Лекция 2
Теория движения колесных машин
Общие подходы к проблеме описания
плоского качения эластичного колеса
Расчетная схема плоского качения по твердой
плоской опорной поверхности.
Реальное колесо
(шина 1600х600-685)
Пространственная расчетная схема
эластичного колеса
Плоскость качения колеса
z
y
О
x
Ок
Опорная поверхность
В зависимости от соотношения деформаций
колеса и опорной поверхности различают три
случая:
движение
деформирующегося
колеса
по
твердой опорной поверхности (деформация
опорной поверхности существенно меньше
радиальной деформации колеса);
y
x
движение жесткого колеса по деформируемой
поверхности (деформация колеса существенно
меньше деформации опорной поверхности);
движение
деформируемого
колеса
по
деформируемой
поверхности
(деформации
колеса и опорной поверхности соизмеримы).
Пятно контакта
(шина «Пирелли» 185/70HR-15)
Силовые факторы, действующие на
катящееся эластичное колесо
Колесо можно перекатывать двумя способами:
•приложив к центру обода колеса горизонтальную «толкающую» силу ( «ведомое колесо»);
•приложив к ободу колеса пару сил, действующую в плоскости качения ( «ведущее колесо», момент пары
называется «крутящим моментом»).
Действие на обод колеса произвольно направленной силы, прижимающей шину к опорной поверхности,
будет сопровождаться возникновением реакции со стороны опорной поверхности, некоторым образом
распределенной по пятну контакта.
Эти распределенные силы можно привести к центру контакта и заменить системой трех реактивных сил
(компонентами главного вектора реактивных сил):
•нормальная или вертикальная реакция (реакция опорной поверхности, приложенная к центру контакта и
направленная вертикально вверх);
•тангенциальная, «окружная» или «продольная» реакция (реакция опорной поверхности, приложенная к
центру контакта, направленная горизонтально и лежащая в плоскости качения);
•боковая реакция (реакция опорной поверхности, приложенная к центру контакта и направленная по
нормали к плоскости качения).
Компоненты вектора главного момента реактивных сил в пятне контакта ориентируются по компонентам
их главного вектора и получили следующие наименования:
•момент сопротивления качению колеса (реактивный момент, действующий в плоскости качения колеса и
ориентированный по направлению действия боковой силы);
•стабилизирующий момент (реактивный момент, действующий в горизонтальной плоскости и
ориентированный по направлению действия вертикальной реакции);
•поперечный стабилизирующий момент (реактивный момент, действующий в поперечной вертикальной
плоскости и ориентированный по направлению действия тангенциальной реакции).
Плоское качение недеформирующегося
колеса по твердой опорной поверхности
Движение колеса, которое называют «плоским качением»:
•поверхность, по которой катится колесо («опорная поверхность») – недеформируемая
горизонтальная плоскость;
•плоскость вращения обода перпендикулярна опорной поверхности;
•центр обода двигается равномерно и прямолинейно.
Из-за симметричности системы, можно получить достаточно полное представление о
качении колеса, рассматривая только процессы, происходящие в плоскости его качения.
M кр
y
Плоскость качения колеса
z
к
Gк
rж
О
Px движ
x
Pкорп
Крутящий
момент
может
трактоваться
как
пара
горизонтальных сил, одна из которых приложена к центру
обода, а другая – к центру контакта.
Ок
Px
Rx
Px
Rz
Rz
Rx
Px
Попытке перекатывать колесо будет со стороны автомобиля
противодействовать
горизонтальная
сила
Pкорп
,
приложенная к центру обода и препятствующая его
движению вдоль опорной поверхности.
Для преодоления действия силы Pкорп к колесу со стороны
автомобиля подводится при помощи трансмиссии крутящий
момент Mкр.
Опорная поверхность
M кр
rж
Rx
«Окружная сила» (контакт уравновешен)
Px движ Px Pкорп
«Движущая сила»
(вызывает передвижение колеса,
преодолевая внешние
сопротивления)
Плоское качение деформирующегося колеса
по твердой опорной поверхности
Шина эластичного колеса деформируется под действием вертикальной нагрузки с образованием пятна
контакта.
Расстояние от центра колеса до опорной поверхности уменьшится до величины rст
Вертикальная реакция некоторым образом распределяется по области контакта шины с опорной
поверхностью, образуя т.н. «эпюру элементарных вертикальных реакций».
Схема деформации эластичного неподвижного
колеса, установленного на плоскую
недеформируемую опорную поверхность
Плоскость качения колеса
Схема деформации катящегося ведущего
эластичного колеса по плоской
недеформируемой опорной поверхности
y
z
M кр
Плоскость качения колеса
y
z
Gк
rж
О
x
к
Gк
rж
О
rст
Px движ
x
Pкорп
rд
Ок
Ок
Px
Rz
a
Rz
Опорная поверхность
Rz
Rz
Rx
Px
Опорная поверхность
Образование
«момента сопротивления качению»
Эпюра вертикального давления в контакте становится несимметричной, причем зона
наибольшего давления смещается из центра контакта вперед по ходу движения колеса.
Из-за изменения эпюры нормального давления в контакте несколько изменяется расстояние
между центром колеса и опорной поверхностью – этот параметр получил наименование
«динамический радиус эластичного колеса» и обозначается rд.
Из-за асимметрии эпюры равнодействующая элементарных вертикальных сил смещается
вперед по ходу колеса (это смещение традиционно обозначается «a»). Если теперь приводить
силы к центру контакта, то систему усилий следует дополнить моментом
M f aRz
Момент
Mf принято
называть
«моментом
сопротивления
качению
эластичного колеса»
Для того, чтобы обеспечить перекатывание колеса, необходимо подвести к ободу крутящий
момент Mкр.
ВНИМАНИЕ! Момент сопротивления качению введен формально - для того, чтобы сохранить
для всех случаев общность расчетной схемы (приведение всех сил к центру контакта).
На самом деле это означает, что часть энергии, подведенной к колесу извне, рассеивается в
материале шины и до контакта «не доходит».
Таким образом, движение колеса обеспечивается моментом
Mкр - Mf = Mкр – aRz
Связь между крутящим моментом и
движущей силой
Случай 1. - простейшая модель колеса, обладающего только радиальной упругостью.
Колесо имеет жесткий обод радиусом rж, с которым упруго связана ось вращения.
Ось может перемещаться только в вертикальном направлении.
Схема качения радиально-упругого колеса по
твердой опорной поверхности
Gк
Работа силовых факторов, действующих на
колесо за его один оборот:
A Px движ * (2rж ) M кр * (2 )
z
Связь движущей силы и крутящего момента
к
Px движ
О
rж
x
Pкорп
Px движ
rд
Px
Ок
Rx
M кр
rж
Жесткий
обод
радиально-упругого
колеса
катится без скольжения, поэтому его радиус
можно также называть «радиус окружности
колеса, катящегося без скольжения» rк бск.
Терминология:
•«упругость» - в тех случаях, когда скольжение в
контакте отсутствует;
•«эластичность» - в тех случаях, когда в контакте
есть скольжение.
Связь между
крутящим моментом и движущей силой
Случай 2. - простейшая модель колеса, обладающего только тангенциальной эластичностью
(т.н. «щеточная модель шины»).
Схема качения ведущего тангенциально-упругого
колеса по твердой опорной поверхности
Направление движения
rж
M кр
О
Pкорп
Px движ
А) Внешний крутящий момент отсутствует.
Колесо катится, опираясь на прямые, неизогнутые
стержни – как жесткое колесо с радиусом rж.
Центр колеса за один оборот перемещается на
расстояние 2π*rж
Б)
Появление
внешнего
крутящего
момента
сопровождается
возникновением
горизонтальной
реакции в зоне контакта колеса с дорогой, которая
воспринимается одним стержнем и вызывает его изгиб.
Нижний конец стержня останавливается, так как
скольжения нет, а верхний конец поворачивается вместе
с ободом колеса – колесо несколько оседает назад.
В результате при повороте обода на один оборот центр
колеса передвинется на расстояние S, меньшее, чем
длина экватора на величину суммарной деформации
стержней.
mCизг Rx
S m(l l ) 2 rж mCизг Rx 2 rж
2
Px
Ок
l
«Радиус качения колеса без скольжения»
l
Rx
rк ( бск )
mCизг
rж
Rx rж K x упр Rx
2
Связь между крутящим моментом и
движущей силой у реального колеса
Схема деформации шины в области контакта с опорной поверхностью
Нейтральный слой (N-N)
Нейтральный слой (N-N)
Герметизирующий слой
Каркас (резино-кордная
оболочка шины)
Брекер
M изг
M изг
Протектор
А
Б
А
Б
Расстояние между точками А и Б у деформированного колеса меньше, чем у того же
колеса до деформации - при одном и том же угле поворота обода, деформированное
колесо переместится на несколько меньшее расстояние, чем недеформированное.
Если представить себе, что оба колеса катятся без скольжения по условной плоскости,
касательной к нейтральному слою каркаса, то, при равных углах поворота обода, оба
колеса переместятся на одинаковое расстояние.
Вывод: аналогом радиуса жесткого колеса простейшей модели можно считать радиус
нейтрального слоя каркаса шины, определяемый по длине его экватора в
недеформированном состоянии
rNN=(0.5SNN)/π.
Качение реального ведущего колеса
При действии на обод колеса внешнего крутящего момента в контакте возникает
горизонтальная реакция опорной поверхности.
Наличие деформируемого протектора приведет к дополнительному изменению радиуса
качения колеса.
Механизм изменения радиуса качения можно описать, применяя «щеточную модель»
упругого слоя к контактной области протектора шины.
Вывод: существует следующая зависимость
rк rNN K x Rx
Обозначим радиус нейтрального слоя rк0x (т.е. «радиус качения колеса при нулевой силе по
оси X).
При Rx=0 колесо катится в режиме, свободном от действия тангенциальных сил.
Этот режим кратко называют «свободным качением колеса», а колесо, двигающееся в этом
режиме – «свободным колесом».
rк rк 0 x K x Rx
ВНИМАНИЕ! Формирование радиуса качения в щеточной модели предполагало точечный
контакт шины с дорогой.
Только при этом условии можно говорить о полном отсутствии скольжения в контакте – так
называемом «чистом качении колеса».
Только в этом случае формирование зависимости радиуса качения колеса от продольной
силы обусловлено исключительно упругими свойствами внешних слоев шины.
Формирование зависимости радиуса
качения от тангенциальной нагрузки
Реальная шина имеет контактный отпечаток определенных конечных размеров. В в зоне
контакта всегда можно выделить область, в которой точки шины неподвижны
относительно опорной поверхности («зону сцепления»), и окружающую ее область, в
которой точки шины перемещаются относительно опорной поверхности («зону
скольжения»).
На границе зон сцепления и скольжения точки находятся в предельном состоянии и
любое увеличение продольного усилия приводит их в движение относительно опорной
поверхности – пусть даже и с очень маленькой скоростью.
Следствие: уменьшение радиуса качения реального колеса даже при очень малых
продольных нагрузок обусловлено двумя разнородными процессами, развивающимися
одновременно
•упругостью шины в зоне сцепления;
•расширением зоны скольжения (вблизи границы зон сцепления и скольжения, когда
скорость скольжения очень мала этот эффект называют по разному - элементарное
скольжение, упругое скольжение, «крип»).
rк f Rx
При больших продольных нагрузках зона скольжения охватывает весь контакт.
Если сила трения в контакте оказывается равной внешней нагрузке, то колесо перестает
поступательно перемещаться и только вращается.
Формально это означает, что радиус качения становится равным нулю
Характер зависимости радиуса качения реального
колеса от тангенциальной нагрузки
Линеаризация
rк
в окрестности свободного режима
arc tg K x0 упр
arc tg K x0
(точки R =0)
rк0x
x
arc tg K x
x
Rx
rк 0 x f ( Rx ) R 0
x
df ( Rx )
K x
dRx R 0
x
Rx
«Формула Е.А. Чудакова»
Если при малых нагрузках рассматривать только упругие процессы в зоне контакта, то
зависимость радиуса качения от нагрузки будет линейной функцией с угловым
коэффициентом, равным (-Kx упр).
ВНИМАНИЕ! Касательная к графику реальной зависимости f(Rx) в точке Rx=0 будет иметь
больший наклон из-за существования процесса «элементарного скольжения».
Дополнительные замечания
1. Коэффициент Kx принято называть «коэффициентом тангенциальной эластичности шины».
Этим подчеркивается, что в зоне контакта существуют и упругие деформации и скольжение.
ВНИМАНИЕ!
При определении этого понятия встречаются два подхода:
А) под «коэффициентом тангенциальной эластичности» понимают коэффициент при
продольной силе в линеаризованной зависимости f(Rx);
Б) под «коэффициентом тангенциальной эластичности» угловой коэффициент секущей,
построенной для произвольной точки зависимости f(Rx).
2. Чтобы избежать возможных недоразумений обычно коэффициент при продольной силе в
линеаризованной зависимости f(Rx) обозначать Kx0.
В этом случае при малых нагрузках действительны следующие соотношения (формула
Чудакова):
rк rк 0 x K x 0 Rx
df ( Rx )
K
x0
dRx R 0
x
Как показывают экспериментальные исследования Kx0 упр0,5 Kx0. Этим соотношением можно
пользоваться для определения радиуса качения без скольжения в тех случаях, когда
величина Kx0 упр неизвестна:
rк ( бск ) rк 0 x 0.5 K x 0 Rx
Классификация режимов движения плоского
эластичного колеса
Ведомый режим качения (а) - колесо приводится в движение продольной «толкающей» силой,
приложенной к оси колеса и совпадающей по направлению со скоростью его продольного
перемещения. Крутящий момент к колесу не подводится.
Ведущий режим качения колеса (б) - колесо приводится в движение внешним крутящим моментом, вектор
которого совпадает по направлению с вектором угловой скорости колеса, и нагружено внешней
горизонтальной силой, направленной противоположно скорости продольного перемещения колеса
(противодействующей его движению).
Свободный режим качения колеса (в) - колесо приводится в движение внешним крутящим моментом, но
внешняя горизонтальная сила отсутствует.
Нейтральный режим качения колеса (г) - колесо приводится в движение двумя действующими
одновременно внешними силовыми факторами (крутящим моментом и толкающей силой).
Тормозной режим качения колеса (.д) - колесо приводится в движение внешней толкающей силой и
нагружено внешним крутящим моментом, вектор которого противоположен по направлению вектору
угловой скорости и который препятствует вращению колеса.
Основные режимы качения плоского
эластичного колеса
