* Замощение
плоскости
расположение
на
ней
геометрических фигур без перекрытий и промежутков.
*
Аналогично
определяются
поверхностей, например, сферы.
замощения
других
* Замощение
реализует
систематический
способ
организации поверхности, который применяется в
декоративном искусстве, архитектуре и промышленном
дизайне.
* Типичное
представление о плоских замощениях дают
паркеты, мозаики и узоры. Они образуют бесконечный
рисунок из многоугольных плиток и фигур. Обычно он
состоит из периодически повторяющихся фрагментов
изображения. Примеры таких замощений показаны на
следующих рисунках.
• Замощение
плоскости
удобно
рассматривать как бесконечный плоский
граф,
гранями
которого
являются
топологические многоугольники плиток.
• Его
вершины
и
ребра
являются,
соответственно, углами и сторонами
граней. Целью анализа замощений
является классификация их типов по
топологической
структуре
и
геометрической форме плиток.
1 – Паркет, 2 – Мозаика Пенроуза,
3 –Узор Шиппо
По топологической структуре замощения разделяются на
правильные, полуправильные и неправильные в зависимости от
соотношения степеней вершин и угольности граней.
По геометрии плиток различают прямоугольные, криволинейные
и многоугольные замощения. В частности, представленные выше
прямоугольный паркет, многоугольная мозаика и криволинейный
узор по своей топологической структуре образуют правильное,
неправильное и полуправильное замощения плоскости.
Различают бесконечные замощения всей плоскости и замощения
ее ограниченных участков (разбиения), а также периодические и
концентрические замощения. Рассмотренные выше примеры
образуют бесконечные периодические замощения плоскости.
Каждое из них формируется из бесконечно повторяющихся
фрагментов, которые выделены пунктиром.
В
(топологически)
правильном
замощении
все
многоугольные грани имеют одинаковое число n сторон и
равны степени m всех вершин.
Значения n и m являются формальными параметрами
правильных замощений, которое однозначно определяют их
топологию.
Для классификации правильных замощений нужно
перечислить все топологически допустимые пары значений
их формальных параметров.
Конструктивное решение этой топологической проблемы
дает уравнение правильного замощения.
Оно может быть получено по соотношениям для углов
правильных многоугольных граней (или по формуле Эйлера
для плоских многоугольных графов )
Каждый внутренний угол А правильного n-угольника равен:
A= [180(n-2)]/2 .
Очевидно также, что суммарный угол всех m правильных n-угольных
граней, примыкающих к любой вершине замощения равен 360 градусов:
m∙A=360.
После подстановки выражения внутреннего угла А получается
следующее каноническое уравнение правильного замощения:
1-m/2+m/n=0.
Для
удобства
анализа
мультипликативной форме:
его
можно
(n-2)(m-2)=4.
записать
(1)
в
следующей
Выражение (1) - это диофантово уравнение, целочисленные
решения n, m≥3 которого устанавливают формальные
параметры правильного замощения.
Вывод уравнения правильного замощения можно делатьпо
формуле Эйлера.
Формула Эйлера связывает число вершин V, ребер E и
граней F плоского графа (правильного замощения)
следующим соотношением:
V-E+F=2.
Пусть замощение образуют n-угольные грани, а степень
каждой вершины равна m. Считая ребра по граням и
вершинам n-угольников замощения, можно установить
следующие соотношения между ними, где учтено, что
каждое ребро разделяет 2 грани и соединяет 2 вершины:
2E=mV=nF.
Эти дополнительные соотношения позволяют исключить
ребра и грани из формулы Эйлера, чтобы записать ее
относительно
только
вершин
в
следующем
виде,
характерном для многоугольных графов:
V-mV/2+mV/n=2.
В сосредоточенной форме относительно числа вершин ее
можно переписать следующим образом.
1-m/2+m/n=2/V.
Поскольку граф замощения является бесконечным, V=∞ и
тогда формула Эйлера принимает следующий вид уравнения
правильного замощения:
1-m/2+m/n=0.
Очевидно оба способа вывода уравнения правильного
замощения (через углы и из формулы Эйлера) дают
одинаковый результат.
Существует всего 3 типа топологически правильных
замощений плоскости: 6-угольниками, 4-угольниками и 3угольниками, которые имеют следующий вид:
На рисунках пунктиром показаны двойственные замощения,
которые также являются топологически правильными. При
этом
3-угольное
и
6-угольное
замощения
являются
взаимнодвойственными, а 4-угольное – самодвойственным.
Обычно
грани
правильных
замощений
изображаются
геометрически правильными многоугольниками, у которых
равны все стороны и углы. Кроме того, топологически
правильные замощения также могут быть построены из
разносторонних и разноугольных многоугольников, если
прикладывать одинаковыми сторонами их перевернутые копии.
Построение таких 3- и 4-угольных замощений удобно
производить в косоугольной координатной сетке, ячейками
которой являются параллелограммы. Их диагонали и стороны
сразу образуют 3-угольное замощение. При это каждый 3угольник в нем и все смежные с ним 3-угольники также
образуют 3-угольник, подобный центральному с площадью в 4
раза больше, чем у него.
Построение 4-угольного замощения основано на теореме
Вариньона, по которой середины сторон любого 4-угольника
являются вершинами параллелограмма.
Искомое 4-угольное замощение получается, если в каждой
ячейке параллелограмма косоугольной сетки выбрать
одинаково расположенную точку и соединить ее с его
вершинами.
При этом площадь любого 4-угольника замощения
оказывается равна площади параллелограмма ячейки сетки
и в 2 раза больше параллелограмма Вариньона внутри него.
Геометрию рассмотренных 3- и 4-угольных построений
поясняет следующий рисунок.
Аналогичные
топологически
правильные
замощения
образуют повторы любых конгруэнтных 3- и 4-угольников
после соответствующих плоских деформаций своих
геометрически правильных эталонов.
Для 6-угольников возможны только 3 типа замощений с
различными соотношениями углов и сторон, не все из
которых равны.
При этом грани каждого из них можно преобразовать в 5угольники, разогнув 1 из углов.
Наоборот, добавление вершины на 1 стороне 5-угольников
превращает их в 6-угольники.
Следующие рисунки иллюстрируют различные типы
конгруэнтных замощений 6- и 5-угольниками, для которых
указаны соотношения углов и сторон.
6.1
a=d
A+B+C=360°
D+E=180°
5.1
6.2
a=d, b=f
C+E=180° 5.2
A+B+D=360°
a=d,
6.3
a=b,
d=c+e.
c=d,
5.3
e=f
A=C=E=120°
a=b,
Вообще известны 14 типов замощений конгруэнтными 5угольниками, но только 3 из них являются топологически
правильными
6-угольниками.
Замощения
многоугольниками с числом сторон n>6 не существуют.
В полуправильных замощениях одно из условий правильности,
по граням или вершинам, нарушено, а другое остается
справедливо.
Это
позволяет
получить
замощение,
полуправильное по граням или по вершинам. В частности, у
замощения, полуправильного по вершинам равны степени всех
вершин, но не все грани одинаковы. При этом каждую
вершину окружает одинаковый набор граней, которые
чередуются
в
одинаковом
порядке.
Каждое
такое
полуправильное
замощение
характеризуют
числа
mi
равноугольных граней с ni сторонами, которые окружают
каждую вершину. Значения этих формальных параметров
связывает
уравнение
полуправильных
замощений.
Аналогично уравнению правильных замощений, оно выводится
по соотношениям для углов правильных многоугольных граней
(или по формуле Эйлера для плоских многоугольных графов).
Внутренний угол Ai правильного ni-угольника грани можно
вычислить по следующей формуле
Ai=[180°(ni- 2)] /ni .
Пусть, в полуправильном замощении используется k типов
граней. Тогда суммарный угол 360° всех граней при каждой
вершине слагается из их внутренних углов Ai с учетом
кратности mi граней:
A1 m1+…+Ai mi+…+Ak mk=360°.
После подстановки выражений для внутренних углов Ai
получается следующее соотношение:
(m1+…+mi+…+mk) /2-1=m1/n1+…+mi/ni+…+mk/nk
Суммарная кратность граней в левой части постоянна
для любой вершины и равна ее степени m. С учетом
этого получается следующее уравнение замощения,
полуправильного по вершинам:
m/2-1=m1/n1+…+mi/ni+…+mk/nk.
В любом случае замощение составляют многоугольные
грани, у которых ni≥3. Тогда правая часть уравнения
замощения не превосходит значение (m/3), которое
ограничивает сверху его левую часть:
m/2-1≤m/3.
Из этого неравенства следует, что в замощении,
полуправильном по вершинам, любую из них окружает
не менее, чем 3 и не более, чем 6 граней, а их степени
ограничены следующим диапазоном целочисленных
значений 3≤m≤6.
Для
примера
на
следующем
рисунке
показано
полуправильное замощение, где степени всех вершин
равны 4, а к каждой из них примыкают 2 правильных 8угольника и квадрат, которые чередуются в одинаковом
порядке по числовому коду(8.8.4) Канди-Роллета:
Вывод уравнения полуправильного замощения по
формуле Эйлера
Как и раньше формула Эйлера связывает число вершин V,
ребер E и граней F плоского графа (полуправильного
замощения) следующим образом.
V-E+F=2.
В полуправильном по вершинам замощении степени всех
вершин равны постоянному значению m. Поэтому к
каждой из V вершин примыкает m граней и ребер.
Поскольку каждое ребро разделяет 2 грани, то общее
число ребер равно:
E=m/2V.
Поскольку каждая ni-угольная грань примыкает к ni
вершинам, а каждую вершину окружают mi таких граней,
то общее число ni-угольных граней будет равно:
fi=mi /ni V.
Тогда общее число граней всех типов равно сумме этих
значений
F=f1+…+fi+…+fk=V(m1/n1+…+mi/ni+…+mk/nk).
После подстановки в формулу Эйлера выражений для E и
F, получится следующее соотношение для вершин:
1-m/2+(m1/n1+…+mi/ni+…+mk/nk)=2/V.
Поскольку граф замощения является бесконечным, V=∞.
Подстановка
этого
значения
дает
уравнение
полуправильного замощения как через углы.
