Книга: МУ - Кинематика плоского движения твердого тела

Распознанный текст из изображения:

Министерство высшего и среднего специального образования СССР

Московское ордена Ленина, ордена Октибрьской Революции

и ордена Трудового Красного Знамени

высшее техническое училище им. Н. Э. Баумана

Т. И. Горина„Б. П. Назаренко, П. Г. Русанов

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по выполнению курсовой работы по разделу

«КИНЕМАТИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ

ТВЕРДОГО ТЕЛА»

Москва

1982

Распознанный текст из изображения:

Кинистерспю высшего н среднего спепнапьного образования СССР

Московское ордена Ленина, ордена Октябрьской Рево аодпн

и ордена Трудового Красного Знамени

высшее техническое учипнше им. Н.З.Баумана

Т.И.Горина, Б.П,Назаренко, ПГ.Русаков

Утверждены

редсоветом КЕТУ

МЕТРИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по выполнению курсовой работы по раздену

"КИНЕМАТИКА ПЛОСКОГО ЛВИЖЕНИЯ ТВЕ ЛОГО ТЕЛА

Под редакпией Космодемьянского В.А.

Распознанный текст из изображения:

Йаввые методические указания нэдеются в соответствии с учебным пивном.

Рпссмютрешя и одобрены кафе»6»ой 'Теоретическая механика" 38.10.80 г., Методяческой комиссией фвкупьтегв ОТ к Учебно-методическям управлением,

Реиенэент к.т,н., дод. Квмьппев Л.А.

С Московское высшее техничесиое учнпише

О

имени Н.З.Баумане

Пень самостоятельной работы студенте нвп курсовым ведением — закрепить основные понятия кннемотнки плоского движения твердого тела; освоить пректвческис навыкя отыскания к»»немвтичесю(х характеристик дв»окен»»я теле н его то»ек с помошью векторнь»х формул, связывекп»шх соответствен»»о скорости и ускорешш двух произвольных точек ппосхой ф туры движушегосп тепе1 овладеть методвмп контроля вь»поппе~ юго реше1шя с покюшью по»штий мгновенного пеятра скоростей (М11С) и мгновенного |митра ускорений (МПУ).

Редвитор Л,П.Кистанов

Корректор Л.И. Мвпютинв

ЗекаэДЯ "Обьем 2,76п и. (2,6 уч~иэдп.) Тираж 1060 екэ.

Бесплатно Подписано к печати 23.03.82. Ппвн 1981 г., % 168

Типогрвфня МВТУ. 107006, Москве, Б-б, 2-я Бвумпнсквя, 6.

условие задании

Уквэвння по решению и оформпению,.„,.......... Основные формулы и методике»х применения, Пример

Схемы' механизмов,

3 4 6 11 27

Курсовея рвботв вкпючвет одну зодечу - пейтн кипе.еет»»- ческие хервктервстпкп плоского движе»пьч звеньев коккр .тпого механизма с одной степея»йо свободы.

Йпя каждого из 36 вврнеятов зеленин на отдольпом рисунке ниже приводятся схеме механпэма к походные пенные. Типовые звенья мехашгзмв — »»е»»опв»пк»»ое оснопшшо, поко:»внное п»тркховкой, каток, стержень — "»»»пту'", и, в зависимости от варианта, стержень - "крпвошпп" ппп ползуп.

Звенья 1,2,3 совершают плоское двнжонне отпосптепьно основанпя в плоскости нх нзобряжешнп Пшш»евно ведушего звене 1 передеется ведомым ш»епьям 2, 3. Ке»ен»»»» катке по основенню происходит боз око»ш»кс»»»»я. Кр»»п»оп»»»п прапшстся вокруг точки (,), а ползу~ око»»ьз»»т по пряыоппнейшой пппрввпшошей.

Кв»кдый яз препстапленпых мехшшзмов можно россе'»трпвать квк управляюпшй, породою»ш»й пш» испо;пп»топ:,пый орган кпкой-либо лшпп»яы, степке пли прпборз. Н,»пример, пвп,кеш,е точек механизма пс снежным»»екзпьпыь» кр»шым»»с»»о»»ь.»» ется прн обреботко фасоняых дотзпей. Илп, бпса одпря дотеркп»»»»»ровепному преобра:»опани»о дв»око»»»ш вс ну мого опека х ведомым, механизмы могут пыпошшть фупкшш с ет»»о-рожею»ш»х устройств.

В варпвнтех 1...11 каток 1 »еров пюрнпр Я прп»»о»шт в движение шатун 2, который в свою,»чородь через н»»»р»~»»»р С пол..ун 3 (ворпаеть» 1...8) пл» кр»шошпп 3 (верпопты 8„.11),

В вврпентах 12...18 ползуп 1, и в в«рпаптах 13...3Г» кр»»- вошнп 1 пр»водит в диоконне пштун 2 порез парю»рД, который в свою о.юродь через шорк»»р ( — кпток 3.

Лля пзрппптов 1...18 задано урпвнонпе пшв»еш»л то пгя Д звена 1 5 = '»(1 ) и в д»ш впр»»ш»тов 18„.36 - ур,юп ппе» рл

А

»

3

Распознанный текст из изображения:

щения звена Щ, 1 Ю рад. Положительные направления отсчетов координаты з и угла поворота 1)с, указаны на схеме мехашсэьш.

дпя каждого варианта известна ф Н)- функпия,времени ф., измеряемого в секундах. Предполагается, что 'она эадаНа На ЧэнютоРОМ Св'РаниЧЕНИОМ ПРОЬШЖУтнв 1т.с с т Ш,) ° ВКСПО чаюпшм момент времени'Ф 1 с. Изображенйое на рисунке пбложгние механизма соответствует времени ь

Необходиыо, собпюдая требования "Указаний по решению

Н ОФОРМПЕИЯЮ с ПРНВОДНМ:ЛХ нишэ:

1) найти,дпя момента'времени Ф < 1 с о точностью по двух знзчапшх пифр характеристики (модуль, направдяюший угол Всш гпоеюши на оси) вектоРОв скоРости и УскоРениЯ ( ч сб-) ТОЧЕК СА,Ъ,Сс1) МЕХаиИЗМа, а танжэ ВЕКТОРОВ УГЛОВОЙ СКОРОСтя В Углового УскоРениЯ ( с э,с 3 ) всеисподвнжньсх звеньев;

2) выпопннть пРоверку результатов рс.пения ддя скоРостей (Ч,оэ ) с помощью М1(С катка и п.атуна;

3) нанести на рисунок механизма векторы скоростей и ускорений точек, отметить положение МЫС звена 2 и показать круговыми стрелками угловые скорости и угловые ускорения подвижных, звеньев механизма)

4) используя найденные характеристик векторов, по векторным формупам снова, но уже в масштабе, построить многоугопьники скоростей и ускорений точек К,О,2с и убедиться в правильности результатов ранее выполненного решения.

Рззультаты вычислений харахтеристнк векторов ускорения точек и углового ускорения В. шатуна 2 полезно проверить с помощью МБУ.

мнению

еще ию

9 соответствии с предьявпяемымн к курсовой работе требованиями необходимо выполнить задание в такой поспедоватепьностя,

1. Оформить титульный паст работы С указанием темы задания. Изобразить в масштабе схему механиэлш, записать исходньш данные и вопросы к зедаче.

2. Найти характеристики векторов скорости точек А,9с„СД> и векторов угсювой скорости звещшв 1,2, 3. Для этсгьс

а) найти характеристнни вектора скорости точки Д, используя уравнение еэ движения или уравнение движе:шя ведушшчс звена 1 °

4

б) последовательно найти характеристики векторов скорости точек Я С ,В механизма н векторов угловой скорости вес

домых звеньев с помощью графоаналнтических решений векторных уравнений типа 9 =ч а ч О,,гпе 'Чв, =~ с Дг,;

в) нанести на ргсунок механизма направления напденных векторов скорости точек и круговые стрелки, указываюпшз направпення угловых скоростей звеньев;

г) указать на рисунке механизма положесщя М11С катка и шатуне и с их помощью проверить найденнъсе харахтеристихн скоростей точех этих звеньев;

д) по векторным формулам снова, но уже в масштаб, построить многоугольяикн скоростей точек Ь С с))с используя найденные харахтернстики векторов и убедиться в правис ности результатов ранее выполненаго решения.

3, Найти характернстини векторов ускорения точек Д,Ь,С, О и векторов углового ускорения звеньев 1,2,8. 11ля этого:

а) найти характернстикп вектора ускорения точки Д, испопьэуя уравдение ее движения пап уравнение движения ведущего звена 1;

б) найти характеристики векторов ускорения точек Ь,С Ъ механизма и векторов углового ускорения звеньев 1,2,3 с помощью графоаналитического решеюш векторных уравнений типа

г Сь =О.~сс.." <~.' где о." Гсъ'4; О. = 3. *)1Ь

В А ЬА ЬА

в) нанести на рисунок механизма направления найденных векторов ускорении точек и круговые стрелки, указывающее 1нэправленпя угловых ускорешсй звеньев;

г) по векторным формулам снова, но уже в масштабе, построить многоугольники ускорений точек (сс С, В , используя найдепйые характеристики векторов, и убедиться в правильности результатов ранее выпоппеиного решения;

д) желательно найти на рисунке механизма положение МБУ звена 2 и с его помощью проверить найденные характеристики ускорений точек этого звена.

лы и метр ..ка нх имене пя

в 1

Задача кинематики плоского движения твердого тела— найти характеристики движения самого тела и отдельных его точек. В денном задании к таким характеристикам относятся .векторы скорости н ускорения точек, а также векторы угловой скорости н углового ускорения тела.

Распознанный текст из изображения:

Оаиовные формулы кинематики'плоского движения твердого теле -:векторные формулы, связывеюпще соответственно скорости и ускорения двух произвольных точек плоской Фигуры, например, точек А и Ь (рис. 1)

Ч =Ч +Ч =Ч .,—.,-АЬ (1)

Ь Л ВЛ Л

а = О +О. +а =О +Й (Й-АЬ~+Я. АЬ(2)

Ъ Д ЪЛ Ьд д

гдэ О,1 'е - векторы угловой скорости и углового ускорения

1

к

вращения плоской Фигуры вокруг жабой оси, например А.и перпендикулярной длоскосги движения Ох~3 относительно системы координат Або'я' а', 'оси которой параллельны осям непадвикной системы координат О".с~и, на рис. 1 осн'Ои и А Ь не изображены, так кэк считается, чта они перпендикулярны к плоскости рисунке и нэправлены на нэблюдателя, а плоскости Ох~,и Ах'~' савпэдэют с 'плоскостью рисунка.

Левые чести выражении Ч =< эхАЬ; сь = < э ° (ьэчЩ=

ЬЛ ЬЛ -< )т)~ ° О. = ЕчА-Ь являются соответственно векторами

ЬД) ЬЛ

скорости, нормального и касательного ускорения точки Ь отно,сительна системы координат Ах' ~'а' при вращении отрезка АЬ в плоскости рисунке вокруг точки А, называемой в таком случае полюсом, с угловой скоростью с ~ и угловым ускорениеы Р . Индексы и и% в выражениях О-„д и О- ука-

зывеют, чта эти векторы непревлены соответственно яо внутренней нормали и касательной в т.чке Ь к окружности рэдиусэ ге АЬ с пентром в точке А. Мопулк упомянутых векто,,ов 8

находятся по формулам

)Ч „) =( > АЬ; )О- д(=О. „=оэпАЬ, )О.." (=Е.АЬ,(3)

Векторы Ч, О. О- лежат в плоскости дв жения

ЬА' Д ' Ьд

плоской фигуры тела, причем ненулевые векторы Ч, с.

пд °

перпендикулярны отрезку А Ь, а ненулевой вектор О- неЬд

правлен от точки Ь к точке А . Таким образом,,для этих век-

торов всегда известны линии действия.

л

Поскольку модуль ускорения О. может быть выч..слеп

Ьд

по формуле (3) через угловую скорость тела ьа, обычно из-

вестную к этапу нахождения ускорений, пелесообразно в форму-

ле '(2) вектор О. записывать вслед эа известным вектором

вл

0 л т.е. ПеРед ве~тоРом С в

Векторы см и Е параллельйы оси()и и поэтому полностью

определщотая своими проекш~ями на эту ось

сзэм к; Е= Е к,

где К - орт оси Оь,

Модуль проекпии равен модулю вектора 3=)нэ

е

е знак проекпни указывает на направление вектора. Например,

если проекпии векторов положительны (, ~Р еО; йв ~ О )~ то

векторы ' >, %. направлены так же,как л ж, нли ось Ое . Та-

ким обрезом, при плоском движении теле задача нахождения

векторов < ~, Е сводится к ээдэче отыскания пх проекпий на

осыпь или А и',

Если ~(~ (рад) - угол между осью Ах' ( О «.') и векто-

ром, А'Ь (рис. 1) и аэ положительное направление отсчете

угла ~)а для выбранной системы координат принято нвправленне

против хода часовой стрелки, то

ы ф рь.~/с ~ ~~)к=;р ра,~(с (4)

О направленьи векторов ~~~ и Е судят по круговым стрел-

Ф

кем ~~.~ и Е согласно правилу: "круговая стрелка, направлен-

нэя протюв ходе стрелки чэсов, соответствует вектору, направ.-

ленному тек же ьех ось О б

Из формул, использующих пон тие М1!С (тачка Р ) па

рис. 2,

Ч Ч „-, ( А; Ч,еЧ„„;„.ОЬ;Ч =,„.(А.

д

Распознанный текст из изображения:

) 1

Рис, З

Рис. 2

Рис. 4 е

Рис. 5

я~ ~, РЯл ° Ял с

~у» 'ч' Чс

РА РЬ РС (б)

следует, что в денный момент времени респределение скоростей

точек теле при плоском движении такова, кек если бы тело

вращалось вокруг оси Р с угловой скоростью л л ..

Если отсчитывать угол 90 от напревления векторе ско-

О

рости точки ~7» к непревлению А Рот етой точки до МмС, то

неправление отсчета угле совпадает с непрввлением круговой

стрелки Ь,~ . Этот факт можно испольэовать для определения

нвпрввления вектора с л.

, Ив формуд, испольвуюшлх понятие 'МБУ (точка (.,) на

рис. 3),

О = ()ь = О. +(."~ ~з л(л ля(~)А~+Ее(;)А;

А б) АО д~::л

С "- ()А Е"е ч ' Ч

б (б)

~"т Вл = ~ ~--.„—~ .

СА (') Ь ОЪ

следует, что в данный момент времени распределение ускорений точек тела при плоском движении таково, как если бы тело врешвлось вокруг оси Яй с угловой скоростью ~ > и угловым ускорением ч .

Угол )лл отсчитывеется от векторе ускорения какой-либо точки в напревлении круговой стрелки ~ . При отыскании положение МБУ по ускореюшм двух точек, непример пр Сл и О., под углом ~м й соответствующим ускорениям проводят лучи Ац и Ь(1. Точке пересечения лучей (точка(~ ) является МБУ плоеной фигуры в денный мол.лвт времени.

Непревления векторов (зэ н Е' помимо формул (4) могут быть нвйдены нз отдельных векторных формул

(аэ'~ РА ~/ — л~1 *А Ь О = Е '~АЬ (7)

» ьд Ьд

Чтобы избежать знализа расположения трех взаимно перпендикулярных векторов формул (7) при известных Н„,л~' „С" непрввления ~ э и 6 неходят аналогично случаю вращетельноео движения тела вокруг неподви.хной оси (рис. 4),

Кинематика плоского двшкения катка радиуса л4 при отсутствии скольжешля по направляющей (в общем случае крнвоа~нейной), ~. а~. имеет некоторые особенности вследотвие того, что мгновенный Р

1 пентр скоростей катка (точка Р ) совпадает с точкой окружности, / касающейся неправляюшей Д Ф Х (рис. 5). Поэтому при движении катка расстояние от его пеятра (точки А ) до ЛЧ1С является неизменным во времени н равным Я

АР(~) = сои ~ т. = ~. (8)

Свойство неизменности расстояш~я А Р позволяет установить дополнительные соотношенж, удобные для рвсчетов кпнематнческих хароктернстик катке. Представим вектор скорости точки А с помощью:

а) формулы естественного способа задания движения точки

Распознанный текст из изображения:

> » — С~

»

где >Т - единичный вектор естественного трехгранника, каса-

телы»й в тачке А к кривой ее движещш; В - криволинейная

координата точки;

б) формулы (>) плоского движения тела

'л >чл =>,.»» РА>

> » вьу К= >)» й. К- орт осн О~ > перпэндикулярной плоскости

движения катками ю~ >р- угол, задающий направление ка-

кого-либо отрезка плоской фигуры хатка. Ввиду произвольно-

сти выбора такого отрезка, обычно' собственно отрезок, не

указывает на рисунках, а изображают лишь круговую стрелку

положительного направления отсчета угла >(», называя его

углом поворота катка,

Приравнивая правые части последних формул, имеем

Ь >>". = (»»~ Р~~.

л

Поскольку вектор>ь коллинеарен результату векторного

произведения 'Х ' РА ( >>.3.К >ь л>> »А4 то

с~ = >(» РА,

л

Откуда, используя свойство (6), получим формулы

-,,р й Ч„в й З Р., (9)

справедливые для любого момента времени >..

В правой части формулы (9) берется знак +", если при

мысленном увеличении угла поворота катка >у в направлении

против хода:стрелки часов наблюдается возрастание координа-

ты .Ъ центра движущегося катка в положительном направлел

нии ее отсчета, иначе берется знак

Так, например, для случая отсчетов Ь и >)», изображен-

ном на рис. 6, в формуле (9) необходимо брать энах '- .

Днфференпнруя н интегрируя по времени соотношения (9),

придем к выражениям

с 4 >(» Р, нли О. = >' 8 (>,, (10)

а также ьл = з ~р (~ ьС,

где С. - некоторая константа, значение которой зависит от

выбора начал отсчетов ~, и >(». Обычно принимают С " О,

так как считают, что кшда ~л О, (» также равно нулю.

Из произведения соответствующих частей формул (9),

(10)

Ч 'О =>л» (и)

л

10

>

ду, ры МЛ а нар ° то правлены я векторы со > Е .

Таким образом, с помощью формул (1...4), (8, 9) могут быть найдены характернстяки векторов скоростей и ускорений точек, векторов углоьых скоростей и ускорений звеньев 'механизма, а с помощью формул (5, 6), (11) осуществлена их проверка.

Нахождение кинематических характеристик движения ( Ч, <л» > О. >Е ) при помощи векторных формул (1), (2) рекомендуется проводить следующим образом:

1) написать форму(»у (1) нли (2) применительйо к к»нкретпым тсчкам рассматриваемого звена механизма. При этом в качестве полюса следует взять точку с известными кинематическими характеристиками движениц

2) установить, известны нлн неизвестны на данном этапе решен»ж две незевисимые характеристики (проекции на две оси или модуль и направляющий угол) для каждого вектора, входящего в уравнение (1) или (2). Найти значения тех независимых характеристик векторов, которые мо; ут быть установлены иэ ус»юлий движения звене без решения рассматриваемого векторного уравненщц

й) решить векторное уравнение графоаиалитическнм или аналитическим методом (метод проехпий).

Пример

Урлрэий;1ййачи. В механизме (рис. 6), положение звеньев которого соответствует моменту времени 4 „". 1 с, заданы размеры звеньев ЬС=С.Ь=((Ч М,Я=с ОС 02>(и уравнение двнжейия точки А ссн катка 1(в м ) 5 =О ( 1к а О Ъ '

Для момента времени (.„= 1 6 необходимо найти характеристики векторе >> Ч Я Ч~,а„,а >.л О. »> »,й~,ы~,Е„Е Я

Р»»щ)91й (при выполнении задания текстовое объ-

~9 яснение не обязательно). 1 Все подвижные звенья ме- ~с

Д ханизма совершают плоское

Ь движение относительно осно- » Ох Бл ванна. По условию задачи

./7 777 7777 известно уравнение движения точки А оси катка 1, катяше- Рнс. 6

Распознанный текст из изображения:

гося без скольжения до основанию. Через шарнир Ь квток 1 приводит в движение шатун(з'О'?~ (звено 2), который в свою очередь изчез шврнир С - кривошип СО (звено 3), шернирно связанный с основанием в точкеО .

Изобразим' в масштабе схему механизма н введем правую неащвнжную систему координат Ож ~~ (рис. 7).

Рис. 7 1. О е ение ха а котик век о ов ско й Ч Яйца„1. Определение Ч„, Чв, ь ~~ кетка 1. Напкшем для точен А и Ь кэтке 1 формулу (1)

(12) ~у =~~„~- ~~...,

Ь вЂ” А

Установим, известны или неизвестны для моменте времеяи 1 1 с неээвисимые херактеристики кэждого вектора, входяшего и чюрмулу (12).

Взято)~~.в. При качении катка 1 по прямолинейной неподвижной напрэвляюшей иентр Д катка движется по прямо.'., ,пвраллельной оси Ош . Тогда, сш лепно естественному спо сбу видения движения точки А 12

В момент времени +- напрэвление вектора ~/ совпадает с <

ж м ч х направлением оси О:с, т.е. ~I~ ь+ О,-'О с ', ~~, = 0 с~.,~ =О

Вектор Ч известен по модулю и направлению (подчеркнем дважды символ Уя в (12). Изобразим вектор '4Х на схеме мехэнизма (рис. 7).

Зеввм у ( р ванне и, изображение вектора) будем выполнять без огово ок в тексте.

в в,дН,, и * л, ~Ч„~ДЮ, а МОДУЛЬ МОжЕт бЫтЬ НайДЕН ПО ФОРМУЛЕ Чкд "< 4 А~-.

Для нахождения харэктеристик вектора ~ ~, воспользуемся формулой (10)

'('< = — — Рс (~, спрэведшшой для любого моменте времени К при плоском движении катке радиуса Ы. без скольжения по направляюыей, где

~()„ - угол поворота катка 1, за положительное направление отсчете которого принято напрэвление против хода стрелки часов, а знак "-" указывает нв 'то, что при' мысленком увеличенш~ координаты Ьд ~~ь точки А направление поворота катке совпадает с ходом стрелки часов, т.е. противоположно напрэвлению, принятому за положи- Яв 4 тельное (рис. 8).

Выполнив соответст- 0 Х вуюшие подстановки, полу-

) О,О~~ Рис. 8

л (.~)- - —" - - — ' — = - 0,БОИ. рс с~

т! д ОоО Зэтем по формуле (4) найдем

Направление вектора <~ противоположное оси О"., указываем с помошью круговой стрелки ~, по ходу стрелки часов (рнс. 7).

) А(~ (..О О О„О с Нэпрэвление вектора, ч' = >," АЪ находим по в6помо-

еь .х,ч гатольиому рпс. 8. Нетрудно видеть, что ~ .=О ° ~l =ч3,р 0'„. ~м ' ив

!8

Распознанный текст из изображения:

Лля нахождения херектеристик вектора ч' на данном этапе решения можно испольэовать любую кэ двух формул

Мем ч/ (14)

~(з ~/с +~/

(16) поскольку характеристики векторов в их прввых частях известны.

В самом деле,Ч е< 3 ° Ь3~ - 0,6 0,8 0,40 м/с; Ч

юь 2 ° ° ' ъс

С ~и. СЪ О,б'0,4 0,20 м/с; напревления вектоРов К~В > Чьс поквзеиы на рис, 13.

Для нежного уревиения (14), (16) ррефически построим 16

моши линейки с учетом масштабе иэобрэжения шотунв (см. рис. 7) нли аналитически

Р Ь Р2>=0,~(2 м; Р,

Результаты вычислений

Рнс. 14

С=С~О м.

о, Й

— — — с05О р

в

е также Факт соответствия иенревлений векторов скоростей

Чс, ~/ положениям точек Ь,С,Ъ, 1.~т н направлению

с

«Руговой стрелки ~л> (рис. 7) свидетельствуют о правильном

17

Распознанный текст из изображения:

решении етой части задачи.

Требуемое по условию задания, контрольное построение

тр»угольников скоростей точек Ь, О,'З (формулы (12...15)3 с

испотьзованкем найденных характеристик векторов выполнено

на рис. 1О, 11, 14 в масштабе 1 мм: 1/150 м/с.

П~ ~ ~ р 5' а,

с ошибками, то при контрольном построении соответствующей

векторной суммы модуль и направлявший угол вектора, замы-

кающего ломаную линию, могут отличаться от вычисленных

ранее значений,

П, Яйце()еленке ха и некто ов с о е а

Звг,31 ~. Определение. характеристик векторов О,О Я катка 1 (рис, 7).

Напшпем Формуцу (2) для точек А и В звена 1

» '

ь А — ьА — ЬА"

2

где О-аз Ьа +0,20 м/о, а О- ы О , так как точка А и-

А $

жатв~ по пря юй. Р!одуль в~итера О~аз ! ~."~. „, ! = 0,20 м/са»хва дапревление'вектора О- совпадает с направлением оси Осе

А 2

Тем самым О.„= +0,20 м/с, а =О.

Вектор с,, направлен от точки Ь к точке д», а его

о 2 2 аж

модульО. =~»1 АЬ ~ = 1 0,2 = 0,20 м/с, Тогда О° ° °

вА

о9

+0,20 м/с, О. = О.

ва

-'Т

Длн вычисления модуля ! а ьа! по Формуле (3) (а„ь!

Е ° ДЬ необходимо знать модуль Е, который найдем по формуле (4)

Ра»1 . и Рос

Е - !»„» - (-(,О '(.)=-1,0 — х ) Я =! Е, )= 1 О—

Круговая стрелка Е направлена по ходу стрелки часов,

»ь е так как Е» /-О. Знаки произведений»/а ад и / 11„Е „ одинаковы, что соответствует формуле (11).

у

Ьычислкем модуль )О. „)= Е ° АЬз ь ° 0,2=02с-Испольс' зуя направления векторов Е,, /» Ь по Формуле о = б,» ЙЬ,

г'

илдюстрируемой рис. 18, нш едим направление вектора О~ 18

ьа

Таким образом, О. аа О,

2 О. +0,20 м/с . Проеюши

.я ч вектора О-в (О~в, ~'-'- в1 пока

Строим (рис. 18) геометрическую сумму известных векторов правой части уревнения Рис. 16 (16). Бифры 1,2,3,4 на рис. 16 позволяют проследить последовательность построения ве.:торов (середка за стрелкой). Согласно Формула (18), неизвестный ,вектор 'б.в, начиизнср в, 1, должен кончаться в точке 4.

Риг, 16

Д

Замкнутая ломаная 1 23-4-1 образует прямоугольный треугольник. Поэтому из геометрических соображений находим, = О»»5 —. и с т» О,З вЂ” =О,ЕО о~- тЬЧ . с~ С,„" О,З О,З ' 1

А за

Реше е авнения 18 наш, щескнм мечйпомм. Спроеппруем обе части (18) на оси Оюи С~ и подставим известные значения проекш»й.'

Распознанный текст из изображения:

ох

м

=О. +О- тО- 4ОЪ)О 2лО4+О,ЧО—

В А Ва ВА ' ~ ~ Сс

ч н оч ен м

У '~ 4О.„а „ГЬ „=О О О,2с~О,В.Я-,

откуда °

В.: 6~т' ~ ".Г -/таиса,,Б~„

В Ов + ~В. В 4

ч

(. = — = -~- =.О Ю О ( = г7.

а Ох- чО1(- ф У

В

Зоеищ243. Определение характеристик векторов О. Я 'О. шатуна 2 и й; кривошнпа 3;

учитываяк известность кривой, по которой движется точкаС (точкаС движе'(ся по дуге окружности радк/са ОС; а ддя точки2> такая кривая не и~естиа) будем опредепять на данном этапе решения ускорение именно точкиС . Напюпем формуду(2) ддя точек С я Ь звена 2

(17)

х 2, 2 Здесь О- '-+0,41 м/с; О- й0,20 м/с;

о

О. < Э ° ЬС 0,6 0,4 0,10 м/с .

юх Вектор О. направпен от точки С к точке Ь, т.е. О

2 юц

+0,10 м/с 1,О- =О. Согласно выражению Сь = В эЬС

~х вектор С(. перпеипикупярен ЬС,, и ддн момента Т„О. Модуль ( О(. ". ~ = Я ° 5С пока не известен, так ках не известно

сь 3'

угловое, ускорение шатуна Вя . Уравнение (17) содержит три

~сч

неизвестные дроекпихСь О. О. и потому пока не может

с~

иметь однозначногб решения.

Примем во внимание, что движение точки С относичедьно основания как точки кривсшипа 3 происходит по дуге окружности радиуса ОС. Представим вектор(Х суммой векторов, направденных по естественным осям ее траектории

С(. =О.", чб~

(18)

э

где О. = — с =нэь ОС(1 = 2 ' О;(.с ~1 .гВектор О . направлен от точки С к точке О, т.е, О =О

О. л),40 м/с . Вектор О- перпендикулярен к С . и дня. момента с О. =О . Равенство (18) также не может быть

гсч

с

решено однозначно тах кек содержит три неизвестные щ оекпни

,о ОЧ С ~'Е

с, с е о

Уравнеяия (17) и (18) совместно образуют систему из двух векторных уравнений с четырььи скалярными нензвегтными О. О.,О. О. Нанбсл е яр~сто эта система ре~аетс.~ с' с > сь'

ся еспи приравнять правые части уравнений, в результате чего, ~1

(19)

~х

Уравнение (19) содержит лишь две неизвестные И и (Х и поэтому имеет однозначное решение.

ьЧ

Сви

9

ич еше а

Основная идея решения состоит в том, чтобы по известным характеристикам векторов попучять' равные геометрические суммы векторов левой и йравой настей усавнення (19), т.е.

(и 4 о — ГС* если обозначить О.=(Х +С1 тО„п О. ~Х. л О.. то

сь сВ

.в результате решения должно выпопняться равенство О =О.сО

Иэ точки 1 (рнс, 17) строим геометрическую сумму векторов левой части уравнении (19) О. =О. + О- г ОВслед эа вектором О. из его конечной точки 2 проводим век— о

ь

тор СХ заканчиваюшийся в точке 3, н через точку 3 - пинию действия, пока неизвесгного по модушо вектора ю- . ))знее,

с с вновь начиная нз точки 1, строим геометрическую сумму вех-е -о торов правой части уравнеюш (19) О. = <Х 4 О, Иэ конечс '1 ной точки 4 вектора О..проводим ляюпо действия вектора О „, пока неизвестного по модупю.

1(внаем вывод: два вектора Ь. и О. с обжим начаююм в точке 1 будут равны, если их коне'ной точкой издается точка 5— точка пересече1шк пиний действни вектоРов О. и аю . На

сз рнс. 17 соединяем точки 1,8 и указываем стрелки векторов

0

О.„О б,й

21

Распознанный текст из изображения:

Рис. 18

Рнс, 17 Из геометрнческнк соображений (рис. 17) вмеем ..

) О. )=) С1 )4)О. ) Г„4+0,1 0,60 м/с; !С~, )с(О„~»)О ~-0,2+о,й =0,60 м/с21

- //о,ц' ° от= с,е "-„;

)О. ! (',),Ч с. о

,С = — =-(~ао СС в-ъЬ.

"Я О 0, ((~,'ь) О,5 Тогда ' ( О св1 ()Ф (псЧ, )Ое) О'~ ' Р Ъ

~фЖ с ж ' = — '= ~ О'. —.

к- ~ - „г, ° ) в"ОО б,1 ' С''

На основании попученных на рнс. 17.направлений вектоф>в а" ну',ю н 1 у' «» рму СУ=

св с' св жФ час н Оке%. 'вОС (рнс. 18) устанаввиваем, что

в ъ

Я +1,6 рад/с; с. -6,0 рад/с .

Р е ав е 8 а нческн ото. пируем обе части уравнения (19) на осн Ох. н

с. /

ф О . О.. = О.~ О. а'~~

н подставим значения известных проекпнй

'зс'7 О «'О.. = +О,1) т О,й.+ О;

~х

~о

Р-ОЧ+О = +О2+О+а

Откуда

н

О' = 0,60 ', О. =ФО ВОЗ

) О. )= О,б(:) ', (О ~=0 5С' —,,

) (Х" ) О,~, р<х~ ( С.~! О,Б Р'Я

х р,О О,М ' с ~ в с, ' с'.

~'5 ~.1С

По знакам проекпнй О. ~О и 0'с >О уотанавпнва— — Т

ем направпення векторовО~ О., а затем по рнс. 18, как

ф гФ'

ето делалось ранее, - направления Я. к н !

Дпя определения ускоренна точки ЛЪ воспользуемся 4ормупой

— — о

О. жа +а еа (20) правая часть которой содержит векторы с известны ~и карактернсткками О. = ~ э ° ЬЪ 0,6 0,8 г 0,20 м/о,

ЪЪ

23

Распознанный текст из изображения:

Вектор О- направпан отЪ к Ь; )О )пах-Д Ъ 1,6 0,8

ъь,„' ъв

1,2 м/с; вектор О = Р.аэ ЬЪперпенднкупярен Ь (рис 18) и дпя момента вреь«ани ъ«противоположен по напрев-

ьЛ 2 пэнню оси 0»3 ° т,е, С~"ъп 1»2 м/о Модуль и направпение векторе С~. пока не известны. ан е н1 э в я 20

'Ю 'ф

Решение уравненпя (20) с двумя неизвестнымк О. „О-. выпопннм с помошью построеющ векторной суммы известных векторов его правой части (рис. 10). По построенюо отрезок 1-4 явпяется иэображением вектора ускорения б-ъ . Найдем характерисФ««кн вектора О д,' методом дроекпий. Спроеппруем обе чести уравнения (20) на оси С)т.и О~ и подставим известные значения проекдий «Ж„) О. — О. + О +О = чО,«»~О,2 О»О,ВΠ—.

' ~ьх. ъ и ви ъ%ъ ' ' ' с

Н

О = О '+ О. + О. = ~О,2+0 к,хэ 2~О~~'

'3' ъ= ь ъа ъи= куда с% (от 1» Ф(ср»)х 1( О 6 -4- Х О» э х 2Ф~ .

Ъ О, 1,О Ь~ С/. = — = — ' = -Х,Т ) ф.Сь= — ЬО.

С~ О«о

Требуемое по усповюо задания контрольное построение многоугольников ускорений точек Ь,С, 1:» (по Формулам (16...18), (20) ) с использованием найденных характеристик э»кторов выполнено на рис. 16, 17, 19. На этих рисунках век-

1 2 торы ускорений изображены в масштабе 1 мм: — м/с (рис, 16) н 1 мм1 и/с (рис, 17, 19). Судя по рис, 16,

1 2 17, 10, иайденкые расчетным методом значения модупей и напраэчпвших угнав векторов ускорений точек Ь,С,й с требуемой точноотьв удовлетворяют усповшо образования замкнутого мпогоугопьдика ускореднй»

Проверим резупьтаты решенпя с поьюшью МНУ авена 2. сначапа вычдожм значение угпа /» ( ) 1»«! к В0') по Формуле (6).

Я ь(Я е ».»0)м - = и~»о О' ь«х т~О, ч; о»

»

Знак "+ вепичины )ц указывает на то, что угол допжеи откпэдываться от узко- й

ракий точек (.«О С~. й

против хода стрелки часов,

т.е. в том же направлении,

что и круговая стрелками~

Проводим иэ точек Ь,С

пучн под углом )м к векторам ускорений этих точек

(рис. 7). Точка пересечения

лучей (точка О ) является

МБУ шатуна 2, т,е, в мох н Ь, а„=О.

Соэдннйв точку Ъ с

, точкой С1, убеждаемся, что

угон между рачее найденным из уравнения (20)

вектором С» и отрезкомЪ()

близок по величине х

расчетному значению рл «

а направление отсчета этого угла, от вектора С» до

ъ

пучаЪ(1 совпадает по направлению с круговой стрел/"

кой Е„„

Проверим по формулам

типа (6), что

Оь Ос хъ х ч

— — +~ Э

() Ь (;)С С~Л~

С учетом принятого масштаба иэображения

рис. 7 расстояния (.)ВЯС (,) Ь могут быть. опре

помоши линейки. Тэк, в нашем спучэеЯ Ь 0,30

СФ 0,80 м. Результаты вычислений

— — / —,,5-.-Ц-Р - «5

Р, 19

механизма нэ

делены прн

ь»,()С 0,43м,

С»»0»«.Б Рс~ О- »«ээ «Р«6 с.»»,~ Щ

/)Ь О,Ъ с ас О,Ю . ОЪ а4

подтвержпшот правильность выполненного решения.

26

Распознанный текст из изображения:

Итек, ответы па вопросы аадечю

Ф

а < ъ Ф а $

Е = АО'КЬ. алло.А%' — "~. ~ - ЬО 'А

Ст 1 2 ' С~ ', 4~ ' ~ъ

Распознанный текст из изображения:

)(вд самостоятепьной работы студента над «урсовым заВайнем аакреппть осноокые понятна кааеметика папского днвкення твердого тече) ссэоить практических навыки атыска..Ння нянвмвтнческкх характеристик двнже~шя тела а его точек Э(шкыошью вектсрньы (юркун, сняэынаюшнх соответстюнно сйсрссти н ускоренна паук произвольных точек папской (птуры днпжушегос» тела; овхапеть иетодакп~ коятропя выпопкш юго рашаннн о покюкюю по штнй ыгкоаакного пектра скоростей (М))С) к мгноаеннсго неятра.ускорений (МПУ),

УВВ)в~~а зайй)ВШ

Куросава работа екпючаст одну задачу — найти ю а ыатнчвсв~е харахтернстпкн ппоскогс дн!пкенпя:юопьеа конк):тного мелвкасма с оаной степенью сапбоды.

Лю каждого нс ЗВ варнантоа запахав на отдельном рн— сунке шока прпводятся схвью меканнзма к ксходаые анные. Типоаые звенья к~эха>п~зыа непогаппкное аснооаянс, псказаянов штраховкой, каток, 'Стержень - "н.оту"", и, э заапсиыостн от нарнента, стержень ."крпасшпп' ппн подкб и.

,Знанья 1,2,3 совершают плоское пвк ~ение откоснтеаьно осйоааюш в ппоокостк нх нзобрюкенн». Йа~мекпс эедужего знейе 1 нередаетсн недомыл~ оне~ьпи 2, 3. Ка юане натка по оснонаюпо прштсходат без скоаыкешпк Крпсошнп аранвется вокруг таакпО Э Попеун скоп.зит пс прямопннойной надраапяюшей

Каждый нэ препстааленньш ыеханнолюе можно рэссматринеть ках упргенйкюшпд, соржчююпн!й яп» аспод!эшепьный ор!'ак какой-пабо мшппны, станка наи прабора. Наррнмер, движение точек механизма па сложным пеквпьныы нрнаыы попользуется прн сбработко Ьосонкьш деталей. Ипк, бпагодаря петэркапп~рсвшн олс преобразовв!ппо пэюкення ведущего сосна к ведомым, ыэхапазиы могут аыпопнять фуэкшш с етно-ро мышам уст Робота.

В ар»актах 1...11 )«атак 1 через а арнкр (Д приводит а ранке!Ше шатун 2, который в спою,шородь через шарннр С попьун 3 (аарпанты 1...8) кш~ крпвсшия 3 (варианты 8...11),

В аерпантах !28.13 попоук 1, а в пароантак 13...38 крн-' асшнн 1 приносят в двнженне шптун 2 через шаркшрД , которыя а свою очородь через шарнпр ю - каток 3.

Лня аераантоа !...!8 задано урааненпе днпжекнл точка Д эаэнв 1 Б = 5[(.'! и, а дач пврсантов 18...38 - ур мнение вре

3

Распознанный текст из изображения:

Основные (армупы кинематики плоского двюкепн» твердо-

го теле — векторные бермуды, аввэыв ююю аоответствевио

скоро тн н ускорешю двух произвольных точен. плОской Фигуры,

иевример, точек/( и Ь (рис, 1)

='/ т1/ =ч/,сы ДЬ' (1)

Е А ЕА А

= О +б.." О~ .=О. - ° «(о.-ЬЬ)*М. М~(г)

В А ЕА ЕА А

где >,г - векторы угловой скорост» и угловата уакорення

врааепня плоской бигуры вокруг жабой оаи, непример

перпендикулярной плоскости двюкения Охб относптелыю си-

стемы косрдпнет Их 'й' и, асн к(сарай пераллельны асям

неподвинпной свстемы координат Ох~в . Нв рис, 1 ссн Оп

и Ди пе нообрежовы, тек «вк ачитветсж, что ани перпеююху

лярвы к плоскости рпсучх н нвпрввлены нв ввбпюдвтеля, а

нлоекоотиОх~ и Ах'ча' совподвке с плосхостью рлсункв,

левые чести вырвжений х/ = са х Йь; Ос '= а;(хопа=

ЕА ' Еп,

О. = Ь /АЬ являютс» соответственно вектарвыи

ЬА ЕА

скорости, нормвльного х кпсвтедьяого ускорения точки Ь отис-

оительна системы «сардянеч АМ~й'и' прн враиюиии стрев-

кв АЬ в плоскости риаункв вокруг точки Ил иавыввемой в те-

кам случае полюсом, о угловой скораотьюа н угвовым усков

рениемь, индексы и игь в вырвжениях О., я Ь укп

вывают, чтс йтн векторы Непревлеиы соответственно |ю внут-

ренней нсрмвлн и кпсатею яой в т чке Ь к окрукнюти радиусе

г= И Ь о венгром в точке д . А(одулз уоомвьутых некто;а»

б