--а ЫгК-—

2

б Ъ 6 3

йрнмер 2,6 пованивает, хен иопольеование сообрахоний симметрии повиоляет оуиоственно упростить начисление поверхносйного интеграла

о в

1. Иас а Зй~щцййцййй. Пусть нв поверхности 6 раощеделена

масон с поверхностной плотностью ь«. ~ ж, у, 2 ~ . тогда масса

поверхности

6~ - Л,п (, а, у, 2) с~б .

6

2. с. 6татичесане моменты поперхиооти относительно координатных плоскостей уды , 2 О 2 ° а.'бу соответственно

26

Координаты центра месс поверхности б

Ж„х М

6«

У ' 6 у

3. Щрмее1щ~ йппййййй. йемене инерции поверхности 6' отнооительйо прямой 'л.

.Йг 'раб,

где р- = у. б д, у, 2 ~ - расстояние от тонхи ~ы, у

дей иа поверхности б', до архипа 1, . момеити ннердии относительно ноординатиых осей бж , Оу, О 2:

~ - Л 1у'+2'~~06,

Ъ' 6.

.Г . Д ~ жл+ у~> 2ь с~6.

б,

Момент инерции относительно точна ~Р('~ 6«

2,-" Л ~~й-С21+~У-~) ~(2-.2о) ~ ~л~д",У,х)Н6.

6

Момент инернии относительно начала хсординат

Л ~Ж «'6««' и ) И(п«,6', 2) с~6 2 «Х «" Х, «".Гх) .

ДЦййвйй З,бй..Найти хоораииатн центра масс пслхоФерн ж . у

0 воли поверхностиаа плотность в нонной точно

сФерн равна расстоянии ст етой точки до осн О у

27

Распознанный текст из изображения:

"б = Л хг г(П й «/лт у,уо- ))

Ж'~. у'.~уг

у'~. [!„г - „> ) . ~!г~~„.~> )

) (х',у,7)г)б'

и(щ„у,,,)-3, Д

(3*1)

Я-)) )-(ж,у,х) )б.

'6

Пстснциаь влентростатичесного псхя, соадаваемОГо аарянепной поверхнсстьв б в воине ( щ у

т +у .г,г

я г г

,Е'- )-х

Р

)гг- '"г,

четверти гп!Онц!и! ирхга Рцаигсом )3 > т.е. — .) Пе сооб хний и

симметрии очевидно, что хсординаты центРа масс Х

с и у,равны О, Найдем Х . Статический момент

р '

М„Л,„ы, Л 4~г. у .

~У б. щ угчйг

)г Огж !!у

Х у — и й;й у г)Х !;)у)! - щ -у и .у, гЯ

гам'

= ПхЯ ) ~ о'~

б П

М~у ЙХа' 3 .ьд

Л~ 3 Хгй' ПД

4. Прилоиенна х ведачам влектростатики и гравитации. Если по поверхности б распределепн елеитрнчеокие верндн с поверхностной плотиостьв гт ( щ у, т ) , го обцнй варях поверхности

где ч - яоейймцвент пропо)щиональности в еаяоне нтлопа, вависх-

6

ь)нй от системы единиц на тсчВчннй еа)хгд д ~ пОмег)еннмй в тосях

(Лс у, г ), со стороны еаряяеииой поверхности действует

с, а ° с

снха

Р--у,РаТи(ж,,у,,х)--у~Ы) +6~'у- 3(! ж). )3.3)

Формулы, аналогичные г3.1) и (3.3)„справедливы длп щгеяитацновного потенциала, соадаваемого ыессемн, рвопределеннмыи по поверхности Ф, 'и длл снам„с иоторсй ета поверхность щгнтягивает тсчечнтв несет. при етом постоянная 3 долина бмть еамеиена не гравитвцноннфв постохян)пг ~ юотнссть Вар!гдов ~ (щ у и') на плотность масс )А ( щ, у, т) ° Величине Вергща Д на 'гсчечн)ч) массу пт. Порнуха онхы ныеет след)чир!Й внд! г' «г) огай У( жо, у, т ) . Отсутствие минуса в вираиснин дхя силы обьлсняетсп теы, что гравитационное н влеитростатнче~ хое вваимсдейотвия кнезь раахнчннй херентер. "Несом притягиваптоя, тогда иан однонненные наряды Оттахтывавтсн.

Пй~е2 3.2. Найти потенциал ехентростатического поля равномерно варнав!!ной ОФерн. плотность наряда ~ ~ сбтгв Й ю Рндихс ОФВРН Р .

Найдем потенциел в точна 4, навдяцейса на расстоянии от,центра ОФОРН. пведеи систему денартовых ноординвт тел, чтобы точна А леязьг) иа пояснительной поятоси ()т А(п, и, 1). Пначеине потенциале е тонне,4 есть схима потенциалов ~/ н (!' совдаваемых верхней и пинией полусйерамн К и б ° Катдая не

х !

похтсФВР проециртетоа Не круг Ю у . у х д г в плоскости Лбу) нх хравнения! 3 в Р— ж — у, отсидев

и г Пх

Эж ~т

щ Фх

— г-, и г р у (Б.~>

,г ° Пу /гг,г уг '

39

Распознанный текст из изображения:

У 2~~ 2х~2( урх-~~-у»

о 2 1,,я е(),„2( ~ох,х Пм ло )2

22

22 7 ЫР

-~,).Г )" 2 ( )'

О )4-)-' у~Ух+1~-2(,~~~ ) х

о)(''ьй'-г )

-2х2,у 2 ~

"у')) +В - 2' -~Й' — г ~

2 ~,О' ~.2"-2( „Й'-;»х

"2( г-О

2щ,Ф ь.У

(Л' Т-~7. ~Сж ]

- -'--" "-'(~ - ~ - п

аналогично находки.

И~

ор)-ю г(( -з,гх и

% "1' "Р-Л тю'-~'-х'

п7ж пу

х -Ф,)-Ю )) ~/ух~ух+ ( — Ю'-х)'- уо -1) ~ «Й'-ж"-у

Таким образом,

2хыоо я

У(~л)" Ы(А) ьУ (А) = — (7+ (-' ( %'- (,! ) .

г

(В.В)

1

Проделанные выкладки справедливы прн о о О. прн ( О, т.е..а центро сйеры„ потенциал монет быть найден из сообранвний непрерывности: Д~ ~ 1(д~ Ц(О О () )(гп ~ ох ())+)

2щй ч У

ОО '' (-.О

— У+2)) Фжло )- )2 либо лагко нмчислен вепооредстненно.

"~,у,1, — — 'г((ох — Гаях ~ххтх.

Проанализируем полученпуп Формулу ИЛ). Есин точка Я находитсн

внутри сФеры, т.в. (' м,7, то 1)2-(, ! Й- ( н У(;()

(Дч(-Д+2) ~ Фщ л у 2,

2Пй У

о

потенцнао внутри сФеры не закисни от ~ . $аким образом, ао асех

точках внутри сйеры потенциал одыиаканмй н онла, действунщзн на

заряд, помещенный внутрь ойеры, равна О. "ьт -у р а, й (У,' О

Если точка находится нне ойерн ( 8 ъ Я )„ то ) )2 - Ц = Ф вЂ” И н

2ия у'2 ~х)(оо )'

Д~А) ('7+(+)о-()

где,Д 4Ж )2 о )' - полный нарах сФеры. П етом случае потенциал

(либо сила, действующак на еарнд) совпадает с потенциалом (либо

силой), создаваемым зарадсм (;( „ помещенным н центр сФары

х Аю 'чо„оаои

(. найти )) ( ( (Х'У) У " ) ч б

б 2

Распознанный текст из изображения:

часть параболонда х — (х — у ) ( () м у з Ж м " < я з и пайтн Д ( х - у + 2 ) а б, гдз б' - треугаяьяяк о вервмнаын (2,0,0), (0,-2,0), (0>0,2].

х с(б' 2. Найтн Ю , где б' - чаоть цмхыядра 2

$ х у 1, отоекаемая плоокастямн х + у ~ — , х - О, х ~ (. 4. Найти Я ( ж - у ) с( б . гдз б - полная поверх-

б

П..Н»йты Л ~ х ~ <( б', где б' - обера х '+ у ' + х ' - д '.

б

6. Найти Б уз <( б, где б - часть цнлкндра узз хл~дх,с ах АЦ,

7. найти каордянзтн центра масс однородной полусйеры ж +у -кт у, 2 зл0.

6. Найт~ момент ннврцмн относительно оон ()т конуса Ж + у ° х, (< м х ы Н, если плотность ранна квцщрату

з х Расстаяння да к»рваны

9. Найти Взлнчнну оылн, дейотвующей на точечный заряд помещенный в центр основання конуса, бокозан поверхность которого варан»на. Раднуо асвавання конуса Ф , высота <( . Поверхвостпав плотность заряда прапарцнояальна кубу расстопнвя да центра оснаванмя, ко»62»цнзнт пропарцпавальвастм равен с( .

Глава Щ. ПСППРТНССТНПП П<Г(КГВа 2-гс РОЛД

Ф 1. 0 ел н пав

Поверхность б в трехмерном пространстве называется двуотарсмпей, золя нормаль к поверхностн пря обход» по любому замкнутому воятуру, леаащеыу нн поверхнастн н не нмзющему общах точек а ве граннцей, возвращается В перваяачвльнов полок»яме. Выбор нзправлення кармаля. т.е. выбор определенной атаровы позерхнооты, навызаетоя арнентк<в<ей повархностк. будем полагать, чта в кахдой точа»,М орывнтнраваняой поверхности б направленые кармаля задано аднянчннм векторам << з(д() ссв с( Г срв(ь 1 +ссзй . ~, направляющие каовнуом которого язляютая нвпрзрызныыя Фувхцпямп координат тачек поззрхпастя-

82

Пуоть на понерхностм б вадано векторное поле

Р(ж,у,х)( +()(х, у, х)< + Я(ж, у, х)П,

Разобьем поверхность б' аналогнчна тону, как зто было од»нано в

гл. 3, на злеыевтарнне пзоцздкн з 6', , д <,..., « * я<овады

которых равны х( а" соответственно. На кендой площадке выберем

точку ЛК, н рассмотрим ннтегрзльную а;<мчу<

ч

у (д', т) Б, ( Р(Фу, й'(м ) ) . ~ 1

Ф" <

2: ( л'(мФ) д гь),

4 <

где пад знаком суммы стоят скалярное пронзведенне векторов,

С<Пя<дзлейнзе. Предел ннтегральных сумы Я (.Е', Т) прн

стреыленнн диаметра разбнеяяя <( ( 7*) к О, если ан существует н

не за»нсвт от способа разбнення поверхпоотн б н выбора точек

Ф , называется поверхностным ннтегрзлаы 2-го рода н абазначаетоя

1( г'с<б Л Р уа<т <- ас(х<(х <- Чых<(у

б б

- ((<и 8(Р т),

<<(т)- О

1йайемза. Пусть з»ктор<ке пале Г непрарнвно нз хусочн~-гладкой орнент~Разапнай паверхзостн б . Тогда ннтегрзл 5 Р <( С' существует.

О дзльнейкем всз рзссыатрнвавыые векторныз палл будем предпалагвть непрерывныын.

Из определенна непосредственно следует, чта поверхностный нптеграл 2-га рода монет быть зырвкез через поверхностный интеграл 1-го рада:

Я рч 7б Ц~(р;,з),16- ((((зс зо(,.,асов(х „. ассз .),(б

с' б с

ноля вектор Г трактовать кек скорость кндкостн (газа<, то кавдае слагаемое интегральной суммы

66

Распознанный текст из изображения:

теквющее через площадку х) б в направлении нормали й' . Тогда

ь

интеграл )) г'' Нб определяет общее количество нндкости (гас

за), протекающее в 'единицу времени через всю поверхность б . Поэтому поверхностный интеграл 2-го рода назызаетоя таяне потоком векторвого полн Р через поверхность

5 3 . ЯМЙ ~~Щ~й

1. Линейность:

)) сР'Нб =о )) ГНб, о=сапз1.

б с

2 Йяию~су.Ь к Р К Р 6»' О Р

ввющнесп повеРхностн б, н б'л . то

)) Гбб = )) Г Нб " )) Р'Нб,

б о„ бт

3. Зависимость от о и и е хн сти. Если б' - двусторонняя поверхяость н стороне б' соответствует нормаль ие , а стороне б — норыаль ~- л ' ) . тс

)) г'аб =т Л ь'(:г1'у т), у, т) с)у'с)т г)

— ~~ ~) ( ю, У< '. ), 2М а — ~~ )~(д, У, Сж,У))с) ТУ.

Зл

3

Знак перед кандым нз двойных интегралов определяется зпакои соответствующего направляющего косинуса, а именно: перед интегралом берется знак плюс„ если направляющий косинус половзтелен, 1т.е. нормаль образует острый угол с соответствующ перед интегралом берегся знак минус, осли на отрицателен (угол - тупой).

Приийр 4 ~. Вычислить Д Д' с! б

б'

~- ~2у — д)= т 12 п~-у) $, б- часть зоверхностн цпхкцджл

Ра у -~-, заключенная ыекду плоокостямн и О, и' 6, 2 ~ О, Т 3. Сторона поверхности выбирается так, чтобы нормаль образовызале острый угол с осью О~ (рнс. 19).

ей координатной осью);

прав»нищий косинус й.

где Р 1'д'+ Т')1+

1

Пхсщадн ПрОЕКцИИ ЗпаКОМ, ОСЛИ Соз СС л 0 . ТОЧНО

)ня саз~ъ с1с , саву ы б с точностью до зна-

к сдают о площадяин проекций елеисптарнсй площадки на плоскости д Оу . хдт соответствоняо. таким образом, вычисление позерхноотного интеграла 2-го рода сводятся к вычислению суммы трех двойных интегралов;

)) д'с)б — )) рча'б

бт б'„

т.е. при переходе на другую сторону поверхности поверхностный интеграл 2-го рода меннет свой знак па противополоаный.

й 3. В еле ие позе хности ш ала 2- о а

1. Пусть х), , х) , .))л - проекции поверхнооти б ка координатные плоскости у02 , д 02 , хну соответственно. Заметны, что величина со5 с4 . Ыб из подынтегрального ныразення <4. 1) имеет простой геометрический смыся. Пусть бб - площадь элементарной плснлдки ва б', тогда произведение п05(Х' Н б Равно площади проекции этой площадки на плоскость у О т, если срз сг ~ 0 34

Рис. 19

Определяем знаки напраоглищзх косинусов нормали соз р' . 0

срз(5 . О , соз 3 О . поэтому

ПП

Распознанный текст из изображения:

(3~"-у) ~~!!у .ц" «д (у т) и) !убт-ХХ (Зу(д',и)- Т!! рг

— 7)~

Где З . 1 ( у, т ); Ои у л 18, 0л х( Ъ ~, ХЗя-( (ж, х)! Оиж жа, О ж х иЩ - проекции б на плоскости убх и хдл с!ответственно. проекция поверхности и' на плоскость с д у вироидаетон в линии - параболу у = †' , паз )" 0 , постоит интеграл по

!л л

В

в данное олгчап отсутствует Бичиолии отдельно интеграла по

и Юл, опредмив ж(у, т) и у(ж, х) ив уравнении поверхностй б, т,е* ж (у, к) = 3./у, у(~, х) = ж~/4

Д ( о.. !у '3) )суй = Б(3'!у' ~И !!.

~!

ягела ~(!с, у, 3)

~ Д,гай ~'(,.с,у,т)~

ГДЕ !Г(д',у,т)ит а! ух+ Х!-Л". драй Т(и,у, 3)

!г!л ! !гу 7

:г$ .!.у! 3А

(„л, ул„ий)!!л

получаем

л

н -а д' + у - х ' (г пл) .-

(о!"-у!..тт)к,ле ут „ Тогда

4.т Рт ~Д/.с" б Д ! Д~ 4.хР

б ж'. ув' тт ~г' б

ЙИМИ4й.нй „„, ! черен псв поверхность тела и; ",,'б~ е 2 и 4- . ~лч ухи.те2

л,'2 2

~ !) в напра!ч!енин виеипей нормали !рис* 30! °

Стенда Ы Д' сТ б 338 - 938 -600.

3. Зачисление поверхностного интеграла 3-го рода сводитов и вичисленив поверхностного интеграла Х-го рода:

Д Рдб ~ Л(Г Д)о!б ~ !! (Роба!л ь Й сов~он Юсов))йб.

б 6 б

ф7.у!. Й

б- сфера ж еу +к* Д!' (иоривль.- внеииня).

определив внеинви иориааь Л' н о3ере б:

Рйо. 20"

° й -у'г а

с о

(о' совЫ вЂ” у соз~ь ' т сов3 )дб"

Распознанный текст из изображения:

еграл 3~ х ссб сс И б . Поверхность б ионна разбить на дзе части бь н б' , снмызтркчныв от~~ситек~а~ пласт кости у«»7 и удовлетворяющие условиям Ж О н ж~ О соответственно. значения спз «х в произвольной точке поверхности б и в симметричной ей точке повархнаати б' отлнчаютая знакам, причем СПЗ а е О На 6 И Сап б. х О На б , Псетану О ж"«2ух27= Я а запас~об- Б ж~спаж И' б' б б„. + Ц и! сов «2 об О.

б В силу симметрии поверхности б' относительно плоскости жО2 имеем Ду;«2~ Й7 = 22 у ССЗ~Ь с~б О, б б Вычислим интеграл Я 72 Н.с «2 у - Д б

2 2 поверхность б состоит из сегмента б е4ерц рс ~- у «- т з 4 . частя б' параболоида йз + у = 7 + 2 и части б пкоокоати

2=

2 2» П. пчевиднс, что Я ~" «2д «2у ° О . Пайдеи проекции б

б'ь и б на плоскость ж0у . исключая 7 иа системы уравнений 6

«у+у~ф

2 2. 2 ж«у аз«2„

2 2 получки л + у б - уравнение проекции линни пересечения

2 2 сФеры и параболснда на пОу . полагая и П в уравнении параболонда, неладны д +уз 2 . Таким образом; аФейичзсний авгмеит

2 проецируется в круг й ж «.,у , 5 « часть йараболоида - в

2 кахъцо з 2 е жа+ уз а ъ . для оегмвнта оберы б„имеем сбйт" г О, 2 2~;с у) = Ф-~з у~. поеному Я 7 Ыж Ну К ~'?- ж -у )«2ж«2у ~«2х2 ~(Ф-у )г,уу б; З и П

1 ~Б Н Лт

2%(2Г 4~ )!П 2И(б +) 2

на части параболаида б, ныевм саву ~ О , 7 ( ж, у)

(р: +у -2), отсюда

2 2 2

Б к~ а~я ~у — Й ~я~ уз-2) аж«уу =

б'

б' х,,л

«~ -2% 1 ~Г -2) гх2г = — 2%—

2 П 2

Таким оправам,

62 а'ж«2у = Л 7 «2жф+ Ккажоу

2 2 2 д-бз'

б 2 б В

скончательльй результат1

Б Руб = —.

л.ох

б

Задачи для самаатаатзльпагс евення

2, 2 —, 2,—

т. найти поток векторного полн Р = ы' у «- у » + 7 'ю через часть поверхности параболоида 7 з. 2« у '2 7 а 1 з напразлении зкезней каркали.

2 —. 2—

3. найти поток векторного поля Р = х ь — у » « 7 ю через часть сФеры, находяиуюся в первом антанте, в направлении внутренней нормали.

3. Зайти Я:П ЫУх27 ь У«2ЫЫ7 -27;27 с~У, гДе

б'

п«ьп«ая поверхность куба ~2'~ а.~ 1у~ к 1 ~7~ Е б (внекяяя сторона).

4. Иайти поток векторного поля ' Р = 2 х Г «. 5 у » + 7 а через полную поверхность тела а ' у а: 7 ж 2 — ю 2 - у 2

2, 2

в направлении зпеиней нормали

б. найти Д Р' а" б , гда «х ж а «- у» «- Г Х б

б

2 2

часть параболанда 7 =,и — у О ахи 1 7 ~ О, нормаль образует тупой угол с осью О 2,

Распознанный текст из изображения:

йй. о иие

1. йййййййййй. Полн Функции /', .д иктегрнруенм по А В, то Функции ~+,К, а~', где с - садят . таки» иитегрируеим по ,Д н

) (('+~) (2 - ) ~ 21 + $ 0 21,

М В Ай

й, щйщТПППППТП. Пуоть точка С пенит ма Аа ° Фуилпил /'

интегрируеиа пп А7 н С3. Тогда (' иктегрируеме по АВ и

) Яь' ) ~'Л+ 1' 1'Н(.

Аб Ас ВЗ

3. 11вуйййййййййй от иипреилвкнк прокоаиекил кривой. Полк

иптегрируемк по АВ, то

) (.ЫЮ - ) ~ 21.

Ай Вд

4. тйппйпй об оцеиие. Поли Фуикпнк 1' интегрируем» по АВ

я дли любой точки Р на АВ лт и('(Р) и М, то

п1 1 „ ~ ~~2 1 и м ( . где 1 — длина криппа АВ .

АЪ

П, Тйййщщ о предаем. Поли Фуккпии 1' кепрермвкв па А В

то оунеотпует танек точка Р П А В, что

1 .('аЧ у" (Р) 2.

АВ

й з. к е 1-

1. Пуоть крапил А ~~ (рио. 21 еадака параметрическими урвипепнкми.

и -0. (8);

Тосда

~ п*.х 1ю - 1 п*ж, зщ ноФ 7 1' а~,

Йх , 4у ~Уж

ос 4 м

где „2, У

йщщйр ь Х. Пайтн 0 Й сЦ . где ~ - окруакооть ж~, к б

Зададим окруинооть Пераматричеонамк урааиеннани

Приманки Формулу 11. 01:

.1~о-~мюЛ йв~ ' ~.~юБ~м-в~си'ы~-

0

4 ) (1+ соа 21)ИФ ~ $%.

2К

а

й. Пуеть ирииаи АЬ недана ураииеинан у Т(и), ам;са Ь

в Пекаренной омониме координат (рип. 01. Тогда

1 П*,у) е - ~ пи и> ч ~ ~ уТй»' их .

11Л

Ап

дущи 1.д„найти ~~~ ж с(1, где АЪ -,пуга параболе

ж, А(0,0), Ь(1,<).

По Формуле (1.И ) хД( .) ж ъ' ~+Фж Ыж

Ай

Ь

Распознанный текст из изображения:

0330тн

Глава 3 -26 --Б

ЪК ». ». ». а ' . з. » ~

з 8 4 ° ~/Г (0 — (~ . 6* К . 6. 9УН. 7. 47760» 8. -27», 9, 174. 10. 63..П. -+6— г

Глава 3

1. ('6~~ '2 — он~2 (~2'~Ц. 3. 4т'3. 3. 3'4. ' 4. Х('(+~/2 ), /2 . 6, НК К~, 6. ж НЛ Г( . 7.('((,В,ф, 6. 'Х ъ'Н . О. Н с((~ НЯ -(»' И""+Я вЂ” 31 .

2У2

Глава 4 1. -~/3( . 3. -Х,»»6 . 3. О. 4. о( . 5. 1УН.

тИНОНОН ГЛСЧНт

тами 8 . Нлотность поверхности б' ранна хх (см, табл. И . В вариантах 1...10 найти массу поверхности О . В нариаятах 11,.»30

найти координатм центра масс поверхности О» . В вариантах 31...30

набти моментм инерции поверхности б' относительно осеН координат

и начала координат.

Ч' ДННаНаб. Нанти поток векторного полн Г черен часть плосг коотн б', ограниченную координатными плоскостямн. Сторона плоскости определяется нормалью, обраеупщей острии угол с указанной

ооью координат (см, табл. 61.

3(н(ач ч7. Найти поток векторного ноля с кирее неаамкнугую

поверхность б . Стороне поверхности определяется нормалью л ,

обраэуюпей ецпаянпй угол с аадлнноН осью координат (см. табл. 7).

'ч» Надащ 1, Лана хравая Ст плотности р. (ои. табл. П . В вариантах 1...10 найти момент инерции кривой 0" относительно нача» ла координат. Н вариантах 11..»30 найти массу кривой Г» . В вариантах 31...30 найти координаты центра масс кривой С .

3(Н(ачн 3: Вмчислять крнволинейний интеграл 4 Рйх + Яду

ЛВ

убедивинсь в том» что поднятегрвльнсе ннраиенне ниляетоя пОлНИМ

диФФереицналом (см. табл. 3).

',/ Задача 3, В вариантах 1...16 ннчислить крпволннейинН интеграл

4' Р Ы ж .» Й с(У ~- ,2 с( т , убедиввись в том, что по-

М

дннтегральное внрваение - полниН диФФеренциал. Н вариантах 16...30 нанти Функции ь( (» и», 7» У ~ по ее полному дкФНерепциалу

Ыи Р с(х ч- ь»'»(у .ь И с( т „убеднвянсь предварительна и тси, что данное внракеиие являетсп полним диФ(юренциелом (см.

табл. 3>.

Заначя 4. Вычислить криволинейннВ инте( рал »у Р с~я" +

С

».Я ЫУ по еамкнутому ноктуру С . Нроверить ответ пс Формуле Грина. Направление обхода контура - пояснительное (см. табл, 4).

.ч Дарачб 5. Лана часть повеРлмостн (Г , внРееаемаа повеРХнос-

40

Распознанный текст из изображения:

$ ((+ йн)') , а)а ~ йуй -1

12 йй)фаа уравиае)ам у~о 1 4$ф), О(Ф ь(е () В

Ф йитда О ":~~'~(оаювч, м.е4 ~ р ~.'~11)' ~ч. Н(йе)й((( атпма, йайти ) /М + У С((, ГДЕ Дй - ВтОРОй Пнтсп

М аи(й)удй йййи(НЦ(а )' 2 ( (Рпс 4) °

Вацйан,4 В )) ооответотнумт еначВНИЯ ООНЯРНОГО утлн с( 2% Н )Ь е 42( . йо йормуле ().4)

4% 4Ч( 1~~~у'"((- ~ 2 (~й~+4((-4~ (4' 1 ((- (() 2% 2%

й ЦИЛНИДРИЧЕОЯПЯ Нссрлияатая Х~ 7 СОН с(, у 1 9(п с(, и"- т

ураанеямн ирнвой Аа именя еад

я -~- с()вс(+1. () с ~( л.~

((чедопательяс» ЯЗ ведаатсн пареметрнчеснямн ураяпеннямн

х-сов 1;

%)П 4Д;

2 = " "' сов Ч, О ь ~ ) я—

'Х

Пс йОРМУЛЕ ().2)

-(,(.1) ~, - — (('1йк+1) -(4х 1) Ф 1 Мн 4% Ф т ьд ь ь)н

4. кусте проотраястноияая ЯРинен яедана обинмя урапяояннмн. й етон случае уравненнн кривой пряволдтоя к пареметряческому виду н нспольяуется Форнула (1.2).

Й)ййуй 3..д йайтн ~~~,к у с((, тдо Лв - часть сечения Нплнндра л' +У 1 плоскоотьп х Ж.+- 1, ленваея е персом

(

ХМ

т

(+ й)п Ч ((Н1п ( - (1+ а)п ч)

Ъ/т Ъ)а 2т'2 -1

0 с

дй о плотностям (ы(х,у)

й(- ') )и (ж у 2)с((

дй

))щщйо1 $. Найти массу четверти лемннскаты ) я .-а саа 2 4

если плотяооть вмранаетсн йорнулой )л(ж у). д у~~а~уу,

Масон

((8 У 2, Ул

,41 Ф ) ГИ(-А~ ат'СаайС~(а СОЗ2<(+ — ) С(()=

(в про 2~(

--яФа

1 1

2. . Пусть плосяан матернальная крннаа А3 Имеет плоткость рх ( а, у) . Стптмчеокнй момент относительно сон бй опроделяетон по йормулв л( ". ) у) (х,у)Ж,

7

Распознанный текст из изображения:

интеграл»ахи оуыыу Х(Р T) ' Й ( Р(М ), б 1 и-~

и ~ Ф

аиоы оуным стоит охвхяриое пронвведевне векторов).

)~~ПЫййрнй. Приволииейини интегралом веиторяого поля Г по хриеой АБ иаеывеетоя вредил интегральных оумм Х(Ф', T) при отреыхехии диаметра Раебиення я П, веля ов оупеотвует и яе вавиоит от опоооба равбиееия кривой и выбора точен сМ„

) )тоц ) рог е ЯНу+ ЯНх ))пав 1(~,Т). ,Ф л'а б(г) П

коли пвчахо кривой оовпадает о ее хоицом, то говорят, что иитеграх берегов по еаыхвутоиу яоатУРУ С~ ° и иопольеунт обовивчеине ф Рс( )'.

Те щ Прот» Фунипии )о () У непрерывен ив правой Ц~ Р =Р1 + Д " + Д % . Тогда иятеграл ~ и с) 1 оуиеотвует.

43

В дельиейиеы хоорднпатн венторпмх полей будем предполага~ь иепрермввнми йуинцяяып. 1, дннейнаоть1 3. Алдитнвиооть. Пусть точка С пенит иа Д$ . Тогда 3. Зввиоиыооть от направления прохоахеиия кривой: 4. Связь ввиду хривохииейеынн ивтегралаии 1-го рода и й-го раде. пуоть Г(м) ° свеи 1 ~ сов р ) ~ оаь )" 4 - иехториое лоле, хасетельное х ириной 4д в кевдой точно бт б ~Я, ~».(м) ~ 1 и веправление веитора г(м) оовоедиет о направлением обхода ФЬ 1рио. 71. Тогда

$ РЛ-) (Х',г)й) ) (Роаз (~ ЙсОа~ь~ двое)-))1= ЯЬ АЪ АЬ

$ 3. ол 1. Пуоть иринин АЬ вадаяа паренетричеонииы уреиивиияни °,х ° х «4); у у(т); 2 2 (6), с1сбе1»; А«я(М), У(с1), Х(о1) ) „ В «Х (б). ь ()Ь), 2 («Ь) ) . тогда ) РЫж +йоичу- 1)с«х ) ~1о«х(г), у(1) 2'(б))—

о я' Аб Ж( +()«х((), У(6)„хй) ) — + й'(ж(1), у(1), г(6)) — ~ 31 с)у бух ~Кг Ы( Дриневй Я~1. Пайве ) ~'о«х' — х'оу ь 2 ~(2, ГДЕ Яб

А$ виток нинтоеой линии;2-и соиБ у=,хяья ( х а3,0е»" -'Ъ

$1

Распознанный текст из изображения:

~ ус(н — дс(у + т с(т «~ ~ ( «са(ссай'(-ссв(тс() МЬ

о - асаньи-«(баии -с(И сс)И=а'5-ь) (~ -2«с'(~"-х).

И. Пусть паооиан кривая евдаиа в декартовой системе коотьцннат гравнекием у у(д),4(«(, у(«т)) 3 ( (ь у(Ь)) . Тогда

.ь Рс( +ас(у Г (Р(пь,у(~)) а(ро,у(, )) у'( .)) с( АЬ

о Ппьсьи(р .фД. Иайтк ~ (ьл с у)с(х+. у «(у по кривой (рис. 61

Хз У у~О, Оажаб;

у 1тсФ, Ь МЖ4 8.

Поаьвььяоь свойством адцнтнвнооти, равобьам интаг(нса на оуисбьс

1(~ у)(д+ у"пу-

рно. 6 АВ -" 1 (ж у)с(м+ у" у Г ( +у)с(' у~с(у М6 С6

(ь -3(аь~В)дж + 1(ог~1пх +1м ж.— )дко ж т 3 1тсьа~ ~ е а 4-

ъ т + ь -ь- г)ссай-с~. ~ в +

~ ьь

ИИИИИИ„И,И. найти ф ж(1-у)с(ж + тс(у ', где С - оирувнооть д' .с у 4, прокодиман н пояснительном пеп-

л т равнении (против часовой стремим).

Параметрнв(ьем окрквностьь,й ° 2саа И, у 2 з(м (, О с ( а 2% 1'~ Ф *а-сьс .*с~= ~ си-нс«-г-.сьь-с*~«О.

ИИ ь Исаа С 2СПЕДН-1 (-4паб С Вьп(~ д пав( В)п'Ь+

а

сь 4«аь ()Н( ~ (-28(п б+ — ь(гь $ + а 8 . ъ

Ъ

2% '+ 28+ $1п 2() ~ а ~ 4сд.

3. Интеграл ог полком Дай(времцивла. Ирли подымтегральаое вмрвкение (цм(ьйеренцнвзьивя йорма1 явлветол полним дмр(еренциалом Итнксеьн сс( ж у к), т.е. Р~* — ькж —,

ди

дц ' ду* дг Рс(х + Й «(у ь. Рс(х — с(ж ь- — с(у с. — с( х = с( и,

ди ' ди

дг ду Эг то

1 ~Цп+о(с(у ь2«(х- Г Ыи(ж,у,т)-и(д)- и(4).

МЬ АЬ Таам обравом, мктегрев от полном днф(еронцнала ваннснт только от начальной н конечной точек кривой 4Ь, но не нависни от пьь. ти, совдмнмрвего тачки 4 н 3 . Ивмграк по ввмквттонт конттрьь от полного диййеренцнал» равен Иь Фс(и(ж, у, х) и ('.4)-и(4) 'О, С йьььькцнн (с(х„у, у) виет бить каинска длтмн опоообамк. апособ 1, В качением конттрв ин(егрнрования ковылем ломвььгв РР„РЛ М (рве. 9), где ф (ар у, т )- Иикснроввннан точка. Ф( Х, у, Т ) - переменная точка. Тогда вдоль Р Р, имеем у ур Х - 2,, с(у а, ЫИ- а. М~-

Й~ «ТИ вдоль Рк 4( с(а оьу О . Получаем — Ф.

У

у «)" (с( р*уо кр)

-" 1 Рс(ж+ьмо'у+ Ьсс(к

Рно. 9

р'и

~ Р(х уо, е )с(м + ) (((х, у, тр)«Ху~- 1 ьГ (сг, у, У) с(х.

гл

Распознанный текст из изображения:

споооб и, так кек с(и — с(ж т — ду " — <72

ди дм ди

дх 3у 32

то и(л. у т) удовлетноравт системе дифйеренпнальныл уравнений

~и = Р(ж,у,х);

ди

х

ди

= й(ж,у, т);

Ву

ди

— = й(х,у, 2),

32

Интегрирует первое уравнение, считая у и Т псстсяннынн".

и(ж .у т)= ~Р(х у т) дх так квк и праной части стоит

неопределенный интеграл, то ато равенство определяет и(х, у, 2)

с точностью до слатанного, зависнцего от у в у ."

и (х, у, х) = и, (х, у, х) ст( у, ж) .

ди ди„дскб ди вункцно сг(у, т) нвходны, подставная — —" ~. ди~ Сч.' 3у Эу 3у 32 — ' е — но второе и третье уравнения систеыы.

32 37

Правде чеи определять Фунхпню и (х, у, т), пеобходныо убедиться в тон, что подвнтегральиое вырааенне янлаетса полнын дврйеренциелоы, ДиФИеревциальнвя Фариа двух пораненных Р(х, у)с(х +. Й(х, у)сну „ваданивн в сдносвнвной облаотп, пелиетса полнын дийберенцналон тогда и только тогда, когда выполнено условно

М дР

дх ду

л(6,6,0), 5Л, ч,1).

Нровериы, что диФйереицнальнал Форне евдачн валяется полины двййеренцналоы нивен Р ~% ссб% (х + у 2) °

Р 2%у исО$%(хту х)+ 2 ка

Ю ж уу сов%(ж ч. у22)+6 уха;

дй

2

— -2% ут З1п%(жч у 2)

гх Иу

— 2%у соя%(х+ у х)-2% у х в1п%(ж у т) 6х .—,

Ы

2 Е Ь 2 2 Ж

37

дР в 2 3)2

— = -% у $1п%(х+ у и) ° —.

ду дх

Хансенн (И.Х) выполкены. Найдем енвченне интеграла двумя споообачс

Способ 1. Иыбереы в качестве пути интегрирования лоневув

ДРР,В, где Р,(6,а,О), Р(й,~,а). Т дв ДР

2 С, Р-"%саь%х; на ф~ х И, г С, й С; на

Р 6 ха э, у~ Х„Ив%сов%(6+2)+И хе. таины сбравон,

) РЫх + Й Ыу ~ Я и и - 2 Рс(х ~ ( Й с(у -~ 1 и 6 х 2$, и'~ Р,Р2

- )% ссб%х (х + ) 6 бу т 2 (% пай% (6+ 2)+ 6 ил)д2-- с о о

Ъ ь

зйп%х! + в2пж (я+и) ~ + Их 1 С+О+ 2=2 .

а б о

со

ЛнФИеренциальнан Форна трех переменных Р(х, у, т) с7ж . ~ Я(х, у, у)с7у~-Я(х, у 2)ах, заданная в односвнеиой области, нвляетсн полнив днФФереициалон тогда и только тогда, когда выполнены условия

дЯ дР Ы М 3Р И>

— Ш

(2.1>

дх ду д'у дт дт дх

СНИМИ Флй. Най ) % В% ( у ) ЛХ +

А$

й 2 2 2

' грлут сап% (х+у т) ч Тт )ду+ (лу саби(х+у 2) т С у 2 )32, )4

Способ И Составив снстену

ди

2

. — - Р -% сан% (ж+ х у );

дх

ди

й

— Й 2%ут саьЖ(ас иу )-~ 27

ду

ди

2 2 2

— *. Ч %у сай%(к+ху )+ 6ух

дт

ив пеРвого УРевнении и(х у У) =% ) сан%(х~уут)„~х,,

зри%(х + т у )+ с~(у х). тогда

Распознанный текст из изображения:

," ди

ду

— 2'д х у газ% (ж + х у ) +

ду

д22 2 д«у

— у~у сояХ(ж ху )+ —.

дх дх

ди ди

Подставляя найденные выраяоинн для — и — во второе и третье

да ду

уравнения онстемн, получим

2Х Х У СОП ( ж - Х У )% + — 2% Х У баб «Д ( ж Х У ) . 2 Х

дскб

2 Ь,

ду

2 2 дс~ 2

2

сХу 20$7«(ж«ху ) + — %у соь«Х(ж«.ху )+ оух,

Эх

т ° е

д

— х хо.

ду

дскб 2

— — = Пух

дх

Иа первого уравнении втой пистоны с~(у, Х) -'2 х ~Я у 2 у+

ь ъ

.~. Пв (Х) „От~да = й Х у ~~~ ( Х'), Подотазяяп ЗО Нто

д~

дх

рое уравнение системы, находим Чл(х) О, т.е. «р= С вЂ” сопл

итзв, су(у,х) ух~у - с', и (ж, у, х)

Пвп«л(О'«Хув)+ 2хбу «- «,. * Тогда

3 РНж «- ЙЫу ~2сух и(5,1,1)- и(6,0,0) 43

=- (блп 4Т«+2)-(вжО«.0) 2.

4. вычисление интеграла по ваияпутоиУ контУру с поиоиьз йормулм Грина. Пусть С - замкнутый кусочно-гладквй контур на плоскости жду, ограннчипанний область ю . пусть йуикции Р(х,у).

дл2 М

Я(д у) н мх частные произведена д ., д непрерывны в занкнутой области 3 д д с . тогда сйраведлйза Порнуха Грина

при атом на"Равлевие обхода контура - полояител нос (рв Прймзс П.П, Пмчвслит» ф ( С

У

образованный дугой оивусовдм н отрееща оа О, О ~ '««« 'Х «Рис. П 2. направление обхода " полоаителья Рис. 1О

Рве. 11

Здесь У2~ 2 Уй 3Р . а--( у), й,„у) 2(Х+ у'). По йориуле р.й)

дз' ду Ф( У) 4х-( -У) гУ бу~„~„~у

2 2 ' С'

22

«Х 22п х 4 1 х ~ЬГ 1 (~у 4 ~ х з л«22 д 0 о

о

«Х -4(-хссах~ + ~ соа х4х) -4~

О

Физнчещай аасл ярнвсаннейного интеграла И-го роде - работа силового паа 7" по перамененнз материальной точки пс дуге д,

Дпщ2йпД,й. зачислить Работу ноля у«у)" — х 7 прн переведении материальной точян вдов» ааней половины залнпсз ж 2',

оз 4 из точна А(22,0)в тонну В(-а О) °

Параметричеаае уравнения зьвмпоав

х а собр;

я 12 параметра б в тонах,4

Разны 0 и "Х . Работа

П

н Д соответственно

Ф ГТУ с *'у'~" ям

Распознанный текст из изображения:

-~Н

,(Г- ~ УНы -хс1у- ~ ~йв1НГ(-схэ1пО-

Дб О

(Ь. Оз О~а1 - - сх Ь 3 И - у сх Ь.

О

ьй ь

х йй Ойй ь а с

Ъ

6. Найти работу оихового пола Р-(у-у)7 г д1 по пврвмаивссви точки по връв цыилоиды

сй.'~ ь" -61п х;

у с(( 1. Найти ~ —, гдв С - дУга кривой л'й 3т Ъс=йб г ~~ь,Оы1И1. й.вв с йй, й й р~ м й

й йь' йй ° й У 5'а,0ы Оса1- й.йй-'с "' .ййс-ю ° ~ й ~~и,,,х попсу, 0л гж -й °

% 4, Найти массу дуги кривой х-е совь;

с Ъ ЯЕ вйлй;

4

т е „Олбыйк

С Пхотпоотвм СА й* вййю~ °

.Иу

б. Найти момчит иыарции отиооитааьно качала лоордипат лвынио-

2

ката Р -ссб йсг О плоткоотьа ' сь

б. Найти ~ йс с1ы: й. и сс Ъс й гда (й - дуга параболы

С

2

у .Нж „Оожы4.

7. Найти $ 5 г с1ж ь ж сс'у ь 2 у сК к , где С - дуге хрп- и

у - 1 - СПВ 1, Ов 8 в ННГ.

й СОВЖ 2 2 31 тс Ж Эйпин 9. Найти ~ — с(д — сну + — Ну

АЪ уг гдв Я (О с О'), 0 ( т 2 4), убвдиваись,а том, что под ввтвгрвлом стоит полвый дыйФервппыал. 10. Найти 1 (Ф + 4~у )стюс + (6 ОГ йС вЂ” б'у )сту,

Аб гдв А(- Н, -~) 0 (Ъ, О) й убодивииоь в том, что иодыитагрвльиоа вырваоаыа - похиый дийймрвиымхл. 11. Найва ф(Я+у') ссай — (Ж й. у"'1сйус й гда 0-

а" пробвгвамый в пслоаитвльиоы квправлэкии иоытур троугохьпика с ввриипаыи 4(с,1 1, 8 (Ъ, 21, С'(Н„б'1 . Отаву проварить по 4орыулв Грина,

Глава 3. НОННРХНОСТННИ Нйтйгрйй 1-ГО РОДЬ ФХ. слои о то тв

~п йййййщ~й. Раэбивпывм 7 повврхиооты б иааьеавтол ыиоав. Огас ВВ УыаствоВ Х!й 6 и и ~ 1 ...„,П твкик~ Что Обтйойииоыаа всех сЬ0 рввко б , а пврвсвчвпив двух рввличпмх участков б б .

1 ы А 0 1сь у ость,тибо иуоючио-гладыза врывав, либо пуогоа мыоавотао (рыо. 1й~. Раооматриваамыв ловврхыооти будам орвд-

Яс„ иплагатЬ Ограиичвппыыи и иуссчпО глвдииым,

$

Диамвтром ыноаэства К кв НН иавывавтсп числю сс(Кй эсср ~,ч д гдв ээрхипв граыь овратов по вовы точкам 4 и В , прыиадлвлааыы мыоивстиу К .

ЯШЛвлйииив. Диаметром рвэбиояиа Т, навывавтоя ыаибОЛЬаый Иа дпаивтров Вхвппытврпых попврхпоотой йХ б

1ы