SMO (Методические указания), страница 5

 7(\\\\\\\\\\\\\\)

 72 0  4n 7 a 5k 7 2

 72 0 p 40 0= 7  01 7/ 0  7s 0  7\\\ 0; 72

 72 0  5k=0 0  5k! 7 2

 79 0 70

 ш0

Итак уравнения состояний системы для установившегося режима

получены. Эти уравнения называются формулами Эрланга. Они дают

предельный закон распределения числа занятых каналов (k) в зависимости

от характеристик потока заявок ( 7l 0) и производительности системы

обслуживания ( 7m 0).

Имея вероятности различных состояний системы можно определить

характеристики СМО.

 2Характеристики установившегося режима

 ш1

 4n

1. m= 7 s 4  0kp 4k  0 - среднее число занятых каналов.

 5k=0

2. p 40 0  4  0- вероятность того, что СМО свободна от заявок.

3. p 4отк 0=p 4n 0 - вероятность отказа в обслуживании.

4. q=1-p 4отк 0 - пропускная способность системы.

 2Вопрос СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ ОЖИДАНИЯ

 2- характеристика СМО с ожиданием;

 2- диф.уравнения состояния системы;

 2- установившийся режим, формулы Эрланга;

 2- 0  2характеристики установившегося режима.

 2Характеристика СМО с ожиданием.

СМО называется системой с ожиданием если заявка заставшая все

каналы занятыми становится в очередь и ждет пока не освободится какой

нибудь канал.

- если время ожидания в очереди ничем не ограничено то СМО

называется 'чистой системой с ожиданием'.

- если время ожидания в очереди ограничено то СМО называется

'системой смешанного типа'.

СМО 'смешанного типа' это промежуточный случай между чистой

системой с отказами и чистой системой с ожиданием. Для практики

наибольший интерес представляет именно этот случай.

Ограничения на время ожидания могут быть разными:

- время ожидания может быть ограничено сверху каким-то

сроком.

- заявка становится в очередь если длинна очереди не

слишком велика или конечна.

- и др.

Кроме того существуют СМО с преимуществами, когда некоторые заявки

имеют приоритет перед другими и без преимуществ (генералы вне очереди)

Каждый тип системы с ожиданием имеет свои особенности и свою

математическую теорию.

Мы рассмотрим простейший случая смешанной системы без преимуществ

 ш1.0

 4 0  7 )

 4 0  4 7  0  7 2

 7l 0  4 0  4 0  4 7  0  72 0 Выходной

Входной очередь  4 0  4 0  4 7  0  72 0 поток

поток  4 0  4 7  0  78

 4 0  4 7  0  72

 4 0  4 7  0  72

 7n 0  4 7  0  70

Поток ухода из очереди

 ш0

Итак рассмотрим СМО. Исходными данными для анализа поведения

системы являются:

1. Количество обслуживающих приборов (каналов) -  3n 0;

2. Средняя плотность потока заявок - 5  7l 0;

3. Плотность потока интервалов заявок распределена

по показательному закону  3f(t)= 2  7l 3exp(- 7l 3t);

4. Время обслуживания одной заявки t 4об 0 подчинено

показательному закону  3g(t)= 0  7m 3exp(- 7m 3t); 0  7 m 0 = 1/М[t 4об 0];

5. Плотность потока ухода заявок из очереди распределена

по показательному закону  3h(t)= 2  7n 3exp(- 7n 3t); 0  7 n 0 = 1/М[t 4ож 0];

Пришедшая заявка, заставшая все каналы

занятыми становится в очередь и ожидает

обслуживания. Время ожидания ограничено сроком Т 4ож

Если до истечения этого срока заявка не будет

принята к обслуживанию то она покидает очередь.

 ш1

 4  0  4  0

 4__ 0 4__ __ 0 4__ __ 0 4___ 0 4__ 0  4__ 0

x 40  0 4__ 0 x 41  0 4__ 0  4__ 0 x 4к 0  4__ 0  4__ 0 x 4n 0  4___ 0 x 4n+1 0 4__ 0  4__ 0 x 4n+s 0

 4  0  4  0

 ш0

Как и в предыдущем случае напишем уравнения вероятностей состояний

системы. Но состояния системы будем нумеровать не по числу занятых

каналов, а по числу связанных с системой заявок.

Возможные состояния системы будут следующими:

x 40  0- свободны все каналы; (нет очереди)

x 41  0- занят один канал (неважно какой); (нет очереди)

.. ................

x 4k  0- занято k каналoв; (нет очереди)

.. ................

x 4n  0- занято n каналов (все каналы заняты 4  0нет очереди)

x 4n+1  0- занято n каналов (все каналы заняты 4  0одна заявка в очереди)

.... ................

x 4n+s  0- занято n каналов (все каналы заняты 4  0s заявок в очереди)

Первые 2 n 0 диф. уравнений ничем не отличаются от уравнений Эрланга с

отказами.

dp 40 0(t)/dt = -p 40 0(t) 7l 0 + p 41 0(t) 7m 0;

............................

dp 4k 0(t)/dt =  7l 0p 4k-1 0(t) - ( 7l 0+k 7m 0)p 4k 0(t) + (k+1) 7m 0p 4k+1 0(t);

............................ 7  0

dp 4n-1 0(t)/dt =  7l 0p 4k-2 0(t) - [ 7l 0+(n-1) 7m 0]p 4n-1 0(t) + n 7m 0p 4n 0(t);

dp 4n 0(t)/dt = ?

Отличие новых уравнений начнется при k=n и более (k>n). Рассмотрим

этот случай и составим диф. уравнение для p 4n 0(t);

Подготовим некоторые дополнительные данные:

 ш1

1. Вероятность того, что за  7d 0t заявка не уйдет из очереди.

p( 7d 0t)=exp(- 7nd 0t) = 5  01+(- 7nd 0t)/1! + (- 7nd 0t) 52 0/2! ...  7~ 0  7nd 0t;

p( 7d 0t) 7 ~ 01-  7nd 0t; если s=1;

p( 7d 0t) 7 ~ 01-s 7nd 0t; если s>1;

2. Вероятность того, что за  7d 0t заявка уйдет из очереди.

g( 7d 0t) 7 ~ 0  7nd 0t; если s=1;

g( 7d 0t) 7 ~ 0 s 7nd 0t; если s>1;

 ш0

Зафиксируем некоторый момент времени t найдем вероятность того,

что в момент времени t+ 7d 0t система окажется в состоянии x 4n 0;

p 4n 0(t+ 7d 0t)=?

Система в момент t+ 7d 0t окажется в состоянии x 4n 0 при следующих событиях

 ш1

 4  0

 4___ 7l 4___ 0 4___ 7l 4__ 0

x 4n-1_______ 0 x 4n 0  4______ 0 x 4n+1 0

 4  0n 7m 0 n 7m 4  0

 7n

 ш0

Событие А - в момент времени t система была в состоянии x 4n

и за 4  7d 0t не перешла в состояние x 4n-1 0 или x 4n+1

(не пришло ни одной 4  0заявки и ни один канал не