Домашнее задание

Министерство науки и высшего образования Российской ФедерацииФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего образования«Московский государственный технический университетимени Н.Э. Баумана(национальный исследовательский университет)»(МГТУ им. Н.Э. Баумана)Домашнее заданиепо курсу«Численные методы в оптике»Группа РЛ2-71Студент Шустова Анастасия АлексеевнаПреподаватель Ширанков Александр ФедоровичНомер по списку №10 Вариант №14Исходные данные1 задача№ Вар14()(4)03,72Ns3Москва, 2019 г.2 задачаMc4Ax1,9Задача №1Условия задачи:Численно вычислить производную ′ полинома (4) 4ей степени вточке 0 = 3,72 для ряда значения шага ℎ = (не менее 10 значений).

Таквыбрать диапазон ℎ, чтобы на кривой ′ (ℎ) зависимости погрешностирасчета производной ′ от величины ℎ получить четко выраженныеминимум. Построить кривую зависимости | ′ |(ℎ) = ′ (0 )теор − ′ (ℎ)числ .Значение ℎ = 0,1ℎ.Степень полинома указана в таблице исходных данных. Егокоэффициенты задать самостоятельно, указав их значения в исходныхданных начиная с коэффициента при старшей степени полинома. При этомзначение ′ (0 )теор не должна превышать 10,0.Исходные данные:() = (4)0 = 3,72Коэффициенты полинома:С4 = 0,1С3 = 0,1 С2 = 0,1 С1 = 0,1С0 = 0,5Функция, ее производная и ее значения в точке (теоретическое значение).() = 0.1 4 + 0.1 3 + 0.1 2 + 0.1 + 0.5()= 0.4 3 + 0.3 2 + 0.2 + 0.1 ′ теор (0 ) = 25.58705920000000589Результаты численного расчета:dy’= (ℎ) с разным шагом h ( не менее 10 )№h=dexy’(x0)110^-1521.31628207280300558210^-1425.93480985524365323310^-1325.57953848736360314410^-1225.58842027156060439510^-1125.58717682177302422610^-1025.58707024036266020710^-925.58706313493529905810^-825.58705887167888093910^-725.5870591914231120310 10^-625.5870592038576099011 10^-525.5870592004825319112 10^-425.5870592159368364113 10^-325.5870607879948757114 10^-225.5872179999995310615 10^-125.602939200000051302dy’4.3*10^03.5*10^-17.5*10^-31.4*10^-31.2*10^-41.1*10^-53.9*10^-63.3*10^-78.6*10^-93.9*10^-94.8*10^-101.6*10^-81.6*10^-61.6*10^-41.6*10^-21610^027.175059200000003301.6*10^0График |′ |()Минимальная погрешность: ′ (ℎ = 10^ − 5) = 4.8 ∗ 10^ − 103Задача №2Условия задачи:Вычислить определенный интеграл от (x) = ( ∙ ) ∙ ( ∙ ) на отрезке [ = −0,2; = 0,8].С помощью метода подстановки аналитически взять неопределенныйинтеграл от (x), привести вывод первообразной в отчете.

Проверить видпервообразной, найдя указанный интеграл в справочной литературе илиэлектронных ресурсах.Численно рассчитать значение интеграла, вычислить его значение дляпределов , . Применить три квадратуры; две усложненные квадратурыНьютона - Котеса по методу трапеций и Симпсона, и квадратуру Гаусса безразбиения отрезка интегрирования , .Усложненные квадратуры трапеций и Симпсона применить с разбиениемотрезка интегрирования на частей.

Начальное значение = 2 и затемудваивать его в цикле.Число циклов – 6. На 3-м и 6-м шаге цикла дополнительно использоватьправило Рунге.Квадратуру Гаусса применить для 6 и 10 узлов.Даю значения узлов Xg и весов Wg канонической квадратуры Гауссадля 6 и 10 узлов на каноническом отрезке [-1.0; +1.0], взятые из справочнойлитературы по курсу.Мантиссу Xg и Wg вводить полностью, иначе погрешность вычисленияквадратуры растет.

Это не касается длины мантиссы результата при выводечисел на печать!Для 6 узлов±Xg: 0.932469514203152d0, 0.661209386466265d0, 0.238619186083197d0.Wg:0.171324492379170d0, 0.360761573048139d0, 0.467913934572691d0.Для 10 узлов±Xg: 0.973906528517172d0, 0.865063366688985d0, 0.679409568299024d0,0.433395394129247d0, 0.148874338981631d0.Wg: 0.066671344308688d0, 0.149451349150581d0, 0.219086362515982d0,0.269266719309996d0, 0.295524224714753d0.Теория.Квадратура Гаусса−1−+ − = ∫ () ≈ =∙ ∑ ̅̅̅( ) , где =+222=0Усложненная квадратура трапеций−1 = ∫ () ≈ = ∫ (̅ ) = ∑ 0,5( + +1 ) ∙ ℎ ==0= ℎ(0,5 ∙ 0 + 1 + 2 +. . . +−1 + 0,5 ∙ )4Усложненная квадратура Симпсона−1ℎ = ∫ () ≈ = ∫ (̅ ) = ∑ (2 + 42+1 + 2+2 ) =3=0ℎ= (0 + 41 + 22 + 43 +.

. . +22−2 + 42−1 + 2 )3Вычисление первообразной и интеграла. = −0,2; = 0,8; = 3; = 4; = 1,9.3 (1.94 (1.9(x) = ∙ ) ∙ ∙ )552cos ( 1.9x) + -0.075187969924812030075cos ( 1.9x) sin( 1.9x) f ( x) dx → -0.03007518796992481203Результаты расчетов. = 0.02791817719830157Квадратура ГауссаКвадр. суммаПогрешность R = 60.027888331192239832.9846006061731014 ∗ 10^ − 5 = 10 0.027918177076945441.2135613000618939 ∗ 10^ − 10Таблица результатов расчета интеграла с разным шагом ℎ = ( − )/ дляквадратур трапеции и Симпсона: = = 0.02998635518206968 = 0.03365694539248439 = −2.06817798376812 ∗ 10^ − 3 = −5.73876819418282 ∗ 10^ − 3 = = 0.02546752442653564 = 0.02396124750802429 = 2.45065277176593 ∗ 10^ − 3 = 3.9569296902772777 ∗ 10^ − 3 = = 0.02734994378620515 = 5.682334120964138 ∗ 10^ − 4 = 0.02797741690609499 = 7.46007533454114 ∗ 10^ − 5Результаты по правилу Рунге = 0.02797741690609499 = 0.02824516153263304 = −5.923970779342368 ∗ 10^ − 5 = −3.269843343314711 ∗ 10^ − 4 = = 0.02777833579015042 =51.39841408151143 ∗ 10^ − 4 = 0.02792113312479885 = −2.955926497280603 ∗ 10^ − 6 = = 0.02788334884417538 = 3.482835412618734 ∗ 10^ − 5 = 0.02791835319551702 = −1.7599721545413782 ∗ 10^ − 7 = = 0.02790947826338357 = 0.02791818806978631 = 8.698934917991675 ∗ 10^ − 6 = −1.0871484747154714 ∗ 10^ − 8Результаты по правилу Рунге = 0.02791818806978631 = 0.02791817706140427 = −1.087148474021582 ∗ 10^ − 8 = 1.3689729905230763 ∗ 10^ − 106.