Лекции: Задания к лекциям и семинарам

Вопросы №9

1. 1. Доказать формулы рекуррентные соотношения для функций Бесселя. Свойства функций Бесселя.
2. 2. Перечислить основные свойства Бесселя и Неймана. Их поведение в круге, вне круга, в кольце.
3. 
   

Вопросы № 10

1. 1. Вычислить функции Бесселя порядка 5/2, 7/2.
2. 2. Записать кратко нахождение собственных функций и собственных значений для оператора Лапласа в прямоугольнике.

Вопросы № 11

1. 1. Вычислить полиномы Лежандра n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
2. 2. Вывести уравнение Лежандра.
3. 3. Вычислить квадрат нормы для полиномов Лежандра.
4. 4. Задача Штурма—Лиувилля для полиномов Лежандра.
5. 5. Свойство ортогональности для полиномов Лежандра.
6. 
   

Вопросы № 12

1. 1. Вычислить присоединенные функции Лежандра n=0, 1, 2, 3, 4, 5, m=0,1,2,3,4,5. (все допустимые варианты).
2. 2. Записать уравнение для присоединенных функций Лежандра.
3. 3. Вычислить квадрат нормы для присоединенных функций Лежандра.
4. 4. Задача Штурма—Лиувилля для присоединенных функций Лежандра.
5. 5. Доказать, что присоединенные функции Лежандра являются частным решением присоединенного уравнения Лежандра.
6. 6. Доказать, что для любого натурального n совокупность присоединенных функций Лежандра образуют в полную ортогональную систему функций.

Вопросы № 13 (1 балл)

1. 1. Дать определение гармонической функции. Доказать, что функции f(x)=1/r, f(x)=ln(1/r) являются гармоническими и указать области, в которых они будут гармоническими.
2. 2. Сформулировать и доказать теорему о среднем для гармонических функций в шаре.
3. 3. Следствия теоремы о среднем для гармонических функций в шаре.
4. 4. Функция Дирака. Свойства.
5. 5. Основные свойства экспоненциального интегрального преобразования Фурье.
6. 6. Теоремы для экспоненциального интегрального преобразования Фурье (с доказательствами).

Вопросы № 14

1. 1. Дать определение функции Грина.
2. 2. Построить решение первой краевой задачи для линейного дифференциального уравнения в частных производных второго рода эллиптического типа, если функции Грина известна.
3. 3. Построить решение второй краевой задачи для линейного дифференциального уравнения в частных производных второго рода эллиптического типа, если функции Грина известна.
4. 4. Построить решение третьей краевой задачи для линейного дифференциального уравнения в частных производных второго рода эллиптического типа, если функции Грина известна.
5. 5. Приведите пример функции Грина и укажите на специфику ее структуры.
6. 6. Изложить схему метода отражений для построения функции Грина.