ВКР: Численное интегрирование уравнений динамики степенными рядами

Оглавление

• Введение 3
  • Постановка задачи. Обзор работы и использованная литература 3
  • Предисловие 7
  • Проблема эквивалентности Пенлеве в Динамике 11
  • Обозначения для трансцендентов Пенлеве 19
• Сведение дифференциальных уравнений к полиномиальной форме 23
  • Сведение дифференциальных уравнений к полиномиальной форме 23

введением дополнительных переменных 23
1.2 Примеры сведения 27
2. Уравнения динамики 32
2.1 Шесть уравнений Пенлеве 32
2.2 Сведение уравнений Пенлеве к полиномиальной форме 32
3. Вычисление коэффициентов Тейлора для полиномиальных ОДУ36
3.1 Схемы для вычисления коэффициентов Тейлора 36
3.2 Применение к уравнениям динамики 37
4. Априорная оценка погрешности, выбор шага и степени Тейлоровского 40
приближения 40
4.1 Теорема об оценке 40
4.2 Алгоритм выбора шага и степени Тейлоровского приближения 41
4.3 Применение к уравнениям динамики 42
5. Программа TSMR (TaylorSeriesMethodRealcase) 48
6. Численные эксперименты 52
6.1 Простейшая квадратичная задача 52
6.2 Численное интегрирование уравнений динамики 53

Заключение 54
Литература 55

АННОТАЦИЯ
Выпускная квалификационная работа (магистерская диссертация) студента 2 курса магистратуры (кафедра теории систем управления электрофизической аппаратурой ф-та ПМ-ПУ СПбГУ) Абрамяна Эдуарда Робертовича «Численное интегрирование уравнений динамики степенными рядами». Рассматривается интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка в вещественной области. Обсуждаются некоторые проблемы уравнений Пенлеве. Рассматривается общая задача Коши для полиномиальных систем.

Ключевые слова: Уравнения Пенлеве, уравнения динамики, общая задача Коши, схемы, численные эксперименты.























Постановка задачи. Обзор работы
и использованная литература

Постановка задачи

Цель работы – провести численные эксперименты с уравнениями Пенлеве в полиномиальной форме в вещественной области и показать преимущество примененного метода решения полиномиальной задачи Коши в окрестности особых точек.
Для достижения выбранной цели нами решается ряд задач:

• каждое из шести уравнений Пенлеве свести к полиномиальной системе обыкновенных дифференциальных уравнений;
• построить оболочки и схемы для каждой из этих систем, позволяющие применить рекуррентные соотношения для коэффициентов Тейлора;
• для каждой из этих систем при помощи теоремы об оценке получить априорные гарантированные оценки абсолютной и относительной погрешности решения задачи Коши;
• при помощи программы TSMR на основе полученных схем и формул для коэффициентов Тейлора провести численные эксперименты решения задачи Коши для простейшего квадратичного уравнения и системы полиномиальных уравнений для третьего уравнения Пенлеве. Мы работаем в ВКР только с третьим уравнением, так как уровень его сложности такой же как у четвертого, пятого и шестого уравнений.

Обзор работы и использованная литература
Работа состоит из 6 глав, раздела «Введение и Заключение», а также списка литературы из 74 наименований и двух таблиц. Основные теоретические результаты настоящей работы содержатся во второй и шестой главах.
Первая глава содержит необходимый материал о сведении шести уравнений Пенлеве, вычисление коэффициентов Тейлора и их решения, априорную оценку погрешности и основанный на ней выбор шага, а также степени приближения метода Тейлора.
В первой главе использовалась литература: [61, 67-70].
Вторая глава включает в себя два параграфа и посвящена применению специального метода сведения уравнений Пенлеве к полиномиальной форме.
Во второй главе использовалась литература: [67-68].
Третья глава, состоящая