Типовой расчет (математический анализ), 17 вариант

Вариант 17 Задача 1.1. Вычислить предел последовательности. б 7 2 -1+-+ -„- -и +бп+7 сО, 22 пз 1 1ип = — = 1!пз "2п'+5п+3 ~22! 5 3 2 2+ + 2 П П' Задача 1.2. Вычислить предел последовательности. 3 7 1ип, =1 — !=1ип " " = 82 "+9 Ц --! — +— и' и" Задача 1.3. Вычислить предел последовательности. и, 22 22 » зз з 25 88.(",) =~2.)=88- (' — ".,) " Задача 1.4.

Вычислить предел последовательности ° 8Д '+8 -2- 44 ' ° з ~4)=~-~= »-4 ) Й ' 8»-2- ЯР+3 ° 4))»47+8 -2~ Й з» -4) — !ип ! Й з +8 -2+ Й '42 +4) ( 4п'+Зп-2 — 4п'-3п-4 5п — б = 1ип — 1ип "Ьй '48 -2 Й з +43 * 8Д»,' ° 8 -2 .24 '+з =!ип »-»Ф Задача 1.5. Вычислить предел функции, х'+х-12 10~ . (х-3)(х+4), (х+4) 7 1ип, = -~ = !!пз =!ип з х' — х — б )О) .. 2(х — 3)(х+2) з(х+2) 5 Задача 1.6.

Вычислить предел функции, 10 (х — 2)( /2х+2) (х — 2)( /2х+2) (х — 2)( /2х+2) 1ип — = — = 1ип = 1ип = 1ип "'"2 з/2х х— 2 )О ' '2 (з/2х х— 2)(»/2хх+2) ' '2 2х — 4 ' 2 2(х — 2) 1. (г— =-1!пз! ~2х+2)=2 2»-»28 Задача 1.7. Вычислить предел функции.

Используем эквивалентности бесконечно малых величин при х -+ 0: агсяпх-х, а' -1 -х!па, е' -1 -х. Тогда получим." е "' — 1 !О! . агсяпх . х 1 = 1нп — =— 3" — 1 !О~ ° «х1пЗ ° 'х1пЗ 1пЗ Задача 1.8. Вычислить предел функции. Используем эквивалентности бесконечно малых величин при х -+ О: а" — 1 -х!па, япх -х. Тогда получим: 7" 2 — 1 . (х-2)1п7, (х — 2)!п7 !п7 11пг = 1нп = 1ип ~ з!п(2х — 4) ™ 2х-4 ° '- 2(х — 2) 2 Задача 1.9.

Вычислить предел функции. , ее(«) ан) / ъ -«в[2«) — - ««е(2«Ч -Ьщ 1ип(1-исса(2х'!) " =!!"~=~(1-агсгк(2х')) ' '~<'"'>~ =е " 6 2«« «2 =е' ' =-е Использовали эквивалентности бесконечно малых величин прн х -+ 0: агсглх -х, гях -х. Задача 1.1О. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва, определить их характер и построить график функции. 1+х х<0 у= е" О <х<1 1-х х>1 Решение Построим график заданной функции: м! Функция определена на всдм множестве чисел и неэлементарная. Каждая из составляющих функций непрерывна на своОм промежутке; заданная функция может иметь точки разрыва только в точках смены аналитических выражений, то есть в точках х= О и х =1.

Исследуем поведение функции в этих точках: найдем значение функции в этих точках и пределы справа и слева, йп у = 11зп (1+ х) =1, 111п у = 1ип е* =1. Так как 1 =1, Следовательно «-«0-О «-«О-О х-«0«0 х-«О«О функция в этой точке непрерывна 1ип у = !ии е' = е, !!из у = 1ип (1-х) = О. Так как О ~ е, то в этой точке х-«1-0 л-«1-0 х-«ЬО «-«1«О функция имеет разрыв 1-го рода — скачок Задача 1.11.

Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва, определить их характер. х+3 у= х' -9 Решение Возможные точки разрывах=-3 и х =3. В точке х=-3: х+3 . 1 1 . . х+3 . 1 1 1ип у= 1ип — = 1ип — = —, !ип у= 1ип — = 1ип— « х-«-3-0 «-х-3-0 х -9 х-х-3-0 Х-3 б х-. -3+0 «-«-3*ОХ -9 «-«-3«0 х-3 1 1 Так как — — = - —, то в т.

х = -3 функция не имеет разрыва. б 6 Вточке х=З: х+3 . 1 .. х+3 . 1 1ип у= 1ип —,= 1!пз — = с, 1ип у= 1ип —,= 1ип — =+о з-О 3-охз -9, з-ох-3 ' «-З.о . з Охз 9 з«Ох 3 Следовательно, в т. х = 3 функция имеет разрыв второго рода. Задача 2.1. Вычислить производную у'(х) у(х) = июле(Зхз — !)+ з!п1 Решение Р 9 ' у(х) =(лззОтя(Зх'-1)+яи1) =, (Зх'-1) = !+(Зх'-!)' !+(Зхз -1)' Задача 2.2. Вычислить производную у'(х) у(х) +3 ЗЗх 1 2 зз'х+6 Решение 2 2 — -' 3 у'(х)=~ +343к — 1~ = — (х+6) 3(х+6) + — (Зх-1) 3(Зх-1) = (, /х+6 ~ 2 2 =(х+6) 3+-(Зх — 1) 3 = 9 ' 1 + 9 2 (х+6) /х+б 23~3х-1 Задача 2.3. Вычислить производную у'(х) Решение Прологарифмируем данную функцию: )п(У1Х)) = 1п 2х' 1п х Найдем производную от правой и левой части по х, считая у сложной функцией, зависящей от х.

у 1п х 1п 2х 1п х+ 1п 2х 1п 2х' — =(1п2х) *)пх+1п2Х*(1пх) — — + у х х х х Отсюда: у'= — у= — (х) =(х) !п2х' х х Задача 2.8. Вычислить производную у'(х) функции, заданной параметр ически. с х =4" '*з1п37 у = сои+157-2 Решение Находим — =(4" 'з)п37) =(4-'' ') з1п37+(4' ')(з)пЗз) 48 =(21п4з1п37+Зсоз31)477 ' = 2(4" ')1п4з!пЗ~+3(4" ')созЗ! = и — =(соей+157 — 2) =-з!п~+150тсюда у'— 4437 48 4 -яп 7+15 (2 1п 4з)п 37+Зсоз 37) 4" ' 417 Задача 2.9. Вычислить производную у'(х) неявно заданной функции. 7 4 2 4 +3 4 3+8 3 Решение Дифференцируем обе части равенства по х." 28х3 (8ХЗУ+ 2х4У')+(12ХЗУ3 +15Х4У4У')+ 64У7у' — 1) Разрешаем равенство относительно у'.

8х'у — 28х' -12х'у' 28 3 8 3 12 3 3 ( 2 4 15 4 4 64 7) ю 1),тогда ~ у У 4+15 4 4 64 7 4Х3(2У 7 Зу') Окончательно: у'= 2х4 + 15х4у4 + 64у7 Решение Ф 4 у'=(з1п2Х4Х') =(з)п2Х) Х3+з)п2Х(Х3) =2Х'соз2х+Зх'з1п2х Тогда: Задача 2.10, Вычислить производную функции при указанном значении аргумента. 7 у=яп2х*х, х, =— .