ДЗ 2: Теория вероятностей вариант 5

• ⭐Полностью готовая работа в идеальном компьютерном качестве⭐
• 🛡️100 % гарантия безупречного исполнения🛡️

• Вопросы перед покупкой можно задать здесь 👉 Написать эксперту

• Задача 1. На некоторое обслуживающие устройство поступают две заявки. Каждая может поступить в любой момент времени в течение Т минут. Время обслуживания первой заявки τ₁ минут, второй - τ₂ минут. При поступлении заявки на занятое устройство она не принимается. При поступлении ее хотя бы в последний момент времени Т заявка обслуживается. Найти вероятность того, что: 1) обе заявки будут обслужены; 2) будет обслужена одна заявка.
• Задача 2. Задана электрическая схема системы, состоящей из пяти элементов. Событие А_i - отказ i-го элемента за некоторый промежуток времени. Вероятности безотказной работы элементов заданы: P(A_i)=0,95; i=1,3,5; P(A_j)=0,95; j=2,4. Событие А состоит в безотказной работе всей системы за рассматриваемый промежуток времени. Требуется: 1) выразить событие А через A_i или А_i (i=1,2,3,4,5); 2) найти вероятность P(A) безотказной работы системы.
  
• Задача 3. Из партии, содержащей n изделий, среди которых k - высшего сорта, для контроля последовательно выбирают наугад m изделий. Найти вероятность того, что среди выбранных изделий окажется ровно l высшего сорта при условии, что выборка производится: 1) с возвращением (выбранное изделие после проверки возвращается обратно в партию); 2) без возвращения (выбранное изделие в партию не возвращается).
• Задача 5. На склад поступили детали, изготовляемые на трех станках. Изготовлено на станках деталей, %: на первом - a, на втором - b, на третьем - c. Вероятность выпуска бракованных деталей на i-м станке равна P_i (i=1,2,3). Определить вероятность того, что изделие, наудачу взятое со склада 1) оказалась бракованным; 2) оказалось небракованным. Найти вероятность того, что она изготовлена на j-м станке.
• Задача 6. Произведено n выстрелов с вероятностью попадания при каждом выстреле, равной p. Для случайной величины m (числа попаданий в цель) найти: 1) распределение вероятностей 2) функцию распределения и построить ее график 3) вероятность попадания случайной величины в интервал (α;β) 4) математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.
• Задача 7. Непрерывная случайная величина ξ имеет плотность вероятности f(x). Требуется : 1) найти ее функцию распределения F(x) ; 2) построить графики функции распределения F(x) и плотности вероятности f(x); 3) вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал (α;β); 4) найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины ξ .
• Задача 8. Дана плотность вероятности f(x) случайной величины ξ. Случайная величина η связана со случайной величиной ξ функциональной зависимостью η=aξ²+b. Найти: 1) математическое ожидание и дисперсию случайной величины η, используя плотность вероятности случайной величины ξ; 2) плотность вероятности случайной величины η и построить ее графики; 3) математическое ожидание и дисперсию случайной величины η, используя найденную плотность вероятности случайной величины η.
• Задача 9. Дана система двух случайных величин (ξ,η), закон распределения которой задан таблицей, где x₁=2; x₂=3; x₃=5; y₁=-1; y₂=0; y₃=1; y₄=2. Найти: 1) законы распределения случайных величин ξ и η; 2) математические ожидания и дисперсии случайных величин ξ и η; 3) коэффициент корреляции r_ξη; 4) условные распределения P_ξ(x_i|y₂); P_η(y_i|x₂); 5) условные математические ожидания M(ξ|y₂); M(η|x₂).
• Задача 10. Система непрерывных случайных величин (η,ξ), распределена равномерно в области D, ограниченной линиями x=a; y=b; y=β|x|^α . Найти: 1) совместную плотность распределения f(x,y), предварительно построив область D; 2) плотности вероятности случайных величин ξ и η; 3) математические ожидания и дисперсии случайных величин ξ и η; 4) коэффициент корреляции r_ξη; 5) условные плотности распределения f_ξ(x|y); f_η(y|x); 6) условные математические ожидания M(ξ|y); M(η|x), линии регрессии и построить их графики.
• Задача 11. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины ξ=aξ+bη+c, где (ξ,η) - система случайных величин из задачи 10.
• Задача 12. Случайный вектор (ξ,η) распределен по нормальному закону N(m;Σ). Выписать функцию плотности p_ξ,η(x,y) и найти: 1) маргинальные плотности p_ξ(x) и p_η(y); 2) условные плотности p_ξ(x|y) и p_η(y|x); 3) коэффициент корреляции ρ_ξ,η; 4) плотность случайной величины ζ=αξ+βη. Построить графики найденных функций и эллипсы рассеяния.

Вопросы к защите

1. Написать формулу Байеса и пояснить все входящие в неё величины. Вывести формулу Байеса.
2. Определение случайной величины. Определение функции распределения случайной величины.
3. Закон больших чисел (словами и кванторами). Центральная предельная теорема (словами и кванторами).
4. Вычислить несобственный интеграл Гаусса по всей числовой оси.
5. Написать формулу плотности n-мерного нормального распределения и пояснить все входящие в неё величины. Написать формулу плотности стандартного n-мерного нормального распределения.
6. В задаче 12 (п.2) привести выражения условных плотностей p_ξ(x|y) и p_η(y|x) к гауссовому виду и выписать выражения для условных математических ожиданий и условных дисперсий. Проверить одно из выражений для условных математических ожиданий, найдя его интегрированием. Построить линии регрессии. Сделать выводы.
7. Сформулировать и доказать пять свойств дисперсии.